Esercizio massimi e minimi assoluti, funz. di due variabili!
Ed eccomi qui, sempre con lo stesso argomento e con altri dubbi che spero presto di risolvere.
Ho tale funzione
$f(x,y)=e^x(x+y^2+1)$ e $(x,y)inn[-3,0][-1,1]$
Adesso ho calcolato i punti critici interni, vedendo che il $(-2,0)$ ho un minimo relativo. Fin qui, ci sono. Il problema viene quando devo calcolare la restrizione sulla frontiera della funzione.
allora ho
restrizione al primo lato
$f(t,1)=e^t(t+2)$ e $tinn[-3,0]$
$D(f(t,1))=e^t(t+3)$
la derivata si annulla per $t=-3$
la funzione è crescente in $[-3,0]$
secondo lato
$f(0,t)=t^2+1$
$D(t^2+1)=2t=0$
$t>=0$ si ha un minimo in $(0,0)$
terzo lato
$f(t,-1)=e^t(t+2)$ e $tinn[-3,0]$
$f(t,-1)$ crescente in $[-3,0]$
quarto lato
$f(-3,t)=e^-3(t^2-2)$
$Df(-3,t)=e^-3*2t>=0$-->$t>=0$
perché poi il libro dice che $(0,1)$ è il massimo per la funzione ristretta alp rimo lato e al secondo? Nella prima restrizione che esso sia un massimo, ci può stare, essendo la funzione crescente, ma perché nella seconda restrizione anche?? Cioè come ha fatto a stabilirlo??
Ho tale funzione
$f(x,y)=e^x(x+y^2+1)$ e $(x,y)inn[-3,0][-1,1]$
Adesso ho calcolato i punti critici interni, vedendo che il $(-2,0)$ ho un minimo relativo. Fin qui, ci sono. Il problema viene quando devo calcolare la restrizione sulla frontiera della funzione.
allora ho
restrizione al primo lato
$f(t,1)=e^t(t+2)$ e $tinn[-3,0]$
$D(f(t,1))=e^t(t+3)$
la derivata si annulla per $t=-3$
la funzione è crescente in $[-3,0]$
secondo lato
$f(0,t)=t^2+1$
$D(t^2+1)=2t=0$
$t>=0$ si ha un minimo in $(0,0)$
terzo lato
$f(t,-1)=e^t(t+2)$ e $tinn[-3,0]$
$f(t,-1)$ crescente in $[-3,0]$
quarto lato
$f(-3,t)=e^-3(t^2-2)$
$Df(-3,t)=e^-3*2t>=0$-->$t>=0$
perché poi il libro dice che $(0,1)$ è il massimo per la funzione ristretta alp rimo lato e al secondo? Nella prima restrizione che esso sia un massimo, ci può stare, essendo la funzione crescente, ma perché nella seconda restrizione anche?? Cioè come ha fatto a stabilirlo??
Risposte
Sei sicuro di aver capito le osservazioni fatte nella discussione precedente?
Forse non sono stato sufficientemente chiaro.
Forse stai facendo errori logici ma di distrazione.
Forse non sono stato sufficientemente chiaro.
Forse stai facendo errori logici ma di distrazione.
"speculor":
Sei sicuro di aver capito le osservazioni fatte nella discussione precedente?
Forse non sono stato sufficientemente chiaro.
Forse stai facendo errori logici ma di distrazione.
sì ho capito, sei stato molto chiaro. Nel precedente esercizio ho calcolato i valori degli estremi. Qui la professoressa non li ha proprio calcolati, ha stabilito subito che il punto (0,1) era un massimo per la restrizione di f (ha detto che deve esserlo per entrambe le restrizioni della funzione ai lati a cui appartiene quel punto, affinchè lo sia per la funzione in generale). Quindi, volevo sapere se è perché la funzione è crescente e quindi assume valore massimo (o massimo relativo) all'estremo di destra...
Non so se hai notato che la funzione, sul secondo lato, prima decresce ma poi cresce.
E poi, cosa intendi esattamente quando dici che il docente ha detto subito che era un massimo?
In che punto del ragionamento lo avrebbe detto?
Sei sicuro che non abbia fatto veloci calcoli a mente?
E poi, cosa intendi esattamente quando dici che il docente ha detto subito che era un massimo?
In che punto del ragionamento lo avrebbe detto?
Sei sicuro che non abbia fatto veloci calcoli a mente?
[quote=speculor]Non so se hai notato che la funzione, sul secondo lato, prima decresce ma poi cresce.
E poi, cosa intendi esattamente quando dici che il docente ha detto subito che era un massimo?
In che punto del ragionamento lo avrebbe detto?
Sei sicuro che non abbia fatto veloci calcoli a mente?[/quote
Ecco, non sono sicura. Aveva poco tempo, può darsi l'abbia fatto. E' che fino a ieri io avrei comunque calcolato i valori ai vertici, confrontandoli con minimi relativi, mentre lei l'ha fatto solo dopo aver detto già che erano massimi, per trovare quello assoluto per la funzione. Sì ho notato che decresce e poi cresce, quindi entrambi gli estremi sono massimi per la restrizione della funzione, giusto?
E poi, cosa intendi esattamente quando dici che il docente ha detto subito che era un massimo?
In che punto del ragionamento lo avrebbe detto?
Sei sicuro che non abbia fatto veloci calcoli a mente?[/quote
Ecco, non sono sicura. Aveva poco tempo, può darsi l'abbia fatto. E' che fino a ieri io avrei comunque calcolato i valori ai vertici, confrontandoli con minimi relativi, mentre lei l'ha fatto solo dopo aver detto già che erano massimi, per trovare quello assoluto per la funzione. Sì ho notato che decresce e poi cresce, quindi entrambi gli estremi sono massimi per la restrizione della funzione, giusto?
Voglio dire questo.
Mettiamoci sul secondo lato: x=0 -1
Si capisce che la funzione vale di più sia per y=-1 che per y=1 rispetto al valore che assume per y=0.
A proposito, quando parlo di funzione non parlo nè di x nè di y, al limite di una terza variabile z.
Questo per sgomberare il campo da equivoci.
Ma come faccio a sapere in quale dei due punti vale di più?
Non certamente scoprendo che c'è un minimo per y=0.
Se per esempio, per y=-1 la funzione valesse 4, per y=0 la funzione valesse 2 (minimo), per y=1 la funzione valesse 7 allora il massimo si avrebbe per y=1.
Ma se per y=-1 la funzione valesse 7, per y=0 la funzione valesse 2 (minimo), per y=1 la funzione valesse 4 allora il massimo si avrebbe per y=-1.
Cosa succede nel tuo caso?
Per y=-1 la funzione vale 2, per y=0 la funzione vale 1, per y=1 la funzione vale 2. Quindi, caso particolare, il massimo è assunto sia per y=-1 che per y=1.
Del resto la restrizione è pari rispetto ad y, forse questo ha notato il tuo docente.
Riepilogo.
I punti da trovare e da controllare sono:
1. I punti critici interni al dominio come funzione di due variabili.
2. I punti interni a derivata nulla quando fai le diverse restrizioni come funzione di una variabile.
3. Gli estremi degli intervalli delle varie restrizioni, che equivale a controllare gli pseudovertici della figura geometrica ben visibile nel piano. Anzi, così fai anche prima perchè hai 4 punti invece di 8 estremi di 4 intervalli. Ma meno rigoroso se vuole lo studio singolo su ogni restrizione.
Non puoi sbagliare.
Mettiamoci sul secondo lato: x=0 -1
Si capisce che la funzione vale di più sia per y=-1 che per y=1 rispetto al valore che assume per y=0.
A proposito, quando parlo di funzione non parlo nè di x nè di y, al limite di una terza variabile z.
Questo per sgomberare il campo da equivoci.
Ma come faccio a sapere in quale dei due punti vale di più?
Non certamente scoprendo che c'è un minimo per y=0.
Se per esempio, per y=-1 la funzione valesse 4, per y=0 la funzione valesse 2 (minimo), per y=1 la funzione valesse 7 allora il massimo si avrebbe per y=1.
Ma se per y=-1 la funzione valesse 7, per y=0 la funzione valesse 2 (minimo), per y=1 la funzione valesse 4 allora il massimo si avrebbe per y=-1.
Cosa succede nel tuo caso?
Per y=-1 la funzione vale 2, per y=0 la funzione vale 1, per y=1 la funzione vale 2. Quindi, caso particolare, il massimo è assunto sia per y=-1 che per y=1.
Del resto la restrizione è pari rispetto ad y, forse questo ha notato il tuo docente.
Riepilogo.
I punti da trovare e da controllare sono:
1. I punti critici interni al dominio come funzione di due variabili.
2. I punti interni a derivata nulla quando fai le diverse restrizioni come funzione di una variabile.
3. Gli estremi degli intervalli delle varie restrizioni, che equivale a controllare gli pseudovertici della figura geometrica ben visibile nel piano. Anzi, così fai anche prima perchè hai 4 punti invece di 8 estremi di 4 intervalli. Ma meno rigoroso se vuole lo studio singolo su ogni restrizione.
Non puoi sbagliare.
va benissimo. ma se considerato x=0 con -1
E' questo che non mi è chiaro. La domanda riguarda sia i massimi relativi, sia assoluti.
Scusa per l'imbranataggine, spieghi in una maniera allucinante, sei chiarissimo.
E' questo che non mi è chiaro. La domanda riguarda sia i massimi relativi, sia assoluti.
Scusa per l'imbranataggine, spieghi in una maniera allucinante, sei chiarissimo.
Grazie del complimento. La tua osservazione è più che pertinente. Dopo aver determinato tutti i punti che ti ho detto, non ti sarà difficile determinare quelli per cui la funzione ha in assoluto il valore più piccolo e il valore più grande. Bene, quelli sono il mimimo e il massimo assoluto. Stiamo naturalmente supponendo la funzione continua su un insieme compatto. Altrimenti le cose si complicano, le funzioni possono essere inferiormente e/o superiormente illimitate. Tra parentesi, il codominio della funzione, sotto quelle ipotesi, sarà l'intervallo [m,M].
Scusa l'integrazione. Tu dirai, e degli altri che cosa dico? Te ne ho parlato nella scorsa discussione. I massimi e minimi relativi interni sono sicuramente massimi e minimi relativi standard con derivate parziali nulle, per intenderci quelli che nelle funzioni di una sola variabile avevano tangente orizzontale, quelli sulla frontiera del dominio bidimensionale sono massimi e minimi relativi ma in un senso più lato, in quanto non ottenuti con la condizione necessaria delle derivate nulle. Salvo casi eccezionali. Se una funzione con almeno un punto di sella viene fatta studiare in un dominio bidimensionale di cui il punto di sella è un vertice per esempio, allora non posso dire che quello è un massimo o minimo relativo nemmeno in senso lato. Ma non credo ti possano capitare casi del genere.
Ok. Ma allora, perché ieri la docente ha detto che affinché un punto sia di massimo quando è estremo di un intervallo, non deve esserlo solo per un lato, ma di entrambi i due lati(nel mio esempio) a cui il punto appartiene?
Ad esempio dice che
(0,1) è il massimio della restrizione di f al primo lato e al secondo, quindi è un massimo (per ora relativo) di f.
Se lo fosse stato solo per la restrizione di f al primo lato e per la restrizione al secondo fosse stato un minimo, non sarebbe stato considerato un massimo (per ora relativo) di f.
Quindi, in sostanza, devo procedere come ha detto lei? Il suo discorso vale per i punti estremanti, cioè per i vertici in sostanza.
Ad esempio dice che
(0,1) è il massimio della restrizione di f al primo lato e al secondo, quindi è un massimo (per ora relativo) di f.
Se lo fosse stato solo per la restrizione di f al primo lato e per la restrizione al secondo fosse stato un minimo, non sarebbe stato considerato un massimo (per ora relativo) di f.
Quindi, in sostanza, devo procedere come ha detto lei? Il suo discorso vale per i punti estremanti, cioè per i vertici in sostanza.
L'esempio che la tua docente ha fatto è proprio il caso in cui tu hai un punto di sella come vertice del dominio. Te ne ho parlato nell'integrazione.
Se (x0,y0) è un punto di sella del tuo dominio, esistono direzioni uscenti da quel punto in cui la funzione cresce, ma anche direzioni uscenti da quel punto in cui la funzione decresce. Se queste direzioni, per esempio, coincidono proprio con i due lati di cui il punto è l'intersezione, allora nello studio delle due restrizioni sui due lati può capitare che risulti massimo lungo una restrizione e minimo lungo un altra. Però, il punto di sella lo scoprì già nello studio dei punti critici all'interno del dominio. Se vedi che si trova sulla frontiera, metti da parte questa preziosa informazione e utilizzala per essere più rigorosa quando studi la frontiera. Non credevo che la tua docente potesse dare esercizi così particolari. Lo ritengo molto meritevole. La mia impressione, però, è che tu non avessi ben compreso cosa fosse un punto di sella. Hai presente la sella di un cavallo? Se ci sei seduta sopra, se immagini di muoverti verso la testa o verso la coda, il cuoio della sella sale, se immagini di muoverti in direzione perpendicolare lungo la pancia del cavallo, il cuoio della sella scende. Il cuoio della sella altro non è che la rappresentazione materiale della superficie che rappresenta la funzione in uno spazio tridimensionale, x, y, z=f(x,y).
Se (x0,y0) è un punto di sella del tuo dominio, esistono direzioni uscenti da quel punto in cui la funzione cresce, ma anche direzioni uscenti da quel punto in cui la funzione decresce. Se queste direzioni, per esempio, coincidono proprio con i due lati di cui il punto è l'intersezione, allora nello studio delle due restrizioni sui due lati può capitare che risulti massimo lungo una restrizione e minimo lungo un altra. Però, il punto di sella lo scoprì già nello studio dei punti critici all'interno del dominio. Se vedi che si trova sulla frontiera, metti da parte questa preziosa informazione e utilizzala per essere più rigorosa quando studi la frontiera. Non credevo che la tua docente potesse dare esercizi così particolari. Lo ritengo molto meritevole. La mia impressione, però, è che tu non avessi ben compreso cosa fosse un punto di sella. Hai presente la sella di un cavallo? Se ci sei seduta sopra, se immagini di muoverti verso la testa o verso la coda, il cuoio della sella sale, se immagini di muoverti in direzione perpendicolare lungo la pancia del cavallo, il cuoio della sella scende. Il cuoio della sella altro non è che la rappresentazione materiale della superficie che rappresenta la funzione in uno spazio tridimensionale, x, y, z=f(x,y).
lei lo fa però con tutti i vertici. Nè ci ha detto che sono punti di sella. Quindi non è un procedimento generale?
Non sempre i vertici sono punti di sella... mmh... in quel caso, che dati ho bisogno per dire che i punti sono di massimo relativo e assoluto per la restrizione della funzione ad un lato lo sono anche per la funzione in generale??
Non sempre i vertici sono punti di sella... mmh... in quel caso, che dati ho bisogno per dire che i punti sono di massimo relativo e assoluto per la restrizione della funzione ad un lato lo sono anche per la funzione in generale??
Aspetta... ho riletto il messaggio... Quindi mi hai detto che la professoressa ha fatto così perché se risulta minimo per una restrizione e massimo per l'altra, è un punto di sella, che però in generale si scopre con lo studio dell'hessiano.ma io come punto critico trovo solo (-2,0)... valore in cui si annulla il gradiente
Non mi riferivo all'esercizio proposto. Se ho capito bene, ad un certo punto il docente ha fatto notare che se fosse successa una tal cosa allora non avreste potuto dire che quel punto sulla frontiera era un massimo o un minimo. Ma non è il tuo caso in questo esercizio. Avendo però fatto il docente questa osservazione, ho ritenuto possibile che potesse dare un esercizio dove hai un punto di sella sulla frontiera. Ma forse intendeva solo fare delle considerazioni di carattere generale ed un esercizio così non lo darà mai.
Quando ho scritto:
I punti da trovare e da controllare sono:
1. I punti critici interni al dominio come funzione di due variabili.
2. I punti interni a derivata nulla quando fai le diverse restrizioni come funzione di una variabile.
3. Gli estremi degli intervalli delle varie restrizioni, che equivale a controllare gli pseudovertici della figura geometrica ben visibile nel piano. Anzi, così fai anche prima perchè hai 4 punti invece di 8 estremi di 4 intervalli. Ma meno rigoroso se vuole lo studio singolo su ogni restrizione.
mi riferivo al caso in cui l'esercizio chieda di trovare il codominio della funzione definita su un certo insieme compatto. In questo caso, con i passaggi che ti ho indicato, puoi trascurare considerazioni relative a massimi o minimi o punti di sella sulla frontiera perchè il codominio lo determini lo stesso. A questo punto ti chiedo: la consegna prevede la classificazione esatta di tutti i punti di minimo e massimo relativi e assoluti sulla frontiera, oppure solo di quelli interni e il codominio della funzione, ottenuto come [m,M], più immediato da calcolare come il mio schema prevede?
Se devi fare la classificazione precisa di tutti, ti indico un procedimento un po' più articolato che ti risolve il problema.
A proposito: utilizzate solo questo metodo o farete anche quello dei moltiplicatori di Lagrange?
Quando ho scritto:
I punti da trovare e da controllare sono:
1. I punti critici interni al dominio come funzione di due variabili.
2. I punti interni a derivata nulla quando fai le diverse restrizioni come funzione di una variabile.
3. Gli estremi degli intervalli delle varie restrizioni, che equivale a controllare gli pseudovertici della figura geometrica ben visibile nel piano. Anzi, così fai anche prima perchè hai 4 punti invece di 8 estremi di 4 intervalli. Ma meno rigoroso se vuole lo studio singolo su ogni restrizione.
mi riferivo al caso in cui l'esercizio chieda di trovare il codominio della funzione definita su un certo insieme compatto. In questo caso, con i passaggi che ti ho indicato, puoi trascurare considerazioni relative a massimi o minimi o punti di sella sulla frontiera perchè il codominio lo determini lo stesso. A questo punto ti chiedo: la consegna prevede la classificazione esatta di tutti i punti di minimo e massimo relativi e assoluti sulla frontiera, oppure solo di quelli interni e il codominio della funzione, ottenuto come [m,M], più immediato da calcolare come il mio schema prevede?
Se devi fare la classificazione precisa di tutti, ti indico un procedimento un po' più articolato che ti risolve il problema.
A proposito: utilizzate solo questo metodo o farete anche quello dei moltiplicatori di Lagrange?
Non so cosa siano i moltiplicatori di Lagrange! In realtà l'esercizio chiede di terminare il massimo e il minimo ASSOLUTI di una funzione. Ma penso che sia implicito che devo determinare anche i relativi, per andare poi a vedere dove la funzione assume valore massimo.
Quindi se applico quel procedimento sempre, ovvero andare a vedere se il massimo per una restrizione lo è anche per l'altra di cui il punto fa parte, non sbaglio, giusto?
Voglio solo esser certa di non sbagliare, sinceramente)
Quindi se applico quel procedimento sempre, ovvero andare a vedere se il massimo per una restrizione lo è anche per l'altra di cui il punto fa parte, non sbaglio, giusto?
Voglio solo esser certa di non sbagliare, sinceramente
)
Vorrei poterti dire di sì, ma se sulla frontiera hai un punto di sella quel procedimento purtroppo non basta. Nemmeno quello indicato dal tuo docente di controllare le due restrizioni. Se vuoi ti mostro un esempio molto semplice.
Ah. Sì beh, mi saresti molto utile! Anche se un punto di sella è inividuato quando il gradiente si annulla. Se mi accorgo che è uno dei vertici, dirò che non è nè di massimo nè di minimo. Non potrebbe essere così? Comunque mi interessa, se hai tempo da dedicarmi mi farebbe piacere, aldilà se mi possa servire o meno
Grazie mille.
Grazie mille.
INOLTRE, per caso avresti qualche dispensa da cui possa attingere qualche esercizio su massimi e minimi assoluti? Ho cercato in internet, ma ho trovato cose sempre più o meno simili
Se uno dei vertici è un punto di sella, purtroppo può capitare di tutto.
Prendi la semplice funzione f(x,y)=xy. Il punto O(0,0) è un punto di sella. Basta pensare che nel primo e terzo quadrante la funzione è positiva, mentre nel secondo e nel quarto quadrante la funzione è negativa. In O(0,0) la funzione ovviamente vale zero. Questo vuol dire che se mi sposto dall'origine nel primo o terzo quadrante la funzione cresce, mentre se mi sposto nel secondo o quarto quadrante la funzione decresce.
Ora ti propongo tre casi diversi.
1. Supponi che il tuo dominio sia costituito da un triangolo interamente contenuto nel primo quadrante e avente un vertice proprio nell'origine. Evidentemente, quando ti sposti dall'origine stando nel dominio, vedrai solo e sempre la funzione crescere: devi dunque dire che quello è un minimo relativo in senso lato. Se avessi utilizzato il metodo delle restrizioni, avresti trovato un minimo lungo entrambi i lati.
2. Supponi che il tuo dominio sia costituito da un triangolo interamente contenuto nel secondo quadrante e avente un vertice proprio nell'origine. Evidentemente, quando ti sposti dall'origine stando nel dominio, vedrai solo e sempre la funzione decrescere: devi dunque dire che quello è un massimo relativo in senso lato. Se avessi utilizzato il metodo delle restrizioni, avresti trovato un massimo lungo entrambi i lati.
3. Supponi che il tuo dominio sia costituito da un triangolo avente un lato contenuto nel primo quadrante, un lato nel terzo quadrante e avente un vertice proprio nell'origine. Questa volta, quando ti sposti dall'origine stando nel dominio, vedrai la funzione crescere se ti muovi nel primo e terzo quadrante, vedrai la funzione decrescere se ti muovi nel quarto quadrante (hai chiuso il triangolo utilizzando il terzo lato che taglia il quarto quadrante): devi dunque dire che quello è un punto di sella. Se avessi utilizzato il metodo delle restrizioni, avresti trovato un minimo lungo entrambi i lati.
Che cosa voglio quindi dire con tutto questo? Determinare una RIGOROSA condizione sufficiente in questo caso non è affatto semplice. Se non sono stati studiati metodi più efficaci, bisognerebbe valutare caso per caso. Per questo sostenevo che difficilmente ti avrebbero dato un esercizio con un punto di sella sulla frontiera. Se il docente è intellettualmente onesto, non può accettare semplicistiche considerazioni che lasciano il tempo che trovano.
Prendi la semplice funzione f(x,y)=xy. Il punto O(0,0) è un punto di sella. Basta pensare che nel primo e terzo quadrante la funzione è positiva, mentre nel secondo e nel quarto quadrante la funzione è negativa. In O(0,0) la funzione ovviamente vale zero. Questo vuol dire che se mi sposto dall'origine nel primo o terzo quadrante la funzione cresce, mentre se mi sposto nel secondo o quarto quadrante la funzione decresce.
Ora ti propongo tre casi diversi.
1. Supponi che il tuo dominio sia costituito da un triangolo interamente contenuto nel primo quadrante e avente un vertice proprio nell'origine. Evidentemente, quando ti sposti dall'origine stando nel dominio, vedrai solo e sempre la funzione crescere: devi dunque dire che quello è un minimo relativo in senso lato. Se avessi utilizzato il metodo delle restrizioni, avresti trovato un minimo lungo entrambi i lati.
2. Supponi che il tuo dominio sia costituito da un triangolo interamente contenuto nel secondo quadrante e avente un vertice proprio nell'origine. Evidentemente, quando ti sposti dall'origine stando nel dominio, vedrai solo e sempre la funzione decrescere: devi dunque dire che quello è un massimo relativo in senso lato. Se avessi utilizzato il metodo delle restrizioni, avresti trovato un massimo lungo entrambi i lati.
3. Supponi che il tuo dominio sia costituito da un triangolo avente un lato contenuto nel primo quadrante, un lato nel terzo quadrante e avente un vertice proprio nell'origine. Questa volta, quando ti sposti dall'origine stando nel dominio, vedrai la funzione crescere se ti muovi nel primo e terzo quadrante, vedrai la funzione decrescere se ti muovi nel quarto quadrante (hai chiuso il triangolo utilizzando il terzo lato che taglia il quarto quadrante): devi dunque dire che quello è un punto di sella. Se avessi utilizzato il metodo delle restrizioni, avresti trovato un minimo lungo entrambi i lati.
Che cosa voglio quindi dire con tutto questo? Determinare una RIGOROSA condizione sufficiente in questo caso non è affatto semplice. Se non sono stati studiati metodi più efficaci, bisognerebbe valutare caso per caso. Per questo sostenevo che difficilmente ti avrebbero dato un esercizio con un punto di sella sulla frontiera. Se il docente è intellettualmente onesto, non può accettare semplicistiche considerazioni che lasciano il tempo che trovano.
Sì, ho capito, Grazie mille.
Posso chiederti un'ultima cosa?
devo trovare massimi e minimi assoluti di $f(x,y)=acrtg(x^2+y^2)$
nel cerchio di centro l'origine e raggio 1.
Ma come devo procedere?
ho trovato il punto critico interno che è (0,0), che è un minimo assoluto per f... La funzione è crescente e sempre positiva, quindi siccome in (0,0) si annulla, il minimo è assoluto.
sulla frontiera, viene $arctg(sin^2t+cos^2t)=arctg(1)$
ovvero è costante e vale $pi/4$...
io ho pensato che essendo crescente tali punti(quelli della frontiera) sono massimi. Giusto?
Oppure dovevo studiare direttamente solo il polinomio $x^2+y^2$??
Posso chiederti un'ultima cosa?
devo trovare massimi e minimi assoluti di $f(x,y)=acrtg(x^2+y^2)$
nel cerchio di centro l'origine e raggio 1.
Ma come devo procedere?
ho trovato il punto critico interno che è (0,0), che è un minimo assoluto per f... La funzione è crescente e sempre positiva, quindi siccome in (0,0) si annulla, il minimo è assoluto.
sulla frontiera, viene $arctg(sin^2t+cos^2t)=arctg(1)$
ovvero è costante e vale $pi/4$...
io ho pensato che essendo crescente tali punti(quelli della frontiera) sono massimi. Giusto?
Oppure dovevo studiare direttamente solo il polinomio $x^2+y^2$??
In questo esercizio sei quasi costretta ad affrontare il concetto di "curve di livello". Una curva di livello è un insieme di punti nel piano (x,y) dove la funzione assume lo stesso valore. Nel tuo caso x^2 + y^2 = costante, evidentemente circonferenze con centro nell'origine e raggio che varia al variare del valore della funzione. Siccome la tua frontiera è proprio una curva di livello, su tutti i punti della frontiera la funzione assume lo stesso valore. Questo valore è anche il massimo assoluto, in quanto la funzione cresce allontanandoti dall'origine. Per quanto riguarda gli esercizi che mi hai chiesto, ne ho in forma cartacea. Se sei veramente interessata vedo cosa posso fare.
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