Esercizio serie
$\sum_{n=1}^(+infty) ((ln(n)/n)$
scusate ma per far vedere che questa serie diverge che criterio posso applicare?
perchè con d'alambert mi viene 1 con il confronto non riesco a trovare una serie per confrontare...
scusate ma per far vedere che questa serie diverge che criterio posso applicare?
perchè con d'alambert mi viene 1 con il confronto non riesco a trovare una serie per confrontare...
Risposte
È una "serie notevole".
Infatti la serie
$\sum_{n}^()[1/(n^\alpha*ln^\beta(n))]$
converge per $\alpha>1$ e $\forall \beta$ e per $\alpha=1 e \beta>1$ negli altri casi diverge a $+infty$
Infatti la serie
$\sum_{n}^()[1/(n^\alpha*ln^\beta(n))]$
converge per $\alpha>1$ e $\forall \beta$ e per $\alpha=1 e \beta>1$ negli altri casi diverge a $+infty$
"lepre561":
con il confronto non riesco a trovare una serie per confrontare...
Prova con $1/n$...
"SirDanielFortesque":
È una "serie notevole".
Infatti la serie
$\sum_{n=1}^(+infty)[1/(n^\alpha*ln^\beta(n))]$
converge per $\alpha>1$ e $\forall \beta$ e per $\alpha=1 e \beta>1$ negli altri casi diverge a $+infty$
nel mio caso $beta=-1$?
Certo. Scusa se ho sbagliato a scrivere. Se $ln(n)$ fosse al denominatore sarebbe da inziare a sommare da $n=2$ in poi altrimenti fa zero, che chiaramente sotto la linea di frazione non può andare.
senza aprire un altro post riguarda sempre un serie
$\sum_{n=1}^(+infty) (n^2)(1^n)$
ma questa serie è possibile considerarla come serie geometrica di punto iniziale n^2 e ragione 1?
$\sum_{n=1}^(+infty) (n^2)(1^n)$
ma questa serie è possibile considerarla come serie geometrica di punto iniziale n^2 e ragione 1?
No questa non so che roba è. Se quello è un $(-1)^n$ allora è a segni alterni. Prova a scrivere meglio la formula perpiacere.
chiedo scusa ho corretto
$lim_(n->+infty)n^2$ Non tende a zero e quindi non converge. Essendo monotona crescente non è indeterminata e quindi deve divergere. $(1)^n$ non centra niente. Nelle somme è come se non ci fosse. Del tutto diverso se quel $(1)^n$ fosse stato un $(-1)^n$
ok chiarissimo non devo considerare come se fosse una forma indeterminata
Se pensi al processo di costruzione di quella somma il fatto che ci sia $(1)^n$ o meno è irrilevante
cioè devi fare
$1*(1)^1+4*(1)^2+9*(1)^3+...+n^2*(1)^n=1+4+9+...+n^2$
cioè devi fare
$1*(1)^1+4*(1)^2+9*(1)^3+...+n^2*(1)^n=1+4+9+...+n^2$
Ciao lepre561,
... D'altronde non è difficile dimostrare per induzione o con altri metodi che si ha:
\begin{equation*}
\boxed{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n \cdot (n + 1)(2n + 1)}{6}}
\end{equation*}
Quindi si ha:
$ \lim_{n \to +\infty}\sum_{k=1}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{+\infty} k^2 = \lim_{n \to +\infty} \frac{n \cdot (n + 1)(2n + 1)}{6} = +\infty $
... D'altronde non è difficile dimostrare per induzione o con altri metodi che si ha:
\begin{equation*}
\boxed{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n \cdot (n + 1)(2n + 1)}{6}}
\end{equation*}
Quindi si ha:
$ \lim_{n \to +\infty}\sum_{k=1}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{+\infty} k^2 = \lim_{n \to +\infty} \frac{n \cdot (n + 1)(2n + 1)}{6} = +\infty $
C'era un modo per dimostrarlo con le piramidine di regoli. Se mi torna in mente lo posto.
sempre senz aprire altri post siccome l'argomento è sempre quello avrei due dubbi uno riguarda un esercizio mentre un altro un criterio di convergenza
$\sum_{k=1}^inftyk/(2^k+1)(x+2)^k$
applicando d'alambert ottengo $lim_(ktoinfty)((k+1)/(2^(k+1)+1))*((2^k+1)/k)$
a questo punto però il mio dubbio è questo ovvero questo passaggio è lecito $lim_(xtoinfty)((k+1)/k)*(2^k+1)/(2^k*2+1)$
arrivato a questo punto la prima frazione raccogliendo $k$ sia al numeratore che al denominatore mi viene 1 mentre nella seconda frazione posso raccogliere $2^k$ e cosi facendo mi rimane che il mio raggio di convergenza è $1/2$?
il mio secondo dubbio è se io applico il criterio di d'alambert e mi risulta che il raggio è 0 ma il mio punto iniziale non è zero cosa posso dire su quella serie?
$\sum_{k=1}^inftyk/(2^k+1)(x+2)^k$
applicando d'alambert ottengo $lim_(ktoinfty)((k+1)/(2^(k+1)+1))*((2^k+1)/k)$
a questo punto però il mio dubbio è questo ovvero questo passaggio è lecito $lim_(xtoinfty)((k+1)/k)*(2^k+1)/(2^k*2+1)$
arrivato a questo punto la prima frazione raccogliendo $k$ sia al numeratore che al denominatore mi viene 1 mentre nella seconda frazione posso raccogliere $2^k$ e cosi facendo mi rimane che il mio raggio di convergenza è $1/2$?
il mio secondo dubbio è se io applico il criterio di d'alambert e mi risulta che il raggio è 0 ma il mio punto iniziale non è zero cosa posso dire su quella serie?
A me risulta che la serie proposta converga per $|x + 2| < 2 $, pertanto il raggio di convergenza è $R = 2 = 1/(1/2) $...
si ok che il risultato venisse c'ero ma è il procedimento intrinseco che non so se sia fattibile o è sbagliato
"lepre561":
si ok che il risultato venisse c'ero ma è il procedimento intrinseco che non so se sia fattibile o è sbagliato
Ma non mi pare, guarda cosa hai scritto qui:
"lepre561":
e cosi facendo mi rimane che il mio raggio di convergenza è $1/2 $
Ricorda che si ha:
$R = {( +\infty \text{ se } l = 0),(1/l \text{ se } 0 < l < +\infty),(0 \text{ se } l=+\infty):}$
Poi:
"lepre561":
il mio secondo dubbio è se io applico il criterio di d'alambert e mi risulta che il raggio è 0 ma il mio punto iniziale non è zero cosa posso dire su quella serie?
Cosa c'entra il punto iniziale $x_0 = - 2 $ (nel caso in esame) col raggio di convergenza della serie?
Chiaramente se $x = - 2 $ la serie converge a $0$, ma non è un caso molto interessante...
allora mi sono reoco conto di aver sbagliato a dire raggio di convergenza $1/2$ intendevo $L$
per la seconda domanda se applicando d'alambert mi sarebbe venuto $r=0$ cosa posso dire sulla serie? io so che converge per ogni $x=0$
sbaglio?
per la seconda domanda se applicando d'alambert mi sarebbe venuto $r=0$ cosa posso dire sulla serie? io so che converge per ogni $x=0$
sbaglio?
allora mi sono reso conto di aver sbagliato a dire raggio di convergenza $1/2$ intendevo $L$
per la seconda domanda se applicando d'alambert mi sarebbe venuto $r=0$ cosa posso dire sulla serie? io so che converge per ogni $x=0$
sbaglio?
per la seconda domanda se applicando d'alambert mi sarebbe venuto $r=0$ cosa posso dire sulla serie? io so che converge per ogni $x=0$
sbaglio?
Innanzitutto perché hai scritto due volte lo stesso messaggio? Cancellane uno se riesci...
Credo che dovresti ridare un'occhiata alla teoria. Il cerchio di convergenza di una serie di potenze è la zona dove la serie converge. Se il raggio di tale cerchio è nullo, significa che la serie converge solo in $x_0 $
Sì. Cosa significa per ogni $ x = 0 $? Se è "per ogni", $x = 0 $ è uno dei valori del "per ogni", altrimenti $x = 0 $ è un valore preciso e non è "per ogni": le parole hanno un significato preciso, soprattutto in matematica...
"lepre561":
per la seconda domanda se applicando d'alambert mi fosse venuto $r=0 $ cosa posso dire sulla serie?
Credo che dovresti ridare un'occhiata alla teoria. Il cerchio di convergenza di una serie di potenze è la zona dove la serie converge. Se il raggio di tale cerchio è nullo, significa che la serie converge solo in $x_0 $
"lepre561":
io so che converge per ogni $x = 0 $
sbaglio?
Sì. Cosa significa per ogni $ x = 0 $? Se è "per ogni", $x = 0 $ è uno dei valori del "per ogni", altrimenti $x = 0 $ è un valore preciso e non è "per ogni": le parole hanno un significato preciso, soprattutto in matematica...
e quindi se mi venisse $r=0$ che posso dire sulla serie?
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