Esercizio differenziabilità

[Giuly191]

Devo dimostrare che la funzione

[tex]$ f(x,y):= \begin{cases} \frac{x^2 y(x+y)}{x^4+y^2} &\text{, se $(x,y)\neq (0,0)$} \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases} $[/tex]

non è differenziabile nell'origine.
Dopo aver verificato che è continua in [tex]$(0,0)$[/tex] e che esistono tutte le derivate direzionali in [tex]$(0,0)$[/tex], e valgono [tex]$0$[/tex], ho provato a mettere giù la definizione di differenziabilità, cercando di far vedere che [tex]$f(x,y)-f(0,0)-\nabla f(0,0)\cdot (x,y)$[/tex] non è [tex]$\text{o}(\sqrt{x^2+y^2})$[/tex]; ma poco convinto che fosse questa la strada giusta, non sono riuscito a venirne a capo. Se mi confermate che è l'unico modo ci riprovo!

[Giuly191]

Ok, dovrei dire quindi che tende a $ pm 1$ a seconda che mi avvicini dal ramo destro o sinistro della parabola?
O semplicemente che non esiste il limite di quella roba e quindi non è 0, che è quello che mi interessa?

[^Tipper^1]

"Giuly19":Quello è facile dai, basta vedere sull'asse x la funzione tende a 0 infatti $f(x,0)=0$; quindi, per l'unicità, il limite se esiste è 0. Invece sulla parabola $y=x^2$ la funzione tende a $sign(x)$, quindi il limite non esiste.

Ero convinto di avero calcolato sulla parabola $x^2$ mentre invece lo avevo calcolato su $sqrtx$. Adesso mi è chiaro.

[Giuly191]

Ecco però leggi anche il commento di Dissonance, se no magari ti metti in testa cose sbagliate per colpa mia! >.<

[dissonance]

"Giuly19":Ok, dovrei dire quindi che tende a $ pm 1$ a seconda che mi avvicini dal ramo destro o sinistro della parabola?
O semplicemente che non esiste il limite di quella roba e quindi non è 0, che è quello che mi interessa?

Vanno benissimo tutti e due. Basta che non ci sia una $x$ (o una $y$) nel risultato! E' una cosa che salta subito all'occhio di un insegnante di matematica: se vede una scrittura come

$lim_{x \to x_0} f(x)=g(x)$

parte istintivamente con la matita blu dell'errore grave. Come sai, quando prendi il limite rispetto ad una variabile, quella variabile diventa muta e non può più comparire nel risultato.

[Giuly191]

Beh ma io non ho usato quella scrittura. Ho detto che la funzione tende a sign(x), che equivale a tende a $1$ se $x>0$ e $-1$ se $x<0$. A me non sembra così sbagliato dirlo così, anche perchè l'ho visto scritto molte volte! In effetti scrivere $lim_(x->x_0) f(x) = g(x)$ è veramente una schifezza, ma $f(x)->sign(x)$ con $x->x_0$ non mi sembra così estraneo ai miei eserciziari. Potrei comunque sbagliarmi, e starò attento a quello scrivo in futuro!

[dissonance]

Ma sei sicuro? Cosa c'è di diverso tra

$lim_{x \to x_0} f(x)=g(x)$

e

$lim_{x \to x_0} f(x)=sign(x)$?

Io direi, niente: sono sbagliati tutti e due. E non è scrivendo $f(x) \to sign(x)$, invece di $\lim_{x\to x_0} f(x)=sign(x)$, che cambierà qualcosa!

Guarda bene nei tuoi eserciziari. Mi pare veramente difficile che ci possa essere una scrittura di questo genere.

P.S.:

$f(x)\to "sign"(x)$ con $x\to x_0$ [...]

Si dice per $x \to x_0$, o anche quando $x \to x_0$. Con è scorretto a livello logico.

Lo so che tutto questo ti sembra una massa di pignolerie inutili, ma ti assicuro che non è così. Un linguaggio scorretto porta con sé un ragionamento scorretto. E poi, più terra-terra, fa una bruttissima impressione su un professore, specialmente su un matematico.

[Giuly191]

Hai ragione, e poi i matematici sono pignoli per definizione! Dopo mi metto a spulciare l'eserciziario alla ricerca di un $f(x)->sign(x)$!