Equazioni differenziali
Salve..
Dato che non ho risultati e ho fatto degli esercizi a riguardo, posto delle equazioni ed i rispettivi risultati, e se qualcuno di voi fosse tanto gentile da darmi una sua opinione...
Innanzi tutto direi che in tutti questi problemi di Cauchy la soluzione esista sempre e sia unica, dato che $f$ , ossia ciò che sta al secondo membro è derivabile su tutto R e quindi anche continua. giusto?
Ecco i testi e le rispettive soluzioni:
${(y'(x)=e^x),(y(0)=3):}=>y(x)=e^x+2$
${(y'(x)=sinx),(y(0)=0):}=>y(x)=1-cosx$
${(y'(x)=xsinx+cosx),(y(0)=1):}=>y(x)=2sinx-xcosx+1$
${(y'(x)=2y-e^x),(y(0)=0):}=>y(x)=e^x(1-e^x)$
${(y'(x)=xy+2x),(y(0)=0):}=>y(x)=2(e^{x^2/2}-1)$
${(y'(x)=y+x),(y(0)=0):}=>y(x)=e^x-x-1$
${(y'(x)=xy+x^3),(y(1)=0):}=>y(x)=3e^{(-x^2+1)/2}-x^2-2$
${(y'(x)=y+1+sinx),(y(1)=1):}=>y(x)=ce^x-1/2sinx-1/2cosx-1$
Nell'ultima non ho poi imposto le condizioni iniziali perchè mi sembra che venga tutto troppo complicato, ma magari ho sbagliato i calcoli..
Dato che non ho risultati e ho fatto degli esercizi a riguardo, posto delle equazioni ed i rispettivi risultati, e se qualcuno di voi fosse tanto gentile da darmi una sua opinione...
Innanzi tutto direi che in tutti questi problemi di Cauchy la soluzione esista sempre e sia unica, dato che $f$ , ossia ciò che sta al secondo membro è derivabile su tutto R e quindi anche continua. giusto?
Ecco i testi e le rispettive soluzioni:
${(y'(x)=e^x),(y(0)=3):}=>y(x)=e^x+2$
${(y'(x)=sinx),(y(0)=0):}=>y(x)=1-cosx$
${(y'(x)=xsinx+cosx),(y(0)=1):}=>y(x)=2sinx-xcosx+1$
${(y'(x)=2y-e^x),(y(0)=0):}=>y(x)=e^x(1-e^x)$
${(y'(x)=xy+2x),(y(0)=0):}=>y(x)=2(e^{x^2/2}-1)$
${(y'(x)=y+x),(y(0)=0):}=>y(x)=e^x-x-1$
${(y'(x)=xy+x^3),(y(1)=0):}=>y(x)=3e^{(-x^2+1)/2}-x^2-2$
${(y'(x)=y+1+sinx),(y(1)=1):}=>y(x)=ce^x-1/2sinx-1/2cosx-1$
Nell'ultima non ho poi imposto le condizioni iniziali perchè mi sembra che venga tutto troppo complicato, ma magari ho sbagliato i calcoli..
Risposte
Esercizi
I) ok , oppure anche : y = $3e^x $
II) ok
III) ok
IV) ok
V) non mi sembra corretta la tua soluzione , non verifica la condizione al contorno e , mi sembra neanche la equazione differenziale ; a me viene : $y = 2(e^(x^2/2)-1) $.
Camillo
I) ok , oppure anche : y = $3e^x $
II) ok
III) ok
IV) ok
V) non mi sembra corretta la tua soluzione , non verifica la condizione al contorno e , mi sembra neanche la equazione differenziale ; a me viene : $y = 2(e^(x^2/2)-1) $.
Camillo
ho corretto, a me torna così..
E per le altre?
grazie
E per le altre?
grazie
La sesta equazione a me viene : $y= e^x-x-1 $ che verifica sia la condizione al contorno che l'equazione differenziale stessa .
La tua soluzione verifica le condizioni al contorno ma non l'equazione differenziale ; c'è qualcosa di strano , che metodo usi ?
Camillo
La tua soluzione verifica le condizioni al contorno ma non l'equazione differenziale ; c'è qualcosa di strano , che metodo usi ?
Camillo
Quinta equazione : la tua soluzione verifica adesso la condizione al contorno ma non l'equazione differenziale .
Camillo
Camillo
L'ottava equazione viene :
$ y = Ce^x-1/2sinx -1/2cosx -1 $
Camillo
$ y = Ce^x-1/2sinx -1/2cosx -1 $
Camillo
La 5ta a me viene come a Camillo....
(facendola in Maple)
La 7ma risulta essere:
$-x^2-2+3 e^(1/2 x^2-1/2)$
(facendola in Maple)
La 7ma risulta essere:
$-x^2-2+3 e^(1/2 x^2-1/2)$
Sarà magari sbaglio i calcoli... è la prima volta che mi cimento in queste equazioni..
In ogni caso io ho solo usato la formula di risoluzione generale per le equazioni lineari del primo ordine :
$y(x)=e^{\int a(x)dx}[c+\int( b(x)e^{-\int a(x)dx})dx]$
Forse però mi sono accorto di non aver mai considerato un meno..
Vabbè e poi scusate, ma come mai la prima ammetterebbe due soluzioni? se è derivabile ammette una sola soluzione per il teorema dell'unicità, no?
Grazie..
In ogni caso io ho solo usato la formula di risoluzione generale per le equazioni lineari del primo ordine :
$y(x)=e^{\int a(x)dx}[c+\int( b(x)e^{-\int a(x)dx})dx]$
Forse però mi sono accorto di non aver mai considerato un meno..
Vabbè e poi scusate, ma come mai la prima ammetterebbe due soluzioni? se è derivabile ammette una sola soluzione per il teorema dell'unicità, no?
Grazie..
Si infatti:
$y(x)=3e^x$
NON e' soluzione.
Infatti:
$y'(x)=3e^x \ne e^x$
$y(x)=3e^x$
NON e' soluzione.
Infatti:
$y'(x)=3e^x \ne e^x$
Vi faccio vedere come ho risolto la quinta:
$y(x)=e^{\inta(x)dx}[c+\int(b(x)e^{-\inta(x)dx})dx]=e^{\intxdx}[c+\int(2xe^{-\intxdx})dx]=e^{x^2/2}[c+int2xe^{-x^2/2}dx]=e^{x^2/2}(c-2e^{-x^2/2})=ce^{x^2/2}-2=>$
$=>y(x)=2(e^{x^2/2}-1)$
Ecco era qul meno che mi ha fatto sbagliare tutte le lineari..
Correggerò
$y(x)=e^{\inta(x)dx}[c+\int(b(x)e^{-\inta(x)dx})dx]=e^{\intxdx}[c+\int(2xe^{-\intxdx})dx]=e^{x^2/2}[c+int2xe^{-x^2/2}dx]=e^{x^2/2}(c-2e^{-x^2/2})=ce^{x^2/2}-2=>$
$=>y(x)=2(e^{x^2/2}-1)$
Ecco era qul meno che mi ha fatto sbagliare tutte le lineari..
Correggerò
Ops, sorry, nella prima equazione certamente $y = 3e^x$ non è una soluzione ; tra l'altro , come dice cavalli violerebbe il principio di unicità della soluzione , soddisfa la condizione al contorno ma ahimè non l'equazione differenziale ....
Quinta equazione : ho provato a usare la formula standard, quella usata da cavalli e si arriva alla soluzione da me indicata ; credo che tu abbia sbagliato il segno all'esponente, dentro parentesi : $e^(-x^2/2)$.
Io avevo , poichè non ricordo mai la formula standard a memoria , risolta la omogenea col metodo di separazione delle variabili e poi cercato una soluzione particolare della equazione completa col metodo della somiglianza.
Camillo
Quinta equazione : ho provato a usare la formula standard, quella usata da cavalli e si arriva alla soluzione da me indicata ; credo che tu abbia sbagliato il segno all'esponente, dentro parentesi : $e^(-x^2/2)$.
Io avevo , poichè non ricordo mai la formula standard a memoria , risolta la omogenea col metodo di separazione delle variabili e poi cercato una soluzione particolare della equazione completa col metodo della somiglianza.
Camillo
Però siceramente sarei curioso di sapere da cosa si ricava questa formula risolutiva...
Ho visto che il mio esercitatore dell'anno scorso di Analisi C ha messo fuori una raccolta di esercizi molto interessanti:
http://web.mate.polimi.it/servizi/websp ... alisiC.pdf
Non ci sono le soluzioni, ma per quello c'e' sempre Matlab (maple per gli esercizi di risoluzione vera e propria, qualche altro pacchetto per gli studi qualitativi...).
*** EDIT ***
Aggiungo questi esercizi teorici abbastanza difficili:
http://web.mate.polimi.it/servizi/websp ... rcizi1.pdf
Che l'anno scorso mi hanno tenuto abbastanza impegnato!
http://web.mate.polimi.it/servizi/websp ... alisiC.pdf
Non ci sono le soluzioni, ma per quello c'e' sempre Matlab (maple per gli esercizi di risoluzione vera e propria, qualche altro pacchetto per gli studi qualitativi...).
*** EDIT ***
Aggiungo questi esercizi teorici abbastanza difficili:
http://web.mate.polimi.it/servizi/websp ... rcizi1.pdf
Che l'anno scorso mi hanno tenuto abbastanza impegnato!
Poi ho questo dubbio. Il testo mi dice che se il secondo membro dell'equazione a variabili separabili, ma non solo credo, si annulla, allora giustamente la funzione sarà costante ed avra come soluzione il punto stesso..
Poi vedo per esempio che:
${(y'(x)=tanx\cdot cos^2y),(y(0)=\pi):}$
Il secondo membro si annulla per $x =k\pi/2$ e quindi dovrebbe avere infinite soluzioni, ma a pensarci bene la $f$ è derivabile in ogni punto, quindi dovrebbe avere una sola soluzione...
Da qui nasce l'assurdo..
Per la cronaca a me torna: $-tan^{-1}(log|cosx|)$
Poi vedo per esempio che:
${(y'(x)=tanx\cdot cos^2y),(y(0)=\pi):}$
Il secondo membro si annulla per $x =k\pi/2$ e quindi dovrebbe avere infinite soluzioni, ma a pensarci bene la $f$ è derivabile in ogni punto, quindi dovrebbe avere una sola soluzione...
Da qui nasce l'assurdo..
Per la cronaca a me torna: $-tan^{-1}(log|cosx|)$
Attenzione! L'unicita' della soluzione e' per il particolare problema di Cauchy!
Nel senso che l'equazione:
$y'(x)=tanx\cdot cos^2y$
Ha infinite soluzioni, ma, posta la condizione iniziale:
$ y(0)=y_0 $
Allora ne ha una sola. In particolare se $y(0)$ fa si che:
$ tanx\cdot cos^2y $
Sia nullo per ogni x (ad esempio $y=\pi/2$) (la condizione e' su y non su x, il fatto che il secondo membro si annulli per qualche x ti dice solo che li la suluzione avra' punti stazionari) allora l'unica soluzione e' quella costante con $y(x)=y_0 \qquad \forall x$. Altrimenti la soluzione e' quella che hai trovato tu (se hai fatto giusti i conti (non ho controllato!)).
Nel senso che l'equazione:
$y'(x)=tanx\cdot cos^2y$
Ha infinite soluzioni, ma, posta la condizione iniziale:
$ y(0)=y_0 $
Allora ne ha una sola. In particolare se $y(0)$ fa si che:
$ tanx\cdot cos^2y $
Sia nullo per ogni x (ad esempio $y=\pi/2$) (la condizione e' su y non su x, il fatto che il secondo membro si annulli per qualche x ti dice solo che li la suluzione avra' punti stazionari) allora l'unica soluzione e' quella costante con $y(x)=y_0 \qquad \forall x$. Altrimenti la soluzione e' quella che hai trovato tu (se hai fatto giusti i conti (non ho controllato!)
).
Ok grazie infinite David_e
Quindi quando ho una equazione differenziale senza alcuna condizione iniziale, allora condizione sufficiente affinchè la soluzione sia una costante è che la derivata risulti nulla in almeno un punto. Giusto?
Si, ma rispetto a y.
Mi spiego meglio. Se hai:
$ y' = f(y,x) $
Se:
$ f(y_0,x)=0 \qquad \qquad \forall x$ .................(1)
Allora esiste una soluzione costante $y(x)=y_0$. Questa condizione e' anche necessaria: non possono esistere soluzioni costanti che non verifichino la (1)
Se invece:
$ f(y,x_0)=0 \qquad \qquad \forall y $
Allora il punto $x_0$ e' un punto stazionario per tutte le soluzioni.
Mi spiego meglio. Se hai:
$ y' = f(y,x) $
Se:
$ f(y_0,x)=0 \qquad \qquad \forall x$ .................(1)
Allora esiste una soluzione costante $y(x)=y_0$. Questa condizione e' anche necessaria: non possono esistere soluzioni costanti che non verifichino la (1)
Se invece:
$ f(y,x_0)=0 \qquad \qquad \forall y $
Allora il punto $x_0$ e' un punto stazionario per tutte le soluzioni.
Ah ecco, ma queste cose uno le dovrebbe sapere una volta studiate le funzioni in due variabili?
Su questa parte la conoscenza delle funzioni di piu' variabili piu' che altro serve a non farsi "spaventare" dalla notazione con:
$y'=f(x,y)$
E per dare una forma piu' compatta a risultati come il th. di Cauchy-Lipshitz in cui si fa l'ipotesi di Lipshitzianita' di $f$ rispetto a y uniformemente in x o, nel caso della versione piu' "soft" (con ipotesi non minimali) del teorema, si richiede la continuita della derivata parziale di f rispetto a y. Il tutto unitamente alla continuita' di f rispetto ad entrambe le variabili.
Altrimenti specificare queste ipotesi senza far ricorso a nozioni come la continuita' di funzioni di due variabili o le derivate parziali diventerebbe molto piu' oneroso.
In definitiva e' piu' che altro una questione di notazione....
$y'=f(x,y)$
E per dare una forma piu' compatta a risultati come il th. di Cauchy-Lipshitz in cui si fa l'ipotesi di Lipshitzianita' di $f$ rispetto a y uniformemente in x o, nel caso della versione piu' "soft" (con ipotesi non minimali) del teorema, si richiede la continuita della derivata parziale di f rispetto a y. Il tutto unitamente alla continuita' di f rispetto ad entrambe le variabili.
Altrimenti specificare queste ipotesi senza far ricorso a nozioni come la continuita' di funzioni di due variabili o le derivate parziali diventerebbe molto piu' oneroso.
In definitiva e' piu' che altro una questione di notazione....
Ah ecco, perchè ancora non le abbiamo fatte..
Qualcuno, a proposito, sa dirmi qualche cosa sul metodo di variazioni delle costanti...
Qualcuno, a proposito, sa dirmi qualche cosa sul metodo di variazioni delle costanti...
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