Esercizio Analisi 2
Salve ho da risolvere questo esercizio di calcolo delle variazioni:
$\delta int_(t_1)^(t_2) (u'^2 -u^2)dt=0$ applicando l' equazione di Eulero-Lagrange ovvero
$(\deltaF)/(\deltau) - d/dt((\deltaF)/(\delta u^{\prime}))=0$ qualcuno mi aiuta ad applicarla???? Allora la mia $F(u,u^{\prime},t)=u'^2 -u^2$ come devo fare???? Aiutatemi a capire
$\delta int_(t_1)^(t_2) (u'^2 -u^2)dt=0$ applicando l' equazione di Eulero-Lagrange ovvero
$(\deltaF)/(\deltau) - d/dt((\deltaF)/(\delta u^{\prime}))=0$ qualcuno mi aiuta ad applicarla???? Allora la mia $F(u,u^{\prime},t)=u'^2 -u^2$ come devo fare???? Aiutatemi a capire
Risposte
Allora il mio esercizio è questo $\delta int_2^3 u'^2(1-u^2)dt=0$ il mio funzionale è questo $F(u,u',t)=u'^2(1-u^2)$ io voglio riscriverlo in questo modo $F(u,u',t)=u'^2-u'^2 * u^2$
Applico l' equazione di E-L è cioè $(\delta F)/(\delta u)- d/dt ((\delta F)/(\delta u))=0$
allora $(\delta F)/(\delta u)=-2u* u'^2$ poi $(\delta F)/(\delta u')= 2u' -2u'u^2$
ed infine $d/dt ((\delta F)/(\delta u))= d/dt (2u'-2u'u^2)=2u''-2u''*u^2-4u'^2$ quindi la mia equazione di E-L è:
$-2u *u'^2-2u''+2u''*u^2+4u'^2=0$ è corretto come ho svolto l' esercizio???
Applico l' equazione di E-L è cioè $(\delta F)/(\delta u)- d/dt ((\delta F)/(\delta u))=0$
allora $(\delta F)/(\delta u)=-2u* u'^2$ poi $(\delta F)/(\delta u')= 2u' -2u'u^2$
ed infine $d/dt ((\delta F)/(\delta u))= d/dt (2u'-2u'u^2)=2u''-2u''*u^2-4u'^2$ quindi la mia equazione di E-L è:
$-2u *u'^2-2u''+2u''*u^2+4u'^2=0$ è corretto come ho svolto l' esercizio???
Vedo che in generale i tuoi integrandi non dipendono dalla \(t\) (sono "autonomi"), i.e. del tipo \(f=f(x,\xi)\).
In questi casi, allora, l'equazione di E-L si può sempre mettere nella forma:
\[
f(t,u(t),u^\prime (t)) - u^\prime (t)\ \frac{\partial f}{\partial \xi} (t,u(t,u^\prime (t))) =k
\]
con \(k\) costante, supponendo che gli estremali siano curve sufficientemente regolari (e.g., di classe \(C^2\)).
Infatti, moltiplicando l'equazione di E-L \(f_x(t,u(t),u^\prime (t)) - (f_\xi (t,u(t),u^\prime (t)))^\prime =0\) per \(u^\prime (t)\) ed aggiungendo e sottraendo \(u^{\prime \prime} (t)\ f_\xi (t,u(t),u^\prime (t))\) si ottiene:
\[
u^\prime (t)\ \frac{\partial f}{\partial x} (u(t),u^\prime (t)) + u^{\prime \prime} (t)\ \frac{\partial f}{\partial \xi} (u(t),u^\prime (t)) - u^{\prime \prime} (t)\ \frac{\partial f}{\partial \xi} (u(t),u^\prime (t)) - \frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ \frac{\partial f}{\partial \xi} (u(t),u^\prime (t))\right] =0
\]
e dunque:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ f(u(t),u^\prime (t)) - u^\prime(t)\ \frac{\partial f}{\partial \xi} (u(t),u^\prime (t))\right] =0
\]
da cui segue l'equazione di E-L in "forma integrata":
\[
f(u(t),u^\prime (t)) - u^\prime(t)\ \frac{\partial f}{\partial \xi} (u(t),u^\prime (t)) = k\; .
\]
Dato che il tuo nuovo integrando è \(f(x,\xi) = \xi^2\ (1-x^2)\) e non dipende esplicitamente da \(t\), l'equazione di E-L si può scrivere in forma integrata come:
\[
[u^\prime (t)]^2\ (1-u^2(t)) - u^\prime (t)\ 2\ u^\prime (t)\ (1-u^2(t))=k
\]
ossia:
\[
[u^\prime (t)]^2\ (1-u^2(t)) = -k\; .
\]
In questi casi, allora, l'equazione di E-L si può sempre mettere nella forma:
\[
f(t,u(t),u^\prime (t)) - u^\prime (t)\ \frac{\partial f}{\partial \xi} (t,u(t,u^\prime (t))) =k
\]
con \(k\) costante, supponendo che gli estremali siano curve sufficientemente regolari (e.g., di classe \(C^2\)).
Infatti, moltiplicando l'equazione di E-L \(f_x(t,u(t),u^\prime (t)) - (f_\xi (t,u(t),u^\prime (t)))^\prime =0\) per \(u^\prime (t)\) ed aggiungendo e sottraendo \(u^{\prime \prime} (t)\ f_\xi (t,u(t),u^\prime (t))\) si ottiene:
\[
u^\prime (t)\ \frac{\partial f}{\partial x} (u(t),u^\prime (t)) + u^{\prime \prime} (t)\ \frac{\partial f}{\partial \xi} (u(t),u^\prime (t)) - u^{\prime \prime} (t)\ \frac{\partial f}{\partial \xi} (u(t),u^\prime (t)) - \frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ \frac{\partial f}{\partial \xi} (u(t),u^\prime (t))\right] =0
\]
e dunque:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ f(u(t),u^\prime (t)) - u^\prime(t)\ \frac{\partial f}{\partial \xi} (u(t),u^\prime (t))\right] =0
\]
da cui segue l'equazione di E-L in "forma integrata":
\[
f(u(t),u^\prime (t)) - u^\prime(t)\ \frac{\partial f}{\partial \xi} (u(t),u^\prime (t)) = k\; .
\]
Dato che il tuo nuovo integrando è \(f(x,\xi) = \xi^2\ (1-x^2)\) e non dipende esplicitamente da \(t\), l'equazione di E-L si può scrivere in forma integrata come:
\[
[u^\prime (t)]^2\ (1-u^2(t)) - u^\prime (t)\ 2\ u^\prime (t)\ (1-u^2(t))=k
\]
ossia:
\[
[u^\prime (t)]^2\ (1-u^2(t)) = -k\; .
\]
ma il mio ragionamento e svolgimento è stato sbagliato???? non ho voluto utilizzare la forma semplificata di E-L tanto non cambia nulla...
"Merlino":
Allora il mio esercizio è questo $\delta int_2^3 u'^2(1-u^2)dt=0$ il mio funzionale è questo $F(u,u',t)=u'^2(1-u^2)$ io voglio riscriverlo in questo modo $F(u,u',t)=u'^2-u'^2 * u^2$
Applico l' equazione di E-L è cioè $(\delta F)/(\delta u)- d/dt ((\delta F)/(\delta u))=0$
allora $(\delta F)/(\delta u)=-2u* u'^2$ poi $(\delta F)/(\delta u')= 2u' -2u'u^2$
ed infine $d/dt ((\delta F)/(\delta u))= d/dt (2u'-2u'u^2)=2u''-2u''*u^2-4u'^2$ quindi la mia equazione di E-L è:
$-2u *u'^2-2u''+2u''*u^2+4u'^2=0$ è corretto come ho svolto l' esercizio???
Così a occhio mi pare tutto corretto.
A me no... Quanto fa la derivata di \(u^\prime\ u^2\)?
e dove ho sbagliato???? qualcuno mi corregga...
Anche se non amo ripetermi...
"gugo82":
Quanto fa la derivata di \(u^\prime\ u^2\)?
Già, mi era sfuggito un apice.
E' sbagliato il termine $-4u'^2$ nello svolgimento di quella derivata.
E' sbagliato il termine $-4u'^2$ nello svolgimento di quella derivata.
Allora riprendo l' esercizio è questo $\delta int_2^3 u'^2(1-u^2)dt=0$ il mio funzionale è questo $F(u,u',t)=u'^2(1-u^2)$ io voglio riscriverlo in questo modo $F(u,u',t)=u'^2-u'^2 * u^2$
Applico l' equazione di E-L è cioè $(\delta F)/(\delta u)- d/dt ((\delta F)/(\delta u))=0$
allora $(\delta F)/(\delta u)=-2u* u'^2$ poi $(\delta F)/(\delta u')= 2u' -2u'u^2$
ed infine rifaccio questo calcolo e ottengo: $d/dt ((\delta F)/(\delta u))= d/dt (2u'-2u'u^2)=2u''-2u''*u^2-4u'*u*u$ quindi la mia equazione di E-L è:
$-2u *u'^2-2u''+2u''*u^2+4u'*u=0$ è corretto come ho svolto l' esercizio??? adesso va bene???? la derivata di $d/dt (u'*u^2)=u''*u^2+u'*2u$ ho fatto bene sta volta?????
Applico l' equazione di E-L è cioè $(\delta F)/(\delta u)- d/dt ((\delta F)/(\delta u))=0$
allora $(\delta F)/(\delta u)=-2u* u'^2$ poi $(\delta F)/(\delta u')= 2u' -2u'u^2$
ed infine rifaccio questo calcolo e ottengo: $d/dt ((\delta F)/(\delta u))= d/dt (2u'-2u'u^2)=2u''-2u''*u^2-4u'*u*u$ quindi la mia equazione di E-L è:
$-2u *u'^2-2u''+2u''*u^2+4u'*u=0$ è corretto come ho svolto l' esercizio??? adesso va bene???? la derivata di $d/dt (u'*u^2)=u''*u^2+u'*2u$ ho fatto bene sta volta?????
"Merlino":
la derivata di $d/dt (u'*u^2)=u''*u^2+u'*2u$ ho fatto bene sta volta?????
Non ancora... Ti dimentichi sempre qualcosa.
e che mi dimentico????? non me me rendo conto...a me sembra fatta bene, che cos' è che non va???
$d/dt (u'*u^2)=u''*u^2+2u'^{2}u$
perchè è una derivata composta???
E' la derivata di un prodotto di funzioni in \(t\).
adesso si spiega tutto...grazie
Salve ritorno a scrivere qui perchè fino ad adesso sono stato impegnato a imparare a risolvere le equazioni differenziali per poter risolvere gli esercizi di calcolo delle variazioni, comunque posto un nuovo esercizio svolto da me per vedere se va bene
$\delta int_1^2 (y'^2+2yy'+y^2)dx=0$ applico l' equazione di Eulero-Lagrange $(\delta F)/(\delta y) -d/dx *((\deltaF)/(\deltay'))=0$ il mio funzionale è questo $F(y,y',x)=y'^2+2yy'+y^2$ quindi $(\delta F)/(\delta y)=2y'+2y$, $(\deltaF)/(\deltay')=2y'+2y$, $d/dx(2y'+2y)= 2y''+2y'$ quindi mettendo tutto insieme la mia equazione di Eulero-Lagrange è questa $2y'+2y-2y''-2y'=0$ che si può riscrivere in questo modo $y-y''=0$ risolvo l' equazione differenziale la sua soluzione è $y(x)=c_1e^x+c_2e^-x$ fino a qui va bene il mio esercizio???? Adesso come devo continuare??? Per cortesia aiutatemi tra breve ho l' esame...grazie
$\delta int_1^2 (y'^2+2yy'+y^2)dx=0$ applico l' equazione di Eulero-Lagrange $(\delta F)/(\delta y) -d/dx *((\deltaF)/(\deltay'))=0$ il mio funzionale è questo $F(y,y',x)=y'^2+2yy'+y^2$ quindi $(\delta F)/(\delta y)=2y'+2y$, $(\deltaF)/(\deltay')=2y'+2y$, $d/dx(2y'+2y)= 2y''+2y'$ quindi mettendo tutto insieme la mia equazione di Eulero-Lagrange è questa $2y'+2y-2y''-2y'=0$ che si può riscrivere in questo modo $y-y''=0$ risolvo l' equazione differenziale la sua soluzione è $y(x)=c_1e^x+c_2e^-x$ fino a qui va bene il mio esercizio???? Adesso come devo continuare??? Per cortesia aiutatemi tra breve ho l' esame...grazie
[xdom="Seneca"]@ Merlino: Cancellare e ripostare più volte, ad orari diversi, sempre lo stesso post (come pare tu abbia fatto) è un modo scorretto di "uppare" il thread a cui si è interessati.
Se non si riceve risposta, trascorse le 24h stabilite dal regolamento, si può lasciare un messaggio per sollecitare gli aiuti.
Chiudo.[/xdom]
Se non si riceve risposta, trascorse le 24h stabilite dal regolamento, si può lasciare un messaggio per sollecitare gli aiuti.
Chiudo.[/xdom]
[xdom="Seneca"]Riapro il thread.[/xdom]
"Merlino":
Salve ritorno a scrivere qui perchè fino ad adesso sono stato impegnato a imparare a risolvere le equazioni differenziali per poter risolvere gli esercizi di calcolo delle variazioni, comunque posto un nuovo esercizio svolto da me per vedere se va bene
$\delta int_1^2 (y'^2+2yy'+y^2)dx=0$ applico l' equazione di Eulero-Lagrange $(\delta F)/(\delta y) -d/dx *((\deltaF)/(\deltay'))=0$ il mio funzionale è questo $F(y,y',x)=y'^2+2yy'+y^2$ quindi $(\delta F)/(\delta y)=2y'+2y$, $(\deltaF)/(\deltay')=2y'+2y$, $d/dx(2y'+2y)= 2y''+2y'$ quindi mettendo tutto insieme la mia equazione di Eulero-Lagrange è questa $2y'+2y-2y''-2y'=0$ che si può riscrivere in questo modo $y-y''=0$ risolvo l' equazione differenziale la sua soluzione è $y(x)=c_1e^x+c_2e^-x$ fino a qui va bene il mio esercizio???? Adesso come devo continuare??? Per cortesia aiutatemi tra breve ho l' esame...grazie
I calcoli mi sembrano corretti. Trovata la soluzione generale della EDO devi imporre le condizioni iniziali per determinarti le due costanti arbitrarie. In particolare dovresti avere i valori assunti da $y(x)$ agli estremi dell'intervallo di integrazione. Ovvero qualcosa del tipo: $y(1) = a$ e $y(2)=b$.
Scusami non ho tanto capito, calcolata l' equazione differenziale, praticamente come devo procedere?????
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