Forme differenziali lineari per \( n = 1 \)

[Riccardo Desimini]

Ciao a tutti,
ho un dubbio sulle forme differenziali lineari.

Nel caso \( n = 1 \) pare che ogni forma differenziale \( \omega \) di classe \( C^0 \) sia esatta, cioè sia il differenziale di una qualche funzione.

Ma io non riesco a vederlo, anche se probabilmente è una banalità.

Chi mi aiuta a capirlo?

[gugo82]

@ Plepp: Riguardo la frase in grassetto

"Plepp":@gugo: Eccerto! Ma non dirmi così allora, ché mi confondi! Una cosa è "non può agire", un'altra è "non ha senso che agisca": in qualsiasi maniera si voglia pensare $\mathbf{x}$, resta pur sempre un elemento di $RR^n$. In ogni modo, una volta chiarito che si tratta solo di mettersi d'accordo, posso mettermi l'anima in pace (penso che lo stesso valga per Riccardo Desimini).

Certo... Ma "quale" \(\mathbb{R}^n\)? Lo spazio affine? Lo spazio vettoriale?
Il bello è che, anche se comunemente non ci facciamo caso e usiamo insieme proprietà vettoriali ed affini, c'è differenza tra queste due strutture.

[Plepp]

Certamente intendevo che in qualsiasi modo io voglia pensarlo, sempre 'na $N$-upla è Insomma, se $P$ è un punto di $RR^n$ spazio affine euclideo, per quanto poco senso abbia farlo, posso calcolare $"d"x_n(P)$.

[gugo82]

"Plepp":Certamente intendevo che in qualsiasi modo io voglia pensarlo, sempre 'na $ N $-upla è Insomma, se $ P $ è un punto di $ RR^n $ spazio affine euclideo, per quanto poco senso abbia farlo, posso calcolare $ "d"x_n(P) $.

Non fare il bambino cattivo...

Non puoi calcolare un funzionale lineare su un punto di uno spazio affine, ma solo su un vettore dello spazio vettoriale sul quale lo spazio affine è modellato.
In altri termini, quando pensi che sia lecito calcolare un funzionale \(f\) dello spazio vettoriale \(\mathbb{V}:= \mathbb{R}^n\) in un punto \(\mathbf{x}\) dello spazio affine \(\mathcal{A} := \mathbb{R}^n\) modellato su \(\mathbb{V}\) è solo perché, implicitamente, stai convenendo di identificare il punto \(\mathbf{x} \in \mathcal{A}\) col vettore \(\mathbf{x} - \mathbf{o}\in \mathbb{V}\).