Funzione derivabile
Salve a tutti,è da un pò che ho un dubbio sulla derivabilità,purtroppo neanche alcuni "esperti" hanno chiarito definitivamente i miei dubbi.Il punto è questo,considero una funzione \( f(x) \) e la sua derivata \( f'(x) \).
Considero poi un punto \( x_0 \) e calcolo \( f'(x_0) \) che ha come risultato,ad esempio, \( c \).
Bene,da questo ne deduco che la funzione \( f(x)\) è derivabile in \( x_0 \) e la sua derivata vale appunto \( c \).
Ora il problema è che,se considero la funzione
\( f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x - 1;x\leq 0\\ -2x-1;x>0\end{matrix}\right.\) la cui derivata è (o dovrebbe essere) \(f'(x)=\left\{\begin{matrix} 2;x\leq 0\\ -2;x>0\end{matrix}\right.\)
In questo caso \(f'(x)\) in \( x=0\) esiste e vale \( 2 \) però io sò che la funzione non è derivabile in \( 0 \),dov'è che sbaglio?
Mi è stato detto che la \( f'(x) \) è sbagliata e che la derivata corretta è \( f'(x)=\left\{\begin{matrix} 2;x< 0\\ -2;x>0\end{matrix}\right.\) ma non mi è stata data spiegazione del perchè il segno \( "\leq" \) diventerebbe \( "<" \).Lo stesso problema lo ritrovo nella funzione \( f(x)=\left | x \right |\) la cui derivata dovrebbe essere la funzione \( sign(x)\).
Quì la questione è come definire tale funzione,perchè definita in questo modo \(sign(x) = \frac{x}{\left | x \right |}\)i conti tornano,se però viene definita così \( f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 ;x>0\\0;x=0 \\ -1;x<0\end{matrix}\right.\) il problema è lo stesso in quanto in \( x=0 \) vale appunto \( 0 \).Inoltre questa definizione l'ho trovata sia su wikipedia sia su altri forum di matematica.Spero di essere stato chiaro e grazie delle eventuali risposte.
La domanda di base comunque è questa,se esiste \( f'(x_0) \) posso affermare con certezza che \( f(x) \) è derivabile in \(x_0\) ?
Mi verrebbe da dire di si anche se i due casi sopra smentiscono questa affermazione,spero in un chiarimento.
Buonaserata a tutti
Considero poi un punto \( x_0 \) e calcolo \( f'(x_0) \) che ha come risultato,ad esempio, \( c \).
Bene,da questo ne deduco che la funzione \( f(x)\) è derivabile in \( x_0 \) e la sua derivata vale appunto \( c \).
Ora il problema è che,se considero la funzione
\( f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x - 1;x\leq 0\\ -2x-1;x>0\end{matrix}\right.\) la cui derivata è (o dovrebbe essere) \(f'(x)=\left\{\begin{matrix} 2;x\leq 0\\ -2;x>0\end{matrix}\right.\)
In questo caso \(f'(x)\) in \( x=0\) esiste e vale \( 2 \) però io sò che la funzione non è derivabile in \( 0 \),dov'è che sbaglio?
Mi è stato detto che la \( f'(x) \) è sbagliata e che la derivata corretta è \( f'(x)=\left\{\begin{matrix} 2;x< 0\\ -2;x>0\end{matrix}\right.\) ma non mi è stata data spiegazione del perchè il segno \( "\leq" \) diventerebbe \( "<" \).Lo stesso problema lo ritrovo nella funzione \( f(x)=\left | x \right |\) la cui derivata dovrebbe essere la funzione \( sign(x)\).
Quì la questione è come definire tale funzione,perchè definita in questo modo \(sign(x) = \frac{x}{\left | x \right |}\)i conti tornano,se però viene definita così \( f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 ;x>0\\0;x=0 \\ -1;x<0\end{matrix}\right.\) il problema è lo stesso in quanto in \( x=0 \) vale appunto \( 0 \).Inoltre questa definizione l'ho trovata sia su wikipedia sia su altri forum di matematica.Spero di essere stato chiaro e grazie delle eventuali risposte.
La domanda di base comunque è questa,se esiste \( f'(x_0) \) posso affermare con certezza che \( f(x) \) è derivabile in \(x_0\) ?
Mi verrebbe da dire di si anche se i due casi sopra smentiscono questa affermazione,spero in un chiarimento.
Buonaserata a tutti
Risposte
Questi esperti non lo erano poi tanto. È una questione molto comune. La derivata è il limite del rapporto incrementale. Quando ci sono dubbi se essa esista o meno, la cosa migliore da fare è anche la più semplice: applicare direttamente la definizione. Analizza il limite del rapporto incrementale nel punto dubbio e vedi cosa succede.
Ciao.
Anche secondo me la derivata, calcolata come
\( f'(x)=\left\{\begin{matrix} 2;x< 0\\ -2;x>0\end{matrix}\right. \)
è esatta.
Il motivo ha a che fare con il fatto che la derivata di una funzione non si può calcolare sull'estremo di un intervallo, perchè il limite che definisce la derivata, in generale, è un limite bilatero (non un limite destro o sinistro) rispetto alla variabile incremento h.
Quando si determina il campo di esistenza di una funzione derivabile, la derivata non potrà mai essere definita in un insieme che sia più esteso della parte interna del campo di esistenza.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Saluti.
Anche secondo me la derivata, calcolata come
\( f'(x)=\left\{\begin{matrix} 2;x< 0\\ -2;x>0\end{matrix}\right. \)
è esatta.
Il motivo ha a che fare con il fatto che la derivata di una funzione non si può calcolare sull'estremo di un intervallo, perchè il limite che definisce la derivata, in generale, è un limite bilatero (non un limite destro o sinistro) rispetto alla variabile incremento h.
Quando si determina il campo di esistenza di una funzione derivabile, la derivata non potrà mai essere definita in un insieme che sia più esteso della parte interna del campo di esistenza.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Saluti.
Non sono d'accordo, non è affatto questo il punto. La funzione portata da Francesco in esempio è definita su tutto $RR$. Non è questione di campi di esistenza qui.
"dissonance":
Questi esperti non lo erano poi tanto. È una questione molto comune. La derivata è il limite del rapporto incrementale. Quando ci sono dubbi se essa esista o meno, la cosa migliore da fare è anche la più semplice: applicare direttamente la definizione. Analizza il limite del rapporto incrementale nel punto dubbio e vedi cosa succede.
Io lo sò già che non è derivabile in \( x=0\) ma il mio dubbio è questo,siccome sò che non è derivabile in \(x=0\) come è possibile che \(f'(0) \) esista?Quindi o sbaglio e \( f'(0)\) non esiste,e allora vorrei sapere dov'è l'errore,oppure significa che il fatto che esista \( f'(x_0) \) non assicura che \( f(x) \) sia derivabile in \(x=x_0 \) cosa che mi sembra alquanto strana.
Infatti non ha senso parlare di $f'(0)$. Per dimostrare questo, nel dubbio, basta richiamare la definizione, nient'altro che questo. Scriviamo il rapporto incrementale per $x=0$:
\[
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\begin{cases} \frac{2h-1}{h}, & h>0 \\ \frac{-2h-1}{h}, & h<0\end{cases}\]
Questa espressione non ammette limite per $h\to 0$. Fine.
P.S.: Quanto alla funzione segno, si dice comunemente che essa sia la "derivata del valore assoluto". Strettamente parlando, l'affermazione è falsa, come hai ben chiaro anche tu. Tuttavia è un abuso di notazione talvolta comodo, visto che la relazione
\[
\frac{d|x|}{dx}=\text{sign}\ x
\]
è vera per ogni $x\ne 0$. I matematici oggi usano molto l'espressione "in senso debole" per indicare situazioni come questa: $\text{sign}$ non è la derivata del valore assoluto in senso stretto, ma possiamo dire che lo è "in senso debole".
Spero di non avere generato troppa confusione con quest'ultimo commento
\[
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\begin{cases} \frac{2h-1}{h}, & h>0 \\ \frac{-2h-1}{h}, & h<0\end{cases}\]
Questa espressione non ammette limite per $h\to 0$. Fine.
P.S.: Quanto alla funzione segno, si dice comunemente che essa sia la "derivata del valore assoluto". Strettamente parlando, l'affermazione è falsa, come hai ben chiaro anche tu. Tuttavia è un abuso di notazione talvolta comodo, visto che la relazione
\[
\frac{d|x|}{dx}=\text{sign}\ x
\]
è vera per ogni $x\ne 0$. I matematici oggi usano molto l'espressione "in senso debole" per indicare situazioni come questa: $\text{sign}$ non è la derivata del valore assoluto in senso stretto, ma possiamo dire che lo è "in senso debole".
Spero di non avere generato troppa confusione con quest'ultimo commento
"dissonance":
Infatti non ha senso parlare di $f'(0)$. Per dimostrare questo, nel dubbio, basta richiamare la definizione, nient'altro che questo. Scriviamo il rapporto incrementale per $x=0$:
\[
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\begin{cases} \frac{2h-1}{h}, & h>0 \\ \frac{-2h-1}{h}, & h<0\end{cases}\]
Questa espressione non ammette limite per $h\to 0$. Fine.
Grazie delle risposte anche se non era ciò che volevo sapere.Ho già detto che sò benissimo che la funzione non è derivabile quindi non mi serve una dimostrazione,vorrei solo riuscire a capire se la derivata che ho scritto è corretta.
Se lo è il dubbio rimane,in quanto ne deduco che se esiste \( f'(x_0) \) non è detto che \( f(x) \) sia derivabile in \( x_0 \) cosa che,ripeto,mi sembra strana.Se invece la derivata è sbagliata vorrei sapere dov'è l'errore.
La derivata di quella funzione in quel punto non esiste perché non esiste il limite in quel punto del rapporto incrementale di quella funzione.
Non esiste il limite in quel punto del rapporto incrementale di quella funzione perché i limiti destro e sinistro esistono ma sono diversi.
Cordialmente, Alex
Non esiste il limite in quel punto del rapporto incrementale di quella funzione perché i limiti destro e sinistro esistono ma sono diversi.
Cordialmente, Alex
Vabbè,grazie lo stesso a tutti,continuerò la mia ricerca.Prima o poi lo risolverò questo dubbio.
Notte
Notte
Scusami ma una spiegazione te l'ho data ... cosa non ti convince?
Ma se l'espressione di \(f'(x)\) è corretta come fai a dire che non esiste in \(x=0\)?
Perché la derivata di una funzione in un punto NON è un'espressione ma è il limite, in quel punto, del rapporto incrementale della funzione (fatto che dissonance sta ripetendo dall'inizio ...) .
E quel limite, in questo caso, non esiste.
E quel limite, in questo caso, non esiste.
"axpgn":
Perché la derivata di una funzione in un punto NON è un'espressione ma è il limite, in quel punto, del rapporto incrementale della funzione (fatto che dissonance sta ripetendo dall'inizio ...) .
E quel limite, in questo caso, non esiste.
Ma allora perchè sui libri,tra cui il Giusti,scrivono
\( f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
... ma è proprio quello che stiamo dicendo ... la derivata di una funzione ($f'(x)$) in un punto ($f'(x_0)$) è il limite del rapporto incrementale di quella funzione in quel punto ($lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$) ...
"axpgn":
... ma è proprio quello che stiamo dicendo ... la derivata di una funzione ($f'(x)$) in un punto ($f'(x_0)$) è il limite del rapporto incrementale di quella funzione in quel punto ($lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$) ...
Allora se scrivo \(f'(x_0)\) non significa "Il valore che assume \(f'(x)\) nel punto \( x_0 \)
mentre se scrivo \( f(x_0) \) significa esattamente "Il valore che assume \( f(x) \) nel punto \( x_0\)?
Allora ...
$f(x_0)$ è il valore che la funzione $f(x)$ assume nel punto $x_0$ mentre quando si scrive $f'(x_0)$ si intende la derivata della funzione $f(x)$ calcolata nel punto $x_0$ e cioè si intende che $f'(x_0)$ rappresenti il valore che assume il limite del rapporto incrementale della funzione $f(x)$ nel punto $x_0$, sempre che tale limite esista.
Quando esiste si dice che la funzione $f(x)$ è derivabile in quel punto.
$f(x_0)$ è il valore che la funzione $f(x)$ assume nel punto $x_0$ mentre quando si scrive $f'(x_0)$ si intende la derivata della funzione $f(x)$ calcolata nel punto $x_0$ e cioè si intende che $f'(x_0)$ rappresenti il valore che assume il limite del rapporto incrementale della funzione $f(x)$ nel punto $x_0$, sempre che tale limite esista.
Quando esiste si dice che la funzione $f(x)$ è derivabile in quel punto.
"axpgn":
Allora ...
$f(x_0)$ è il valore che la funzione $f(x)$ assume nel punto $x_0$ mentre quando si scrive $f'(x_0)$ si intende la derivata della funzione $f(x)$ calcolata nel punto $x_0$ e cioè si intende che $f'(x_0)$ rappresenti il valore che assume il limite del rapporto incrementale della funzione $f(x)$ nel punto $x_0$, sempre che tale limite esista.
Quando esiste si dice che la funzione $f(x)$ è derivabile in quel punto.
Grazie,ci siamo quasi allora,l'ultimo dubbio è: il valore di $f'(x)$ calcolato in $x_0$ può essere diverso dalla derivata di $f(x)$ in $x_0$?
No, quello no, proprio perché il simbolo $f'(x)$ sta proprio a significare "derivata" ...
Forse ho capito il tuo dubbio ...
Se esiste il limite del rapporto incrementale per tutti i punti del dominio di una funzione allora posso dire che la funzione è derivabile e posso anche costruire una nuova funzione che chiameremo "funzione derivata" che mi fornisce il valore della derivata per ogni punto del dominio.
Questa nuova funzione si può costruire attraverso opportune "regole di derivazione" (che discendono da teoremi e quant'altro ...
).
È evidente però affinché io possa calcolare i valori della derivata tramite questa "nuova" funzione che questa debba prima esistere.
Detto in modo grossolano, quello che hai fatto è stato costruire la funzione derivata (con le regole di derivazione ... e questo va bene) e usarla in quel punto prima di sapere se in quel punto esistesse la derivata (e questo non va bene) ...
Forse ho capito il tuo dubbio ...
Se esiste il limite del rapporto incrementale per tutti i punti del dominio di una funzione allora posso dire che la funzione è derivabile e posso anche costruire una nuova funzione che chiameremo "funzione derivata" che mi fornisce il valore della derivata per ogni punto del dominio.
Questa nuova funzione si può costruire attraverso opportune "regole di derivazione" (che discendono da teoremi e quant'altro ...
).È evidente però affinché io possa calcolare i valori della derivata tramite questa "nuova" funzione che questa debba prima esistere.
Detto in modo grossolano, quello che hai fatto è stato costruire la funzione derivata (con le regole di derivazione ... e questo va bene) e usarla in quel punto prima di sapere se in quel punto esistesse la derivata (e questo non va bene) ...
"axpgn":
No, quello no, proprio perché il simbolo $f'(x)$ sta proprio a significare "derivata" ...
Forse ho capito il tuo dubbio ...
Se esiste il limite del rapporto incrementale per tutti i punti del dominio di una funzione allora posso dire che la funzione è derivabile e posso anche costruire una nuova funzione che chiameremo "funzione derivata" che mi fornisce il valore della derivata per ogni punto del dominio.
Questa nuova funzione si può costruire attraverso opportune "regole di derivazione" (che discendono da teoremi e quant'altro ...
È evidente però affinché io possa calcolare i valori della derivata tramite questa "nuova" funzione che questa debba prima esistere.
Detto in modo grossolano, quello che hai fatto è stato costruire la funzione derivata (con le regole di derivazione ... e questo va bene) e usarla in quel punto prima di sapere se in quel punto esistesse la derivata (e questo non va bene) ...
Sono abbastanza sconcertato da questo fatto,mi resta difficile da digerire.Ho sempre pensato che $f(x_0)$ significasse il valore che ottengo quando sostituisco $x$ con $x_0$ nell'espressione analitica di $f(x)$ indipendentemente da tutto.
Di conseguenza leggendo che
$f'(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
mi verrebbe d'istinto pensare che,se voglio sapere qual è la derivata di $f(x)$ in un punto $x_0$ invece di fare il limite mi calcolo $f'(x)$ e poi al posto di $x$ ci metto $x_0$.
Sono affranto!
Ed è quello che si fa in pratica, ma prima si deve essere sicuri che la derivata esista ... che poi per le funzioni "normali" esiste sempre ... 
... quando pero cominci ad avere "funzioni a tratti" come la tua o con il valore assoluto, si deve ragionarci sopra ...
... quando pero cominci ad avere "funzioni a tratti" come la tua o con il valore assoluto, si deve ragionarci sopra ...
"axpgn":
Ed è quello che si fa in pratica, ma prima si deve essere sicuri che la derivata esista ... che poi per le funzioni "normali" esiste sempre ...
Porca paletta,e perchè nessuno ce lo dice?Dannazione!
Ok grazie mille,finalmente ho chiarito la questione.
Notte
Aspetta un attimo,quindi mi stai dicendo che se il limite esiste allora coincide per forza con il valore calcolato in $x_0$?
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