Equazioni differenziali
Salve..
Dato che non ho risultati e ho fatto degli esercizi a riguardo, posto delle equazioni ed i rispettivi risultati, e se qualcuno di voi fosse tanto gentile da darmi una sua opinione...
Innanzi tutto direi che in tutti questi problemi di Cauchy la soluzione esista sempre e sia unica, dato che $f$ , ossia ciò che sta al secondo membro è derivabile su tutto R e quindi anche continua. giusto?
Ecco i testi e le rispettive soluzioni:
${(y'(x)=e^x),(y(0)=3):}=>y(x)=e^x+2$
${(y'(x)=sinx),(y(0)=0):}=>y(x)=1-cosx$
${(y'(x)=xsinx+cosx),(y(0)=1):}=>y(x)=2sinx-xcosx+1$
${(y'(x)=2y-e^x),(y(0)=0):}=>y(x)=e^x(1-e^x)$
${(y'(x)=xy+2x),(y(0)=0):}=>y(x)=2(e^{x^2/2}-1)$
${(y'(x)=y+x),(y(0)=0):}=>y(x)=e^x-x-1$
${(y'(x)=xy+x^3),(y(1)=0):}=>y(x)=3e^{(-x^2+1)/2}-x^2-2$
${(y'(x)=y+1+sinx),(y(1)=1):}=>y(x)=ce^x-1/2sinx-1/2cosx-1$
Nell'ultima non ho poi imposto le condizioni iniziali perchè mi sembra che venga tutto troppo complicato, ma magari ho sbagliato i calcoli..
Dato che non ho risultati e ho fatto degli esercizi a riguardo, posto delle equazioni ed i rispettivi risultati, e se qualcuno di voi fosse tanto gentile da darmi una sua opinione...
Innanzi tutto direi che in tutti questi problemi di Cauchy la soluzione esista sempre e sia unica, dato che $f$ , ossia ciò che sta al secondo membro è derivabile su tutto R e quindi anche continua. giusto?
Ecco i testi e le rispettive soluzioni:
${(y'(x)=e^x),(y(0)=3):}=>y(x)=e^x+2$
${(y'(x)=sinx),(y(0)=0):}=>y(x)=1-cosx$
${(y'(x)=xsinx+cosx),(y(0)=1):}=>y(x)=2sinx-xcosx+1$
${(y'(x)=2y-e^x),(y(0)=0):}=>y(x)=e^x(1-e^x)$
${(y'(x)=xy+2x),(y(0)=0):}=>y(x)=2(e^{x^2/2}-1)$
${(y'(x)=y+x),(y(0)=0):}=>y(x)=e^x-x-1$
${(y'(x)=xy+x^3),(y(1)=0):}=>y(x)=3e^{(-x^2+1)/2}-x^2-2$
${(y'(x)=y+1+sinx),(y(1)=1):}=>y(x)=ce^x-1/2sinx-1/2cosx-1$
Nell'ultima non ho poi imposto le condizioni iniziali perchè mi sembra che venga tutto troppo complicato, ma magari ho sbagliato i calcoli..
Risposte
Il metodo della variazione delle costanti arbitrarie serve per trovare il termine affine di un sistema di equazioni lineari:
$vec y' = Avec y + vec f $
Dove $A$ e' una matrice. Si dimostra che le soluzioni formano uno spazio vettoriale lineare affine (uno spazio vettoriale traslato.) Ovvero le soluzioni hanno una forma del tipo:
$ vec y = sum_i C_i y_i vec e_i + vec k $
(le $y_i$ sono apposite funzioni)
Dove la sommatoria e' quella che definisce lo spazio vettoriale (con le varie costanti arbitrarie) e $vec k$ e' il termine affine che lo trasla.
Lo spazio vettoriale si ricava dall'equazione omogenea:
$ vec y' = A vec y $
Il termine affine si ricava con il famoso metodo della variazione delle costanti arbitrarie.
Non mi inoltro nella questione visto che la vedrai sicuramente a lezione e si tratta piu' che altro di fare qualche conto rognoso con matrici e vettori nell'equazione di partenza....
$vec y' = Avec y + vec f $
Dove $A$ e' una matrice. Si dimostra che le soluzioni formano uno spazio vettoriale lineare affine (uno spazio vettoriale traslato.) Ovvero le soluzioni hanno una forma del tipo:
$ vec y = sum_i C_i y_i vec e_i + vec k $
(le $y_i$ sono apposite funzioni)
Dove la sommatoria e' quella che definisce lo spazio vettoriale (con le varie costanti arbitrarie) e $vec k$ e' il termine affine che lo trasla.
Lo spazio vettoriale si ricava dall'equazione omogenea:
$ vec y' = A vec y $
Il termine affine si ricava con il famoso metodo della variazione delle costanti arbitrarie.
Non mi inoltro nella questione visto che la vedrai sicuramente a lezione e si tratta piu' che altro di fare qualche conto rognoso con matrici e vettori nell'equazione di partenza....
E arriva la domanda stupida dal sottoscritto...
Anch'io sono "niubbo" di quest'argomento. Ho letto sul libro che il prof mi ha consigliato di acquistare, ma è un po' disordinato e fatico a capirle](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Potete farmi un esempio chiarificatore, meglio se semplice, di come si esegue un'equazione differenziale?
In particolare gradirei sapere il meccanismo di risoluzione, in modo che poi possa arrivarci da solo a quelle più complicate.
Grazie
Anch'io sono "niubbo" di quest'argomento. Ho letto sul libro che il prof mi ha consigliato di acquistare, ma è un po' disordinato e fatico a capirle
Potete farmi un esempio chiarificatore, meglio se semplice, di come si esegue un'equazione differenziale?
In particolare gradirei sapere il meccanismo di risoluzione, in modo che poi possa arrivarci da solo a quelle più complicate.
Grazie
Ci sono arrivato.
Grazie agli esercizi risolti di Cavalli
Una domanda, però. Mi spiegate come avete fatto a fare la quarta?
Questo è il procedimento che ho usato io per arrivarci:
$int 2y-e^x = y^2-e^x$
Se metto x=0 mi risulta $y^2-1$
E da qui come si procede?
Grazie agli esercizi risolti di Cavalli
Una domanda, però. Mi spiegate come avete fatto a fare la quarta?
Questo è il procedimento che ho usato io per arrivarci:
$int 2y-e^x = y^2-e^x$
Se metto x=0 mi risulta $y^2-1$
E da qui come si procede?
Non ho capito molto del tuo esempio. Comunque ti propongo questo esempio semplicissimo.
Vogliamo trovare una funzione $y(x)$ t.c:
$ y'(x) = y(x) $
Questa e' un'equazione differenziale perche' ha come incognita una funzione da ricavare avendo a disposizione una relazione che lega la funzione stessa, la sua variabile e le sue derivate.
Per risolverla l'idea e' questa. Supponiamo che $y(x) \ne 0$ allora possiamo dividere a destra e a sinistra per $y(x)$:
$ (y'(x))/(y(x)) = 1 $
A questo punto integriamo a destra e a sinistra rispetto a $x$:
$ \int_{x_0}^x (y'(x))/(y(x)) dx = x - x_0 $ (1)
L'integrale a sinistra messo cosi' com'e' sembra inattaccabile. Lasciamolo allora un attimo da parte.
Proviamo allora a ragionare considerando un generico integrale:
$ \int f(y) dy $
Ipotizziamo di fare un cambio di variabili $ x=bar x(y) $ allora:
$ dy = bar y'(x) dx $
Dove $bar y$ e' la funzione inversa di $bar x$.
Allora l'integrale diventa:
$ \int f(x) bar y'(x) dx $
Guardando meglio l'ultima formula uno si accorge che in realta' l'integrale nella (1) non e' altro che un normale integrale in y cui si e' fatto un cambio di variabili! Quindi:
$ \int_{x_0}^x (y'(x))/(y(x)) dx = \int_{y(x_0)}^{y(x)} 1/(y) dy $
Quest'ultimo integrale e' elementare:
$ \int_{y(x_0)}^{y(x)} 1/(y) dy = log((y(x))/(y(x_0))) $
Da cui:
$ log((y(x))/(y(x_0))) = x - x_0 $
Ovvero invertendo il logaritmo e "condensando" tutti i termini costanti in un unica costante $C$ moltiplicativa si ha:
$ y(x) = C e^x $
Questa e' l'idea di fondo che sta' dietro orribili scritture "stile fisico" come:
$ y' = dy/(dx) \implies dy = dx y \implies \int dy/y = \int dx \implies y(x)=Ce^x $
Il problema delle equazioni differenziali e' che solo per alcune si puo' procedere in questo modo (equazioni dette a variabili separabili) per molte altre bisogna ricorrere a "trucchi" e l'unica e' quella di conoscere questi trucchi e riconoscere i vari tipi di equazioni per poi applicare la tecnica giusta.
Un po' come per le equazioni algebriche: per il primo grado si puo' fare a mano. Per il secondo, terzo e quarto l'unica e' ricordarsi la formula!
Solo molto piu' in grande! Ci sono libri interi pieni di tipi di equazioni! (all'universita' fanno studiare solo le piu' comuni)
Della stragrande maggioranza delle equazioni differenziali non si conosce, poi, una tecnica risolutiva....
*** EDIT ***
Alcuni errori di "stampa"
Vogliamo trovare una funzione $y(x)$ t.c:
$ y'(x) = y(x) $
Questa e' un'equazione differenziale perche' ha come incognita una funzione da ricavare avendo a disposizione una relazione che lega la funzione stessa, la sua variabile e le sue derivate.
Per risolverla l'idea e' questa. Supponiamo che $y(x) \ne 0$ allora possiamo dividere a destra e a sinistra per $y(x)$:
$ (y'(x))/(y(x)) = 1 $
A questo punto integriamo a destra e a sinistra rispetto a $x$:
$ \int_{x_0}^x (y'(x))/(y(x)) dx = x - x_0 $ (1)
L'integrale a sinistra messo cosi' com'e' sembra inattaccabile. Lasciamolo allora un attimo da parte.
Proviamo allora a ragionare considerando un generico integrale:
$ \int f(y) dy $
Ipotizziamo di fare un cambio di variabili $ x=bar x(y) $ allora:
$ dy = bar y'(x) dx $
Dove $bar y$ e' la funzione inversa di $bar x$.
Allora l'integrale diventa:
$ \int f(x) bar y'(x) dx $
Guardando meglio l'ultima formula uno si accorge che in realta' l'integrale nella (1) non e' altro che un normale integrale in y cui si e' fatto un cambio di variabili! Quindi:
$ \int_{x_0}^x (y'(x))/(y(x)) dx = \int_{y(x_0)}^{y(x)} 1/(y) dy $
Quest'ultimo integrale e' elementare:
$ \int_{y(x_0)}^{y(x)} 1/(y) dy = log((y(x))/(y(x_0))) $
Da cui:
$ log((y(x))/(y(x_0))) = x - x_0 $
Ovvero invertendo il logaritmo e "condensando" tutti i termini costanti in un unica costante $C$ moltiplicativa si ha:
$ y(x) = C e^x $
Questa e' l'idea di fondo che sta' dietro orribili scritture "stile fisico" come:
$ y' = dy/(dx) \implies dy = dx y \implies \int dy/y = \int dx \implies y(x)=Ce^x $
Il problema delle equazioni differenziali e' che solo per alcune si puo' procedere in questo modo (equazioni dette a variabili separabili) per molte altre bisogna ricorrere a "trucchi" e l'unica e' quella di conoscere questi trucchi e riconoscere i vari tipi di equazioni per poi applicare la tecnica giusta.
Un po' come per le equazioni algebriche: per il primo grado si puo' fare a mano. Per il secondo, terzo e quarto l'unica e' ricordarsi la formula!
Solo molto piu' in grande! Ci sono libri interi pieni di tipi di equazioni! (all'universita' fanno studiare solo le piu' comuni)
Della stragrande maggioranza delle equazioni differenziali non si conosce, poi, una tecnica risolutiva....
*** EDIT ***
Alcuni errori di "stampa"
Grazie mille, sei stato chiaro ed esauriente.
Adesso proverò a farmene qualcuno di persona, se ho problemi vi faccio sapere
Adesso proverò a farmene qualcuno di persona, se ho problemi vi faccio sapere
Ho trovato questo quesito che mi sembra interessante, ma che non riesco a svolgere perchè non abbiamo fatto lo studio qualitativo delle equazioni differenziali.
Chi mi saprebbe dire qualcosa su come si procede?
Sia $y:R->R$ una generica soluzione di una equazione differenziale lineare del terzo ordine a coefficienti costanti omogenea. Dire quali dei seguenti comportamenti asintotici sono impossibili per $y$:
a) $ x^3e^{\pix}$ per $x\to+\infty$
b) $ x^4e^{-x}$ per $x\to-\infty$
c) $ e^{x^2}$ per $x\to+\infty$
d) $e^{|x|}$ per $x\to\pm\infty$
Grazie
Chi mi saprebbe dire qualcosa su come si procede?
Sia $y:R->R$ una generica soluzione di una equazione differenziale lineare del terzo ordine a coefficienti costanti omogenea. Dire quali dei seguenti comportamenti asintotici sono impossibili per $y$:
a) $ x^3e^{\pix}$ per $x\to+\infty$
b) $ x^4e^{-x}$ per $x\to-\infty$
c) $ e^{x^2}$ per $x\to+\infty$
d) $e^{|x|}$ per $x\to\pm\infty$
Grazie
Io ritengo che l'unica soluzione possibile sia quella di tipo d).
La a) no perchè se l'equazione cartteristica di terzo grado ha radice tripla = $pi$ , allora y sarebbe :$c_1e^(pix)+c_2xe^(pix)+c_3x^2e^(pix) $ma non ci sono termini del tipo $x^3e^(pix)$.
La b) no per analoghe ragioni.
La c ) no perchè le soluzioni di una equazione differenziale omogenea del terzo ordine a coeff. costanti sono o del tipo esponenziale come mostrato prima $ e^(kx)$ oppure $x^h*e^(kx)$ o sinusoidali del tipo $ A cos kx +B sin kx$ oppure una combinazione di esponenziale e sinusoidale del tipo $ e^kx*(Acos hx +b sin hx)$.
d) sì invece perchè conterrebbe i termini $e^x, e^(-x) $ soluzioni del tutto naturali per queste equazioni.
Attendo conferme .... o smentite.
Camillo
La a) no perchè se l'equazione cartteristica di terzo grado ha radice tripla = $pi$ , allora y sarebbe :$c_1e^(pix)+c_2xe^(pix)+c_3x^2e^(pix) $ma non ci sono termini del tipo $x^3e^(pix)$.
La b) no per analoghe ragioni.
La c ) no perchè le soluzioni di una equazione differenziale omogenea del terzo ordine a coeff. costanti sono o del tipo esponenziale come mostrato prima $ e^(kx)$ oppure $x^h*e^(kx)$ o sinusoidali del tipo $ A cos kx +B sin kx$ oppure una combinazione di esponenziale e sinusoidale del tipo $ e^kx*(Acos hx +b sin hx)$.
d) sì invece perchè conterrebbe i termini $e^x, e^(-x) $ soluzioni del tutto naturali per queste equazioni.
Attendo conferme .... o smentite.
Camillo
Mi sembra corretto il ragionamento, grazie ancora..
Sono d'accordo con Camillo.
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