Esercizio Analisi 2
Salve ho da risolvere questo esercizio di calcolo delle variazioni:
$\delta int_(t_1)^(t_2) (u'^2 -u^2)dt=0$ applicando l' equazione di Eulero-Lagrange ovvero
$(\deltaF)/(\deltau) - d/dt((\deltaF)/(\delta u^{\prime}))=0$ qualcuno mi aiuta ad applicarla???? Allora la mia $F(u,u^{\prime},t)=u'^2 -u^2$ come devo fare???? Aiutatemi a capire
$\delta int_(t_1)^(t_2) (u'^2 -u^2)dt=0$ applicando l' equazione di Eulero-Lagrange ovvero
$(\deltaF)/(\deltau) - d/dt((\deltaF)/(\delta u^{\prime}))=0$ qualcuno mi aiuta ad applicarla???? Allora la mia $F(u,u^{\prime},t)=u'^2 -u^2$ come devo fare???? Aiutatemi a capire
Risposte
Cos'è che non ti riesce? si tratta di fare qualche semplice derivata parziale. Sai derivare $F$ rispetto a $u'$ e $u$?
Allora faccio la derivata parziale $(\deltaF)/(\deltau)=-2u$ poi faccio $(\deltaF)/(\deltau')=2u'$ mentre come devo fare questa:$d/dt((\deltaF)/(\deltau'))=????$ come devo continuare????
"Merlino":
Allora faccio la derivata parziale $(\deltaF)/(\deltau)=-2u$ poi faccio $(\deltaF)/(\deltau')=2u'$ mentre come devo fare questa:$d/dt((\deltaF)/(\deltau'))=????$ come devo continuare????
La scrittura $d/dt((\deltaF)/(\deltau'))$ è chiara. Significa che prima devi fare la derivata parziale di $F$ rispetto a $u'$ e poi derivare ciò che hai ottenuto rispetto alla variabile della funzione $u$, in questo caso $t$ appunto.
Come giustamente hai scritto si ha che: $(\deltaF)/(\deltau')=2u'$ e quindi banalmente $d/dt(2u') = 2u''$.
La tua equazione di Eulero-Lagrange è allora: $2u''+2u=0 => u''+u=0$.
Scusami ma $d/dt((\deltaF)/(\deltau'))=0$ non dovrebbe essere uguale a zero??? Dove sta la dipendenza dal tempo????
"Merlino":
Scusami ma $d/dt((\deltaF)/(\deltau'))=0$ non dovrebbe essere uguale a zero??? Dove sta la dipendenza dal tempo????
Se leggevi bene il post che ho scritto trovavi anche la risposta. Secondo te la funzione $u$ da cosa dipende se non da $t$?. La derivata $u'$ che compare nella Lagrangiana $F(u, u', t)$ è infatti $u'=d/dt(u)$. In questo caso particolare è $F$ a non dipendere esplicitamente da $t$, ma questo è un altro discorso e in ogni caso c'è comunque dipendenza implicita dal momento che $F$ dipende da $u(t)$ che a sua volta dipende da $t$.
Ho questo dubbio perchè mi è stato detto che quando $(\deltaF)/(\delta t)=0$ bisogna applicare questa relazione che prende l nome di ENERGIA $F-(\deltaF)/(\deltau')* u'=K$ dove $K$ vuol dire che è costante, quindi questa relazione quando va applicata????
Comunque svolgo un nuovo esercizio per vedere se ho capito:
$\delta int_0^1 y*y'^2 dx=0$ con $y(0)=0 , y(1)= 4^(1/3)$ quindi $F(y,y',x)= y*y'^2$
$(\deltaF)/(\delta y)- d/(d x)*(\deltaF)/(\delta y') = 0$
$(\delta F) /(\delta y) =(y*y'^2)/(\delta y) = y'^2$
$(\deltaF)/(\delta y')=(y*y'^2)/(\delta y')=2*y*y'$
$(d)/(d x)*(\deltaF)/(\delta y')=2*y*y''$
quindi ottengo $y'^2+2*y*y''=0$ giusto o ho sbagliato?????
Comunque svolgo un nuovo esercizio per vedere se ho capito:
$\delta int_0^1 y*y'^2 dx=0$ con $y(0)=0 , y(1)= 4^(1/3)$ quindi $F(y,y',x)= y*y'^2$
$(\deltaF)/(\delta y)- d/(d x)*(\deltaF)/(\delta y') = 0$
$(\delta F) /(\delta y) =(y*y'^2)/(\delta y) = y'^2$
$(\deltaF)/(\delta y')=(y*y'^2)/(\delta y')=2*y*y'$
$(d)/(d x)*(\deltaF)/(\delta y')=2*y*y''$
quindi ottengo $y'^2+2*y*y''=0$ giusto o ho sbagliato?????
"Merlino":
Ho questo dubbio perchè mi è stato detto che quando $(\deltaF)/(\delta t)=0$ bisogna applicare questa relazione che prende l nome di ENERGIA $F-(\deltaF)/(\deltau')* u'=K$ dove $K$ vuol dire che è costante, quindi questa relazione quando va applicata????
Comunque svolgo un nuovo esercizio per vedere se ho capito:
$\delta int_0^1 y*y'^2 dx=0$ con $y(0)=0 , y(1)= 4^(1/3)$ quindi $F(y,y',x)= y*y'^2$
$(\deltaF)/(\delta y)- d/(d x)*(\deltaF)/(\delta y') = 0$
$(\delta F) /(\delta y) =(y*y'^2)/(\delta y) = y'^2$
$(\deltaF)/(\delta y')=(y*y'^2)/(\delta y')=2*y*y'$
$(d)/(d x)*(\deltaF)/(\delta y')=2*y*y''$
quindi ottengo $y'^2+2*y*y''=0$ giusto o ho sbagliato?????
L'equazione che hai scritto, cioè: $F-(\partialF)/(\partialu')* u'=k$ non è altro che un caso particolare dell'equazione di E-L, in particolare vale quando la Lagrangiana $F$ non dipende esplicitamente da $t$.
Dimostrarlo è facile:
Partiamo dalla classica E-L: $d/dt((\partialF)/(\partial u^{\prime})) - (\partialF)/(\partialu) =0$, moltiplichiamo ambo i membri per $u'$ (supponendo $u'!=0$): $u'*(d/dt((\partialF)/(\partial u^{\prime})) - (\partialF)/(\partialu)) = d/dt(u'*(\partialF)/(\partial u^{\prime}))-u''*(\partialF)/(\partial u^{\prime})-u'*(\partialF)/(\partialu) = d/dt(u'*(\partialF)/(\partialu')-F)=0$ e questo implica: $u'*(\partialF)/(\partialu')-F=k (costante)$.
Se la $F$ non dipende da $t$, spesso è comodo applicare l'ultima equazione, poiché è una versione semplificata della E-L iniziale. Tuttavia, come dovrebbe esser chiaro, in termini di correttezza non c'è alcuna differenza nell'applicare l'una o l'altra.
Se applico la versione semplificata al problema iniziale che avevi proposto ottengo:
$u'*(\partialF)/(\partialu')-F=k (costante) => u'*2u'-u'^2+u^2=k => u'^2+u^2=k$, derivando ambo i membri si ottiene: $2u''u'+2u'u=0 => u''+u=0$ che è quanto avevo trovato anche prima.
Quanto al tuo esercizio, c'è un errore quando calcoli il termine: $(d)/(d x)((\partialF)/(\partial y'))$.
Si ha: $(d)/(d x)((\partialF)/(\partial y')) = d/dt(2yy')=2d/dt(yy')= \text{derivata di un prodotto} = 2(y'y'+yy'')=2(y'^2+yy'')$.
Scusami quindi $(d)/(d x)*(\deltaF)/(\delta y')$ a qualsiasi risultato di $(\deltaF)/(\delta y')$ si applicano le regole di derivazione insomma se ci troviamo con $y', y'', y''$ il risultato rispetto a $(d)/(d x)$ hanno la stessa faccia???? Un' altro dubbio come mi accorgo che $F$ non dipende da $t$???? Al di la di questo ritornando al mio esercizio $F(y,y',x)= y*y'^2$ ottengo che la mia EQUAZIONE di EULERO-LAGRANGE è $2*y'^2+2*y*y''-y'^2=0$ da cui ottengo $y'^2+2y*y''$ ottenuta questa si tratta solo di risolvere l' euazione differenziale????
"Merlino":
Scusami quindi $(d)/(d x)*(\deltaF)/(\delta y')$ a qualsiasi risultato di $(\deltaF)/(\delta y')$ si applicano le regole di derivazione insomma se ci troviamo con $y', y'', y''$ il risultato rispetto a $(d)/(d x)$ hanno la stessa faccia???? Un' altro dubbio come mi accorgo che $F$ non dipende da $t$???? Al di la di questo ritornando al mio esercizio $F(y,y',x)= y*y'^2$ ottengo che la mia EQUAZIONE di EULERO-LAGRANGE è $2*y'^2+2*y*y''-y'^2=0$ da cui ottengo $y'^2+2y*y''$ ottenuta questa si tratta solo di risolvere l' euazione differenziale????
Non mi è chiaro quale sia il tuo primo dubbio riguardo al calcolare $d/dx((\partialF)/(\partialy'))$. Semplicemente a seconda dell'espressone che ottieni per $(\partialF)/(\partialy')$ devi usare le regole appropriate quando vai a derivare il tutto rispetto alla variabile indipendente (in questo caso $x$).
Come fai ad accorgerti che $F$ non dipende esplicitamente da $t$? beh... per esempio basta notare che tale variabile NON compare nell'espressione di $F$.
Sì, per trovarti la funzione che rende stazionario il funzionale di partenza devi risolverti il problema di Cauchy che viene fuori applicando l'equazione di E-L, ovvero equazione differenziale con condizioni iniziali.
Quindi per accorgermi che $F$ non dipende da $t$ per esempio in questa espressione $\delta int_(t_1)^(t_2) (u'^2 -u^2)dt=0$ come può essere riscritta senza la dipendenza $t$ ????? Mica hai del materiale su queste cose soprattutto esercizi svolti??? in rete non trovo nulla
Conosci la differenza tra dipendenza esplicita ed implicita da una variabile?. Se hai ad esempio $F=u'^2-u^2$ allora $F$ non dipende esplicitamente da $t$ (c'è comunque dipendenza implicita in quanto come ormai avrai capito è $u(t)$ a dipendere da $t$. Se avevi: $F=u'^2-u^2*t$ allora si parlava di dipendenza esplicita, poiché $t$ compare esplicitamente nell'espressione di $F$ per l'appunto. Quando si dice che $F$ non dipende da $t$ si intende che non ci dipende esplicitamente.
Comunque, a questo punto mi sembra inutile andare oltre visto che hai le idee molto confuse sull'argomento. Ma non hai un testo di riferimento? per cosa lo stai studiando?
Il consiglio è di prenderti un libro o delle dispense e di studiare per bene. Se in rete cerchi "Calcolo delle variazioni" qualcosa trovi.
Comunque, a questo punto mi sembra inutile andare oltre visto che hai le idee molto confuse sull'argomento. Ma non hai un testo di riferimento? per cosa lo stai studiando?
Il consiglio è di prenderti un libro o delle dispense e di studiare per bene. Se in rete cerchi "Calcolo delle variazioni" qualcosa trovi.
quindi in questo esercizio $\delta int_0^1 y*y'^2 dx=0$ posso utilizzare anche questa $F-(\deltaF)/(\deltay')* y'=K$ visto che non c' è la dipendenza esplicita da $x$?????? Sto studiando per analisi 2 è nel programma anche nello scritto con alcuni esercizi di calcolo, ho alcune dispense scritte male e un bel po di esercizi, tu non hai nulla??? sul web non ci sono esercizi svolti
"Merlino":
quindi in questo esercizio $\delta int_0^1 y*y'^2 dx=0$ posso utilizzare anche questa $F-(\deltaF)/(\deltay')* y'=K$ visto che non c' è la dipendenza esplicita da $x$?????? Sto studiando per analisi 2 è nel programma anche nello scritto con alcuni esercizi di calcolo, ho alcune dispense scritte male e un bel po di esercizi, tu non hai nulla??? sul web non ci sono esercizi svolti
Sì esatto, puoi usare anche quella.
Quanto al materiale non posso aiutarti, mi spiace.
Io ho degli esercizi li svolgo e poi li posto sul qui con le soluzioni per vedere se vanno bene ok???
"Merlino":
Io ho degli esercizi li svolgo e poi li posto sul qui con le soluzioni per vedere se vanno bene ok???
Sì, va bene. Ricordati di postare sempre la soluzione o comunque almeno un tuo tentativo.
Scusami riprendo questo esercizio $F= u'^2-u^2$ dove applico questa relazione $F-(\partialF)/(\partialu')* u'=k$
$u'*(\partialF)/(\partialu')-F=k (costante) => u'*2u'-u'^2+u^2=k => u'^2+u^2=k$, fino a qui tutto a posto, ma quest' ultimo passaggio non l' ho capito, cioè derivando ambo i membri si ottiene: $2u''u'+2u'u=0 => u''+u=0$. Questa relazione $u'^2+u^2=k$ rispetto a chi la derivi????? come arrivi a questa $2u''u'+2u'u=0 => u''+u=0$????
$u'*(\partialF)/(\partialu')-F=k (costante) => u'*2u'-u'^2+u^2=k => u'^2+u^2=k$, fino a qui tutto a posto, ma quest' ultimo passaggio non l' ho capito, cioè derivando ambo i membri si ottiene: $2u''u'+2u'u=0 => u''+u=0$. Questa relazione $u'^2+u^2=k$ rispetto a chi la derivi????? come arrivi a questa $2u''u'+2u'u=0 => u''+u=0$????
"Merlino":
Salve ho da risolvere questo esercizio di calcolo delle variazioni:
$\delta int_(t_1)^(t_2) (u'^2 -u^2)dt=0$ applicando l' equazione di Eulero-Lagrange ovvero
$(\deltaF)/(\deltau) - d/dt((\deltaF)/(\delta u^{\prime}))=0$ qualcuno mi aiuta ad applicarla???? Allora la mia $F(u,u^{\prime},t)=u'^2 -u^2$ come devo fare???? Aiutatemi a capire
Per semplificare, basta fare la seguente operazione.
Immagina di avere un funzionale nella forma:
\[
\mathcal{F}:=\int_a^b f(t,u(t),u^\prime (t))\ \text{d} t
\]
con \(f:[a,b]\times \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) sufficientemente buona e di voler calcolare l'equazione di Eulero-Lagrange (in forma forte).
Scegliendo di denotare con \((t,x,\xi)\) il generico punto di \([a,b]\times \mathbb{R}^2\), l'equazione di E-L si scrive:
\[
\frac{\partial f}{\partial x} (t,u(t),u^\prime (t)) - \frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ \frac{\partial f}{\partial \xi} (t,u(t),u^\prime (t)) \right]=0\; .
\]
Ad esempio, prendiamo il funzionale d'area per le superfici di rotazione non parametriche:
\[
\mathcal{F}:=\int_a^b u(t)\ \sqrt{1+[u^\prime (t)]^2}\ \text{d} t
\]
in cui:
\[
f(t,x,\xi):= x\ \sqrt{1+\xi^2}
\]
è definita in \([a,b]\times [0,\infty[\times \mathbb{R}\).
L'equazione di E-L si ricava come segue: innanzitutto si calcolano le due derivate parziali:
\[
\frac{\partial f}{\partial x} (t,x,\xi) = \sqrt{1+\xi^2} \qquad \text{e}\qquad \frac{\partial f}{\partial \xi}(t,x,\xi) = \frac{x\ \xi}{\sqrt{1+\xi^2}}\; ,
\]
poi le si calcola lungo la generica funzione \(u(t)\), ottenendo:
\[
\frac{\partial f}{\partial x} (t,u(t),u^\prime (t)) = \sqrt{1+[u^\prime (t)]^2} \qquad \text{e}\qquad \frac{\partial f}{\partial \xi}(t,u(t),u^\prime (t)) = \frac{u(t)\ u^\prime (t)}{\sqrt{1+[u^\prime (t)]^2}}\; ,
\]
ed infine si "assembla" l'equazione:
\[
\sqrt{1+[u^\prime (t)]^2} - \frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ \frac{u(t)\ u^\prime (t)}{\sqrt{1+[u^\prime (t)]^2}}\right] =0
\]
la quale potrebbe essere ulteriormente esplicitata calcolando esplicitamente la derivata rispetto a \(t\).
Nel tuo caso, invece hai:
\[
\mathcal{F}:=\int_{t_1}^{t_2} \left( [u^\prime (t)]^2 - u^2(t)\right)\ \text{d} t
\]
quindi:
\[
f(t,x,\xi):= \xi^2-x^2\; ;
\]
conseguentemente:
\[
\frac{\partial f}{\partial x} (t,x,\xi) = -2x \qquad \text{e}\qquad \frac{\partial f}{\partial \xi}(t,x,\xi) = 2\xi\; ,
\]
e perciò l'equazione di E-L è:
\[
-2u(t) -\frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ 2u^\prime (t)\right]=0
\]
ossia:
\[
u^{\prime \prime} (t) +u(t)=0\; .
\]
Si ho capito l'esercizio in generale il mio dubbio in questo esercizio è questo ho il mio funzionale $F= u'^2-u^2$ dove applico questa relazione $F-(\partialF)/(\partialu')* u'=k$
$u'*(\partialF)/(\partialu')-F=k (costante) => u'*2u'-u'^2+u^2=k => u'^2+u^2=k$, fino a qui tutto a posto, ma quest' ultimo passaggio non l' ho capito, cioè derivando ambo i membri si ottiene: $2u''u'+2u'u=0 => u''+u=0$ con che criterio ha derivato??? E rispetto a chi???. Questa relazione $u'^2+u^2=k$ rispetto a chi la derivi????? come arrivi a questa $2u''u'+2u'u=0 => u''+u=0$????
$u'*(\partialF)/(\partialu')-F=k (costante) => u'*2u'-u'^2+u^2=k => u'^2+u^2=k$, fino a qui tutto a posto, ma quest' ultimo passaggio non l' ho capito, cioè derivando ambo i membri si ottiene: $2u''u'+2u'u=0 => u''+u=0$ con che criterio ha derivato??? E rispetto a chi???. Questa relazione $u'^2+u^2=k$ rispetto a chi la derivi????? come arrivi a questa $2u''u'+2u'u=0 => u''+u=0$????
L'equazione di E-L per il tuo problema è:
\[
u^{\prime \prime} (t) +u(t)=0\; ;
\]
moltiplicando l'uguaglianza m.a.m. per \(2\ u^\prime (t)\) si ottiene la EDO:
\[
2\ u^{\prime \prime} (t)\ u^\prime (t) + 2\ u^\prime (t)\ u(t) =0
\]
ed il primo membro è chiaramente uguale alla derivata di \(U(t):=[u^\prime (t)]^2+u^2(t)\) rispetto a \(t\); pertanto la \(U\) ha derivata ovunque nulla in \(]t_1,t_2[\) e perciò è costante; dunque esiste \(k\) tale che:
\[
[u^\prime (t)]^2+u^2(t) = k
\]
ovunque in \(]t_1,t_2[\).
\[
u^{\prime \prime} (t) +u(t)=0\; ;
\]
moltiplicando l'uguaglianza m.a.m. per \(2\ u^\prime (t)\) si ottiene la EDO:
\[
2\ u^{\prime \prime} (t)\ u^\prime (t) + 2\ u^\prime (t)\ u(t) =0
\]
ed il primo membro è chiaramente uguale alla derivata di \(U(t):=[u^\prime (t)]^2+u^2(t)\) rispetto a \(t\); pertanto la \(U\) ha derivata ovunque nulla in \(]t_1,t_2[\) e perciò è costante; dunque esiste \(k\) tale che:
\[
[u^\prime (t)]^2+u^2(t) = k
\]
ovunque in \(]t_1,t_2[\).
Vabbè posto un nuovo esercizio svolto da me per vedere se va bene...
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