Esercizio funzione derivabile

[alfox1]

salve ragazzi sono uno studente di informatica e devo sostenere l'esame di analisi matematica, il mio prof è solito dare un esercizio che io non so come si deve svolgere vi prego aiutatemi per parecchi di voi sarà una sciocchezza ma io non ne ho la più pallida idea.
la tipologia è la seguente:

|sin(a+x) se x>0
f(x)=|
|bx+1 se x<=0

determinare a e b tale che f risulti derivabile


vi prego help!!!!!!

[Giulio892]

Per essere derivabile deve essere prima di tutto continua quindi io metterei a sistema $lim_(x->0^-) (bx+1)=lim_(x->0+) (sen(a+x))$ e $lim_(x->0^-) f'(x)=lim_(x->0^+) (f'(x))$

[alfox1]

"Giulio89":Per essere derivabile deve essere prima di tutto continua quindi io metterei a sistema $lim_(x->0^-) (bx+1)=lim_(x->0+) (sen(a+x))$ e $lim_(x->0^-) f'(x)=lim_(x->0^+) (f'(x))$

grazie mille pe la risposta. ma pe me parli "matematichese" non è che per aiutarmi svolgeresti quell'esercizio che ho messo come esempio. Perdonami per la scocciatura ma ho davvero bisogno di fare questo esercizio....grazie mille

[_nicola de rosa]

"alfox":salve ragazzi sono uno studente di informatica e devo sostenere l'esame di analisi matematica, il mio prof è solito dare un esercizio che io non so come si deve svolgere vi prego aiutatemi per parecchi di voi sarà una sciocchezza ma io non ne ho la più pallida idea.
la tipologia è la seguente:

|sin(a+x) se x>0
f(x)=|
|bx+1 se x<=0

determinare a e b tale che f risulti derivabile


vi prego help!!!!!!

Allora la continuità è assicurata se $lim_(x->0^-)f(x)=lim_(x->0^+)f(x)$ e quindi se $lim_(x->0^-)(bx+1)=lim_(x->0^+)sin(x+a)$.
Ora $lim_(x->0^-)(bx+1)=1$ mentre $lim_(x->0^+)sin(x+a)=sin(a)$ per cui la funzione è continua se $sin(a)=1$ $<=>$$a=pi/2+2kpi$.

La derivabilità è assicurata se $lim_(x->0^-)f'(x)=lim_(x->0^+)f'(x)$

Ora $f'(x)=cos(x+a)$ per $x>0$ e $f'(x)=b$ per $x<=0$ per cui la derivabilità è assicurata se $cos(a)=b$ e ricordando che $a=pi/2+2kpi$ la funzione è derivabile se $b=cos(pi/2+2kpi)=0$.

In conclusione $a=pi/2+2kpi,b=0$.

Visto che questo l'ho risolto io, te ne propongo un altro:

$f(x)={(ax+b,,x<=0),((e^x-1)/x,,x>0):}$

Trovare $a,b$ che assicurino la continuità e derivabilità di $f(x)$

[Fioravante Patrone1]

$lim_(x->0^-)f'(x)=lim_(x->0^+)f'(x)$ è condizione sufficiente per la derivabilità (se la funzione è continua in $0$), ma non necessaria.

[alfox1]

x nicola de rosa

grazie grazie mille davvero proverò senz'altro a fare l'esercizio da te proposto e poi te lo farò vedere.
grazie ancora a domani con la soluzione (o almeno ci provo) dell'esercizio.

naturalmente grazie a tutti coloro che hanno postato la loro risposta!

[Steven11]

"Fioravante Patrone":$lim_(x->0^-)f'(x)=lim_(x->0^+)f'(x)$ è condizione sufficiente per la derivabilità (se la funzione è continua in $0$), ma non necessaria.

Devi scusarmi, non è che potresti farmi vedere un controesempio in cui non è appunto necessario che sia
$lim_(x->0^-)f'(x)=lim_(x->0^+)f'(x)$ (per la derivabilità, ovviamente).

Buonanotte.

[alfox1]

"nicola de rosa":

Visto che questo l'ho risolto io, te ne propongo un altro:

$f(x)={(ax+b,,x<=0),((e^x-1)/x,,x>0):}$

Trovare $a,b$ che assicurino la continuità e derivabilità di $f(x)$

Allora ho cercato di risolverlo in questo modo, spero solo di non aver scritto grandi stupidagini:

$lim_(x->0^-)(ax+b)=b$

$lim_(x->0^+)((e^x-1)/x)=e^x$ usando Hopital

quindi:

$b=e^x$

ancora:

$f'(x)=a$

$f'(x)=e^x$

quindi avremo

$a=1$


quindi la risposta è $a=1$ $b=e^x$

giusto?Fammi sapere.

[Steven11]

$lim_(x->0^+)((e^x-1)/x)=e^x$

Mica hai finito.
L'espressione che hai ottenuto dipende ancora da $x$. La risposta giusta è $1$, visto che $e^x->1 \quad "se" \quadx->0$
Comunque quello è un limite notevole famoso, dovresti riconoscerlo.

$f'(x)=e^x$

??
Scommetto che hai derivato numeratore e denominatore, come se stessi applicando L'Hopital.
In realtà dovevi applicare la regola di derivazione del prodotto (o quoziente, secondo i gusti).

[alfox1]

giusto è un limite notevole

ok allora ci starò più attento.Grazie mille

[Megan00b]

"alfox":
$lim_(x->0^+)((e^x-1)/x)=e^x$ usando Hopital

$lim_(x->0^+)((e^x-1)/x)=1$
E'un limite notevole. E non vorrebbe comunque dire niente perchè la x è la variabile su cui fai il limite. Il risultato del limite se esiste è un numero. Nella fattispecie è il numero $e^0=1$

[Fioravante Patrone1]

"Steven":[quote="Fioravante Patrone"]$lim_(x->0^-)f'(x)=lim_(x->0^+)f'(x)$ è condizione sufficiente per la derivabilità (se la funzione è continua in $0$), ma non necessaria.

Devi scusarmi, non è che potresti farmi vedere un controesempio in cui non è appunto necessario che sia
$lim_(x->0^-)f'(x)=lim_(x->0^+)f'(x)$ (per la derivabilità, ovviamente).

Buonanotte.[/quote]
Buonanotte un corno! E' ancora troppo presto...

Ti dò la canna per pescare, come è nel mio stile.

Prendi una funzione che stia fra $-x^2$ e $x^2$.
Ovviamente sarà derivabile in zero e la sua derivata vale $0$ (i soliti carabinieri).

Ora, basta far dondolare la funzione mentre ci si avvicina a $0$ quel tanto che basta in modo che la derivata prima non vada a zero.
Cosa useresti per farla dondolare?

[alvinlee881]

"alfox":
Allora ho cercato di risolverlo in questo modo, spero solo di non aver scritto grandi stupidagini:

$lim_(x->0^-)(ax+b)=b$

$lim_(x->0^+)((e^x-1)/x)=e^x$ usando Hopital

quindi:

$b=e^x$

ancora:

$f'(x)=a$

$f'(x)=e^x$

quindi avremo

$a=1$


quindi la risposta è $a=1$ $b=e^x$

giusto?Fammi sapere.

ARGHHHH!!! Cosa vuol dire $b=e^x$? E' forse un valore? Il limite non l'hai finito, $e^x$ dipende ancora da x, il risultato fa 1. Poi la derivata di $(e^x-1/x)$ è sbagliata.

Per rispondere a Steven. In generale richiedere che $lim_{x->0-}f'(x)=lim_{x->0+)f'(x)$ è condizione necessaria per la continuità della derivata in zero, non per la derivabilità. Infatti la definizione di funzione derivabile è che esistano finiti i limiti del rapporto incrementale destri e sinistri relativi al punto $x_0$, e che coincidano. E $f'(x_0)$ è proprio il valore di questo limite, e non sempre il valore del "limite di un limite" coincide con il valore limite singolo (notare la rigorosità). Prendi ad esempio la funzione definita come $x^2sin(1/x)$ se $x!=0$ e $0$ se $x=0$. Essa è continua in $0$, poichè $lim_{x->0-}x^2sin(1/x)=lim_{x->0+}x^2sin(1/x)=0$, e coincide col valore della funzione nel punto $x_0=0$. Calcoliamo la derivata fuori da $0$. Essa vale $2xsin(1/x)-cos(1/x)$, e $lim_{x_0+}2xsin(1/x)-cos(1/x)=lim_{x_0+}2xsin(1/x)-lim_{x_0+}cos(1/x)$ non esiste poichè non esiste il limite di $cos(1/x)$. Quinid la derivata non è continua (cioè i limiti destro (e anche sinistro, volendo) non esistono). Ciò non toglie che la funzione sia derivabile in zero, e questo non si vede ovviamente dal fatto che $D_x(0)=0$, (il mio prof ci ha raccontato di gente che all'esame è uscita con cose come questa) ma applicando la definizione. Si deve cioè vedere se esistono finiti, e sono uguali, i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale della funzione relativo al punto $0$. Si ha $lim_{x->0-}(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_{x->0-}(x^2sin(1/x)-0)/x=lim_{x->0+}xsin(1/x)=0$ $inRR$, perchè la funzione $sin(1/x)$ ,pur esplodendo in $0$, viene "mangiata" (parole precise del mio prof) dalla funzione $x$, che tende a $0$. Anche il limite da destra fa $0$. Dunque secondo la definizione di derivabilità, la funzione è derivabile, e la condizione sufficiente è bellamente non rispettata (ossia la derivata non è continua in zero).
Ho scritto il post velocemente, non vorrei aver sbagliato qualcosa... [size=75][FP: ho corretto un errore di stampa: parlavi di f'(x) invece di f'(x_0)][/size]

[alvinlee881]

Ops scusa prof, non avevo letto il tuo "invito"...sorry

[Fioravante Patrone1]

"alvinlee88":Ops scusa prof, non avevo letto il tuo "invito"...sorry

mi piace la terminologia usata, in particolare l'osservazione sul limite del limite; anche quel "mangiata" rende l'idea

per le scuse, no problem, penso che me ne farò una ragione

[alvinlee881]

"Fioravante Patrone":mi piace la terminologia usata, in particolare l'osservazione sul limite del limite; anche quel "mangiata" rende l'idea

E' sempre un piacere ricevere apprezzamenti da un prof universitario
Spero di essere stato utile per Steven..

[Steven11]

Ciao a tutti, scusate il ritardo.

"alvinlee88":
Spero di essere stato utile per Steven..

Utilissimo, sei stato molto chiaro.
Soprattutto, grazie per avermi salvato dalle grinfie di quell'arcigno moderatore, che borbotta anche per un educato saluto "buonanotte".
Saluto che, da persona educata quale mi vanto di essere, ri-rivolgo ad entrambi (oltre ai ringraziamenti).

Alla prossima

[Fioravante Patrone1]

Uh, chi si rivede!

Dormito bene, pannamiele?

[Steven11]

"Fioravante Patrone":Uh, chi si rivede!
Dormito bene, pannamiele?

Come dicevo, Alvinlee mi ha salvato da un incubo, quindi sonni tranquilli.
Comunque per un vegano (me, appunto), né panna né miele sono di casa.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Mi assumo tutte le mie responsabilità per questo OT ma è d'obbligo,..

"Steven":Comunque per un vegano (me, appunto), né panna né miele sono di casa.

Pofferbacco! saperlipopette !!
Sei il primo vegano che conosco dopo mio fratello!
Io sono vegetariano!

[Steven11]

Divido le responsabilità dell'OT (la discussione matematica sembra esaurita).

"Martino":
Sei il primo vegano che conosco dopo mio fratello!
Io sono vegetariano!

Ottimo! Pesce sì o no?
Carissimi saluti a tuo fratello