Esercizio differenziabilità
Devo dimostrare che la funzione
[tex]$ f(x,y):= \begin{cases} \frac{x^2 y(x+y)}{x^4+y^2} &\text{, se $(x,y)\neq (0,0)$} \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases} $[/tex]
non è differenziabile nell'origine.
Dopo aver verificato che è continua in [tex]$(0,0)$[/tex] e che esistono tutte le derivate direzionali in [tex]$(0,0)$[/tex], e valgono [tex]$0$[/tex], ho provato a mettere giù la definizione di differenziabilità, cercando di far vedere che [tex]$f(x,y)-f(0,0)-\nabla f(0,0)\cdot (x,y)$[/tex] non è [tex]$\text{o}(\sqrt{x^2+y^2})$[/tex]; ma poco convinto che fosse questa la strada giusta, non sono riuscito a venirne a capo. Se mi confermate che è l'unico modo ci riprovo!
[tex]$ f(x,y):= \begin{cases} \frac{x^2 y(x+y)}{x^4+y^2} &\text{, se $(x,y)\neq (0,0)$} \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases} $[/tex]
non è differenziabile nell'origine.
Dopo aver verificato che è continua in [tex]$(0,0)$[/tex] e che esistono tutte le derivate direzionali in [tex]$(0,0)$[/tex], e valgono [tex]$0$[/tex], ho provato a mettere giù la definizione di differenziabilità, cercando di far vedere che [tex]$f(x,y)-f(0,0)-\nabla f(0,0)\cdot (x,y)$[/tex] non è [tex]$\text{o}(\sqrt{x^2+y^2})$[/tex]; ma poco convinto che fosse questa la strada giusta, non sono riuscito a venirne a capo. Se mi confermate che è l'unico modo ci riprovo!
Risposte
Prova a passare in coordinate polari.
Eh non le ho ancora fatte, non ci sono altri modi?
Tra l'altro noto che la funzione vale 0 su entrambi gli assi, quindi esiste un intorno dell'origine in cui le derivate parziali esistono, e a meno di abbagli dovrebbero anche essere continue in 0; quindi quale ipotesi manca per il teorema del differenziale totale?
Tra l'altro noto che la funzione vale 0 su entrambi gli assi, quindi esiste un intorno dell'origine in cui le derivate parziali esistono, e a meno di abbagli dovrebbero anche essere continue in 0; quindi quale ipotesi manca per il teorema del differenziale totale?
come hai verificato che sia continua in (0,0) e che ammetta derivate parziali in tale punto?
Per la continuità dovrebbero bastare un paio di maggiorazioni, per le derivate direzionali ho scritto il rapporto incrementale "su ogni retta" avente versore generico $ul(v)=(alpha,beta)$ e ho visto che tendeva a 0 indipendentemente da $alpha$ e $beta$.
Contentissimo di aver sbagliato, se l'ho fatto! Sapreste dirmi dove?
Contentissimo di aver sbagliato, se l'ho fatto! Sapreste dirmi dove?
Penso che devi fare in quel modo che non ti piaceva 
Io sto iniziando a fare ora esercizi di questo tipo, per dimostrare che una funzione non è differenziabile in un punto faccio vedere che quel limite o non esiste o non è 0.
Io sto iniziando a fare ora esercizi di questo tipo, per dimostrare che una funzione non è differenziabile in un punto faccio vedere che quel limite o non esiste o non è 0.
Sì ho risolto, senza le coordinate polari si può fare vedere che non esiste il limite, in quel caso.
Ho svolto un esercizio simile, lo posto qui così possiamo anche confrontarci.
Ho una funzione $ f(x,y) = sqrt(|x*tany|) $ e devo stabilire se questa è differenziabile nell'origine.
Le funzioni derivate parziali non sono definite nell'origine, quindi non essendo continue, non posso sfruttare il teorema del differenziale.
Ho calcolato quindi le derivate parziali utilizzando la definizione, ed entrambe sono uguali a 0.
Ora dovrei calcolare il limite per verificare la differenziabilità, cioè:
$ \lim_{(h,k)->(0,0)} (sqrt(|h*tank|)/sqrt(h^2+k^2)) $
Questo limite però non esiste, perché sulla restrizione $ h = 0 $ è 0, su $ h = k^2 $ è diverso da 0.
E' corretto oppure ho sbagliato qualcosa?
Devo procedere sempre in questa maniera quando le funzioni derivate parziali non sono definite nel punto in cui voglio controllare la differenziabilità?
Ho una funzione $ f(x,y) = sqrt(|x*tany|) $ e devo stabilire se questa è differenziabile nell'origine.
Le funzioni derivate parziali non sono definite nell'origine, quindi non essendo continue, non posso sfruttare il teorema del differenziale.
Ho calcolato quindi le derivate parziali utilizzando la definizione, ed entrambe sono uguali a 0.
Ora dovrei calcolare il limite per verificare la differenziabilità, cioè:
$ \lim_{(h,k)->(0,0)} (sqrt(|h*tank|)/sqrt(h^2+k^2)) $
Questo limite però non esiste, perché sulla restrizione $ h = 0 $ è 0, su $ h = k^2 $ è diverso da 0.
E' corretto oppure ho sbagliato qualcosa?
Devo procedere sempre in questa maniera quando le funzioni derivate parziali non sono definite nel punto in cui voglio controllare la differenziabilità?
"Giuly19":
Sì ho risolto, senza le coordinate polari si può fare vedere che non esiste il limite, in quel caso.
Scusa, quale limite non esiste? $Lim_((x,y)->(0,0))(x^2y(x+y))/(x^2+y^4)$?
@abral: ho letto velocemente ma secondo me è giusto! A parte il fatto che penso intendessi differenziabilità invece di derivabilità. Comunque se le derivate parziali non esistono in un punto è ovvio che la funzione non sia differenziabile in quel punto, perchè l'esistenza di tutte le derivate direzionali è condizione necessaria per la differenziabilità!
@Mirino: no non quello, quello esiste eccome altrimenti non sarebbe continua nell'origine!
Quello che non esiste è $(f(ul(x))-f(ul(0))-gradf(ul(0)))/||ul(x)||$ con $ul(x)->ul(0)$.
@Mirino: no non quello, quello esiste eccome altrimenti non sarebbe continua nell'origine!
Quello che non esiste è $(f(ul(x))-f(ul(0))-gradf(ul(0)))/||ul(x)||$ con $ul(x)->ul(0)$.
$Lim_((x,y)->(0,0))(f(x,y)-f(0,0)-(delf)/(delx)(0,0)x-(delf)/(dely)(0,0)y)/sqrt(x^2+y^2)$
Questo $Lim_((x,y)->(0,0))(x^2y(x+y))/((x^2+y^4)sqrt(x^2+y^2))$?
Questo $Lim_((x,y)->(0,0))(x^2y(x+y))/((x^2+y^4)sqrt(x^2+y^2))$?
"Giuly19":
@abral: ho letto velocemente ma secondo me è giusto! A parte il fatto che penso intendessi differenziabilità invece di derivabilità. Comunque se le derivate parziali non esistono in un punto è ovvio che la funzione non sia differenziabile in quel punto, perchè l'esistenza di tutte le derivate direzionali è condizione necessaria per la differenziabilità!
Sisi intendevo differenziabilità
Cmq le derivate parziali esistono in (0,0) e valgono 0, solo che bisogna calcolarle utilizzando la definizione di derivata parziale, e non derivando semplicemente la funzione con le regole di derivazione (cioè se non utilizzo la definizione ma utilizzo le regole di derivazione, mi trovo una funzione $ f_x $ che non è definita in (0,0), invece calcolando direttamente il limite del rapporto incrementale della variabile $x$ mi trovo il valore 0).
Cavolo Mirino scusami! Avevo sbagliato dall'inizio a scrivere la funzione! Infatti quel limite esiste eccome e vale 0, ergo la funzione che c'era scritta fino a un attimo fa era differenziabile! XD Avevo invertito gli esponenti a denominatore! Riprova ora!
Comunque abral quando intendo esistenza delle derivate parziali, è ovvio che intendo che tu abbia verifica con la definizione che il limite esiste e finito.
Comunque abral quando intendo esistenza delle derivate parziali, è ovvio che intendo che tu abbia verifica con la definizione che il limite esiste e finito.
"Giuly19":
Comunque abral quando intendo esistenza delle derivate parziali, è ovvio che intendo che tu abbia verifica con la definizione che il limite esiste e finito.
Ah ok, ero stato fuorviato dal fatto che avevi scritto che la non esistenza delle derivate parziali ecc. ecc.. Pensavo che intendessi che per la mia funzione non esistessero
Beh ma le derivate parziali non esistono nell'origine solo se : $lim_(t->0) (f(tul(v))-f(ul(0)))/t$ non esiste o non è finito (se sceglo $ul(v)=(0,1)$ oppure $ul(v)=(1,0)$). Ovviamente ci sono casi in cui la funzione derivata parziale non è definita in un punto, ma la funzione in quel punto è comunque derivabile rispetto a x o a y (mi sembra che il tuo esercizio ne fosse un esempio)!
"Giuly19":
Cavolo Mirino scusami! Avevo sbagliato dall'inizio a scrivere la funzione! Infatti quel limite esiste eccome e vale 0, ergo la funzione che c'era scritta fino a un attimo fa era differenziabile! XD Avevo invertito gli esponenti a denominatore! Riprova ora!
Come fai a verificare che quel limite $Lim_((x,y)->(0,0))(x^2y(x+y))/((x^2+y^4)sqrt(x^2+y^2))$ vale $0$? Non ci riesco...
"Giuly19":
Beh ma le derivate parziali non esistono nell'origine solo se : $lim_(t->0) (f(tul(v))-f(ul(0)))/t$ non esiste o non è finito (se sceglo $ul(v)=(0,1)$ oppure $ul(v)=(1,0)$). Ovviamente ci sono casi in cui la funzione derivata parziale non è definita in un punto, ma la funzione in quel punto è comunque derivabile rispetto a x o a y (mi sembra che il tuo esercizio ne fosse un esempio)!
Si infatti, stiamo dicendo la stessa cosa
Io avevo capito male, pensavo tu stessi dicendo che la funzione non era derivabile, perciò non mi trovavo!
Ci ho messo un po' ma si riesce dai! Pensaci bene! Tieni conto che io non ho ancora fatto le coordinate polari quindi vado solo di maggiorazioni!
Ci sono riuscito. Però non capisco come verifichi che $Lim_((x,y)->(0,0))(x^2y(x+y))/((x^4+y^2)sqrt(x^2+y^2))!=0$
Quello è facile dai, basta vedere sull'asse x la funzione tende a 0 infatti $f(x,0)=0$; quindi, per l'unicità, il limite se esiste è 0. Invece sulla parabola $y=x^2$ la funzione tende a $sign(x)$, quindi il limite non esiste.
Scusate, ragazzi:
No. Stai calcolando un limite puntuale, il risultato deve essere un numero (oppure $+-infty$), non può essere una funzione della $x$. Ho capito cosa vuoi dire ed hai anche ragione, ma riformula la risposta perché così è un errore.
"Giuly19":
la funzione tende a $sign(x)$
No. Stai calcolando un limite puntuale, il risultato deve essere un numero (oppure $+-infty$), non può essere una funzione della $x$. Ho capito cosa vuoi dire ed hai anche ragione, ma riformula la risposta perché così è un errore.
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