Funzione derivabile
Salve a tutti,è da un pò che ho un dubbio sulla derivabilità,purtroppo neanche alcuni "esperti" hanno chiarito definitivamente i miei dubbi.Il punto è questo,considero una funzione \( f(x) \) e la sua derivata \( f'(x) \).
Considero poi un punto \( x_0 \) e calcolo \( f'(x_0) \) che ha come risultato,ad esempio, \( c \).
Bene,da questo ne deduco che la funzione \( f(x)\) è derivabile in \( x_0 \) e la sua derivata vale appunto \( c \).
Ora il problema è che,se considero la funzione
\( f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x - 1;x\leq 0\\ -2x-1;x>0\end{matrix}\right.\) la cui derivata è (o dovrebbe essere) \(f'(x)=\left\{\begin{matrix} 2;x\leq 0\\ -2;x>0\end{matrix}\right.\)
In questo caso \(f'(x)\) in \( x=0\) esiste e vale \( 2 \) però io sò che la funzione non è derivabile in \( 0 \),dov'è che sbaglio?
Mi è stato detto che la \( f'(x) \) è sbagliata e che la derivata corretta è \( f'(x)=\left\{\begin{matrix} 2;x< 0\\ -2;x>0\end{matrix}\right.\) ma non mi è stata data spiegazione del perchè il segno \( "\leq" \) diventerebbe \( "<" \).Lo stesso problema lo ritrovo nella funzione \( f(x)=\left | x \right |\) la cui derivata dovrebbe essere la funzione \( sign(x)\).
Quì la questione è come definire tale funzione,perchè definita in questo modo \(sign(x) = \frac{x}{\left | x \right |}\)i conti tornano,se però viene definita così \( f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 ;x>0\\0;x=0 \\ -1;x<0\end{matrix}\right.\) il problema è lo stesso in quanto in \( x=0 \) vale appunto \( 0 \).Inoltre questa definizione l'ho trovata sia su wikipedia sia su altri forum di matematica.Spero di essere stato chiaro e grazie delle eventuali risposte.
La domanda di base comunque è questa,se esiste \( f'(x_0) \) posso affermare con certezza che \( f(x) \) è derivabile in \(x_0\) ?
Mi verrebbe da dire di si anche se i due casi sopra smentiscono questa affermazione,spero in un chiarimento.
Buonaserata a tutti
Considero poi un punto \( x_0 \) e calcolo \( f'(x_0) \) che ha come risultato,ad esempio, \( c \).
Bene,da questo ne deduco che la funzione \( f(x)\) è derivabile in \( x_0 \) e la sua derivata vale appunto \( c \).
Ora il problema è che,se considero la funzione
\( f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x - 1;x\leq 0\\ -2x-1;x>0\end{matrix}\right.\) la cui derivata è (o dovrebbe essere) \(f'(x)=\left\{\begin{matrix} 2;x\leq 0\\ -2;x>0\end{matrix}\right.\)
In questo caso \(f'(x)\) in \( x=0\) esiste e vale \( 2 \) però io sò che la funzione non è derivabile in \( 0 \),dov'è che sbaglio?
Mi è stato detto che la \( f'(x) \) è sbagliata e che la derivata corretta è \( f'(x)=\left\{\begin{matrix} 2;x< 0\\ -2;x>0\end{matrix}\right.\) ma non mi è stata data spiegazione del perchè il segno \( "\leq" \) diventerebbe \( "<" \).Lo stesso problema lo ritrovo nella funzione \( f(x)=\left | x \right |\) la cui derivata dovrebbe essere la funzione \( sign(x)\).
Quì la questione è come definire tale funzione,perchè definita in questo modo \(sign(x) = \frac{x}{\left | x \right |}\)i conti tornano,se però viene definita così \( f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 ;x>0\\0;x=0 \\ -1;x<0\end{matrix}\right.\) il problema è lo stesso in quanto in \( x=0 \) vale appunto \( 0 \).Inoltre questa definizione l'ho trovata sia su wikipedia sia su altri forum di matematica.Spero di essere stato chiaro e grazie delle eventuali risposte.
La domanda di base comunque è questa,se esiste \( f'(x_0) \) posso affermare con certezza che \( f(x) \) è derivabile in \(x_0\) ?
Mi verrebbe da dire di si anche se i due casi sopra smentiscono questa affermazione,spero in un chiarimento.
Buonaserata a tutti
Risposte
Chi è che non te l'ha detto? 
Per esempio, da wiki: "... Il teorema di continuità asserisce che se $f(x)$ è derivabile in $x_0$ allora $f(x)$ è anche continua in $x_0$. L'inverso non è sempre vero: ad esempio, la funzione$ f(x) = |x|$ è continua su tutto il dominio, ma non è derivabile nel punto $x=0$, perché la derivata destra non coincide con la derivata sinistra ..."
Per esempio, da wiki: "... Il teorema di continuità asserisce che se $f(x)$ è derivabile in $x_0$ allora $f(x)$ è anche continua in $x_0$. L'inverso non è sempre vero: ad esempio, la funzione$ f(x) = |x|$ è continua su tutto il dominio, ma non è derivabile nel punto $x=0$, perché la derivata destra non coincide con la derivata sinistra ..."
"axpgn":
Chi è che non te l'ha detto?
Mai trovato scritto su nessun libro e mai nessun insegnante mi ha mai detto una cosa del genere anche perchè sicuramente mi avrebbe scombussolato come ora e quindi me lo ricorderei.
Grazie del tempo che mi hai dedicato,te ne sono grato davvero,mi hai tolto un dubbio atroce.
Ma, strano ... 
Se ho capito bene quello che hai detto (ma a quest'ora non ci giurerei
), sì.
Comunque ... notte ...
Cordialmente, Alex
"Francescomagic":
Aspetta un attimo,quindi mi stai dicendo che se il limite esiste allora coincide per forza con il valore calcolato in $x_0$?
Se ho capito bene quello che hai detto (ma a quest'ora non ci giurerei
), sì.Comunque ... notte ...
Cordialmente, Alex
A parte le giuste considerazioni di Alex, vorrei aggiungere che l'espressione
\[
\begin{cases}
2,&x>0\\
-2, &x<0
\end{cases}
\]
NON definisce una funzione su tutto \(\mathbb{R}\). Infatti, per $x=0$ non c'è nessuna prescrizione su quale sia il valore di tale funzione. Quindi tale espressione definisce una funzione solo su \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), che infatti risulta essere proprio l'insieme su cui la funzione originaria è derivabile. (Probabilmente il primo post di alessandro8 intendeva qualcosa del genere).
In termini più terra-terra, anche se tu volessi "prendere $f'(x)$ e al posto di $x$ metterci $0$", non concluderesti niente.
\[
\begin{cases}
2,&x>0\\
-2, &x<0
\end{cases}
\]
NON definisce una funzione su tutto \(\mathbb{R}\). Infatti, per $x=0$ non c'è nessuna prescrizione su quale sia il valore di tale funzione. Quindi tale espressione definisce una funzione solo su \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), che infatti risulta essere proprio l'insieme su cui la funzione originaria è derivabile. (Probabilmente il primo post di alessandro8 intendeva qualcosa del genere).
In termini più terra-terra, anche se tu volessi "prendere $f'(x)$ e al posto di $x$ metterci $0$", non concluderesti niente.
"dissonance":
A parte le giuste considerazioni di Alex, vorrei aggiungere che l'espressione
\[
\begin{cases}
2,&x>0\\
-2, &x<0
\end{cases}
\]
NON definisce una funzione su tutto \(\mathbb{R}\). Infatti, per $x=0$ non c'è nessuna prescrizione su quale sia il valore di tale funzione. Quindi tale espressione definisce una funzione solo su \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), che infatti risulta essere proprio l'insieme su cui la funzione originaria è derivabile. (Probabilmente il primo post di alessandro8 intendeva qualcosa del genere).
In termini più terra-terra, anche se tu volessi "prendere $f'(x)$ e al posto di $x$ metterci $0$", non concluderesti niente.
Si ma questo è ovvio,il problema è che io non ho scritto quella funzione ma quest'altra
\[
\begin{cases}
2,&x\leq 0\\
-2, &x>0
\end{cases}
\]
infatti sono ancora convinto che la \(f'(x) \) corretta sia questa,in caso contrario il mio dilemma non avrebbe avuto modo di esistere.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo