Equazione differenziale lineare primo ordine

[mazzy89-votailprof]

avrei da risolvere questa equazione differenziale lineare del primo ordine $y^{\prime}+1/x^2y=1/2$. risolvendo l'omegena ho

che $y^{\prime}/y=-1/x^2$ $=>$ $intdy/y=int-1/x^2$ $=>$ $logy=1/x$ $=>$ $y=ce^(1/x)$ questa è la soluzione dell'omogenea. come calcolo adesso la soluzione della particolare? potrei calcolarla con il metodo di Lagrange.ma c'è un'altra via?

[klarence1]

"mazzy89":
mi spiegheresti come mai quegli estremi di integrazione $1$ e $x$?

Per il teorema del calcolo integrale hai che se $int_a^xf(x)dx=F(x)$ allora $F'(x)=f(x)$ con $a in RR$.
Spesso con gli strumenti usuali,dato quell'integrale, possiamo ricavarci 'concretamente' quella $F(x)$... per esempio se $f(x)=1$ allora $F(x)=x$. In questo caso non riusciamo a calcolare concretamente la $F$ (perchè non si può o perchè noi siamo ciucci, questo è ancora da stabilire) quindi sfruttiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale unito al fatto che $int_a^af(x)dx=0$. In questo modo sappiamo almeno in un punto (per $x=a$) quanto vale la funzione (varrà 0) anche se non abbiamo l'espressione esplicita della $F$. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo scegliere un $a$ a piacere all'interno del dominio della $f$, e noi chiaramente sceglieremo $a=1$ (perchè è li che dobbiamo imporre la condizione iniziale, quindi è almeno li che dobbiamo stabilire quanto vale la funzione integrale che non siamo riusciti a esprimere esplicitamente).

[mazzy89-votailprof]

"klarence":[quote="mazzy89"]
mi spiegheresti come mai quegli estremi di integrazione $1$ e $x$?

Per il teorema del calcolo integrale hai che se $int_a^xf(x)dx=F(x)$ allora $F'(x)=f(x)$ con $a in RR$.
Spesso con gli strumenti usuali,dato quell'integrale, possiamo ricavarci 'concretamente' quella $F(x)$... per esempio se $f(x)=1$ allora $F(x)=x$. In questo caso non riusciamo a calcolare concretamente la $F$ (perchè non si può o perchè noi siamo ciucci, questo è ancora da stabilire) quindi sfruttiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale unito al fatto che $int_a^af(x)dx=0$. In questo modo sappiamo almeno in un punto (per $x=a$) quanto vale la funzione (varrà 0) anche se non abbiamo l'espressione esplicita della $F$. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo scegliere un $a$ a piacere all'interno del dominio della $f$, e noi chiaramente sceglieremo $a=1$ (perchè è li che dobbiamo imporre la condizione iniziale, quindi è almeno li che dobbiamo stabilire quanto vale la funzione integrale che non siamo riusciti a esprimere esplicitamente).[/quote]

ma è $a=1$ perché la condizione inziale è $y(1)=1$ così da scegliere $x=1$ e far diventare quell'integrale $0$.esatto?

[klarence1]

"mazzy89":
ma è $a=1$ perché la condizione inziale è $y(1)=1$?

Eh si. Per trovare la condizione iniziale abbiamo bisogno di valutare l'insieme delle soluzioni [ cioè $y(x)=c*e^(1/x)+1/2*(e^(1/x))*int_1^x e^(-1/t)dt$
] su $x=1$, giusto? E siccome noi ora abbiamo nella funzione che esprime l'insieme delle soluzioni un integrale di cui non sappiamo trovare esplicitamente una primitiva scegliamo, tra tutte le funzioni $F(x)$ tali che $F'(x)=e^(-1/x)$, quella che ha un estremo di integrazione uguale a 1 in modo da poter sapere quanto vale $F(1)$ poichè, quando andiamo a imporre la condizione iniziale avremo:
$y(1)=c*e+1/2*(e)*F(1)$ pertanto abbiamo bisogno di sapere quanto vale $F(1)$

[klarence1]

"mazzy89":
ma è $a=1$ perché la condizione inziale è $y(1)=1$ così da scegliere $x=1$ e far diventare quell'integrale $0$.esatto?

Si.