Equazione differenziale lineare primo ordine
avrei da risolvere questa equazione differenziale lineare del primo ordine $y^{\prime}+1/x^2y=1/2$. risolvendo l'omegena ho
che $y^{\prime}/y=-1/x^2$ $=>$ $intdy/y=int-1/x^2$ $=>$ $logy=1/x$ $=>$ $y=ce^(1/x)$ questa è la soluzione dell'omogenea. come calcolo adesso la soluzione della particolare? potrei calcolarla con il metodo di Lagrange.ma c'è un'altra via?
che $y^{\prime}/y=-1/x^2$ $=>$ $intdy/y=int-1/x^2$ $=>$ $logy=1/x$ $=>$ $y=ce^(1/x)$ questa è la soluzione dell'omogenea. come calcolo adesso la soluzione della particolare? potrei calcolarla con il metodo di Lagrange.ma c'è un'altra via?
Risposte
Per metodo di Lagrange intendi quello dove imponi la soluzione particolare del tipo $c(t)*y(t)$ (dove $y(t)$ è soluzione dell'equazione omogenea)?
"klarence":
Per metodo di Lagrange intendi quello dove imponi la soluzione particolare del tipo $c(t)*y(t)$ (dove $y(t)$ è soluzione dell'equazione omogenea)?
si si esattamente proprio quello
Puoi moltiplicare sia il primo membro che il secondo membro per $e^(A(x))$ dove $A(x)$ è, in questo caso, una primitiva di $1/x^2$... così al primo membro esce qualcosa uguale a $(y*(e^(A(x)))'$ e elevando e dividendo in modo opportuno ottieni la tua soluzione.
"klarence":
Puoi moltiplicare sia il primo membro che il secondo membro per $e^(A(x))$ dove $A(x)$ è, in questo caso, una primitiva di $1/x^2$... così al primo membro esce qualcosa uguale a $(y*(e^(A(x)))'$ e elevando e dividendo in modo opportuno ottieni la tua soluzione.
ottengo una cosa del genere:
$a(x)=-1/x^2$
così si ha: $A(x)=e^(1/x)$ $=>$ $e^(1/x)y^{\prime}+e^(1/x)1/x^2y=1/2e^(1/x)$
"mazzy89":
ottengo una cosa del genere:
$a(x)=-1/x^2$
così si ha: $A(x)=e^(1/x)$ $=>$ $e^(1/x)y^{\prime}+e^(1/x)1/x^2y=1/2e^(1/x)$
No aspè, 1 primitiva di $1/x^2$ è $-1/x$ quindi ottieni $A(x)=-1/x$ e quindi $e^(A(x))=e^(-1/x)$.
"klarence":
[quote="mazzy89"]
ottengo una cosa del genere:
$a(x)=-1/x^2$
così si ha: $A(x)=e^(1/x)$ $=>$ $e^(1/x)y^{\prime}+e^(1/x)1/x^2y=1/2e^(1/x)$
No aspè, 1 primitiva di $1/x^2$ è $-1/x$ quindi ottieni $A(x)=-1/x$ e quindi $e^(A(x))=e^(-1/x)$.[/quote]
ah ok io avevo considerato $a(x)=-1/x^2$ perchè lo avevo portato al secondo membro
[edit]
a questo punto che posso fare?
$e^(-1/x)y^{\prime}+e^(-1/x)1/x^2y=1/2e^(-1/x) -> (e^(-1/x)*y)'=1/2e^(-1/x)$ poi integrando e spostando quello che devi spostare ottieni quello che devi ottenere....
"klarence":
$e^(-1/x)y^{\prime}+e^(-1/x)1/x^2y=1/2e^(-1/x) -> (e^(-1/x)*y)'=1/2e^(-1/x)$ poi integrando e spostando quello che devi spostare ottieni quello che devi ottenere....
convinto che con un altro metodo diverso da quello di lagrange sarei potuto scappare dalle grinfie dell'integrale $1/2int e^(-1/x)dx$ che non riesco a risolvere
"mazzy89":
[quote="klarence"]$e^(-1/x)y^{\prime}+e^(-1/x)1/x^2y=1/2e^(-1/x) -> (e^(-1/x)*y)'=1/2e^(-1/x)$ poi integrando e spostando quello che devi spostare ottieni quello che devi ottenere....
convinto che con un altro metodo diverso da quello di lagrange sarei potuto scappare dalle grinfie dell'integrale $1/2int e^(-1/x)dx$ che non riesco a risolvere[/quote]
[edit]
il suddetto integrale è integrabile elementarmente?
posso dire un'ERESIA? è una domanda non un consiglio su come devi fare: si può applicare il logaritmo a entrambi i membri o non si può fare o hai soluzioni solo per $D(e^(1/x)*y)>0$ ?
"anticristo":
posso dire un'ERESIA? è una domanda non un consiglio su come devi fare: si può applicare il logaritmo a entrambi i membri o non si può fare o hai soluzioni solo per $D(e^(1/x)*y)>0$ ?
non credo che si possa applicare il logaritmo ad entrambi i membri.
Ci sto pensando, per ora non mi vien nulla per fare quell'integrale.
lo sospettavo... veramente brutto l'integrale.. per sostituzione non si può?
"anticristo":
lo sospettavo... veramente brutto l'integrale.. per sostituzione non si può?
provato con sostituzione non arrivo a niente.con derive non me lo fa risolvere e con wolfram integral ottengo: [img]http://integrals.wolfram.com/Integrator/MSP/MSP22855024787323941191_541?MSPStoreType=GIF&s=1[/img]
Ma dove hai preso questo esercizio?
"klarence":
Ma dove hai preso questo esercizio?
dai compiti del mio prof.
"mazzy89":
[quote="klarence"]Ma dove hai preso questo esercizio?
dai compiti del mio prof.[/quote]
Per caso hai anche la condizione iniziale?
"klarence":
[quote="mazzy89"][quote="klarence"]Ma dove hai preso questo esercizio?
dai compiti del mio prof.[/quote]
Per caso hai anche la condizione iniziale?[/quote]
allora posto l'intero esercizio che parte da un'equazione di Bernoulli con condizione iniziale
${(y^{\prime}+2/x^2y=sqrty),(y(1)=1):}$
effettuando i dovuti passaggi mi riconduco ad un'equazione lineare di primo ordine che ho postato precedentemente
Allora non hai bisogno di svolgere l'integrale per esteso... Prendi gli estremi di integrazione ''furbi'' in modo che sai comunque il valore della soluzione particolare nel punto 1, che è quello che ci interessa.
$c(x)=1/2*(e^(1/x))*int_1^x e^(-1/t)dt$ è la tua soluzione particolare, l'insieme delle soluzioni invece
$y(x)=c*e^(1/x)+1/2*(e^(1/x))*int_1^x e^(-1/t)dt$
Ora imponi la condizione iniziale:
$y(1)=c*e+1/2*(e)*int_1^1 e^(-1/t)dt=c*e+0=c*e=1 => c=1/e$
$c(x)=1/2*(e^(1/x))*int_1^x e^(-1/t)dt$ è la tua soluzione particolare, l'insieme delle soluzioni invece
$y(x)=c*e^(1/x)+1/2*(e^(1/x))*int_1^x e^(-1/t)dt$
Ora imponi la condizione iniziale:
$y(1)=c*e+1/2*(e)*int_1^1 e^(-1/t)dt=c*e+0=c*e=1 => c=1/e$
"klarence":
Allora non hai bisogno di svolgere l'integrale per esteso... Prendi gli estremi di integrazione ''furbi'' in modo che sai comunque il valore della soluzione particolare nel punto 1, che è quello che ci interessa.
$c(x)=1/2*(e^(1/x))*int_1^x e^(-1/t)dt$ è la tua soluzione particolare, l'insieme delle soluzioni invece
$y(x)=c*e^(1/x)+1/2*(e^(1/x))*int_1^x e^(-1/t)dt$
Ora imponi la condizione iniziale:
$y(1)=c*e+1/2*(e)*int_1^1 e^(-1/t)dt=c*e+0=c*e=1 => c=1/e$
mi spiegheresti come mai quegli estremi di integrazione $1$ e $x$?
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