Equazione differenziale a variabili separibili
$y(t)y^{\prime}(t)=t+1$
integro tra 0 e x $rArr \int_0^xy(t)y^{\prime}(t)dt=\int_0^xt+1 dt$
il secondo membro diventa $x^2/2+x$ ma il primo membro come diventa e perchè?
integro tra 0 e x $rArr \int_0^xy(t)y^{\prime}(t)dt=\int_0^xt+1 dt$
il secondo membro diventa $x^2/2+x$ ma il primo membro come diventa e perchè?
Risposte
Il primo diventa:
$int_0^x y(t) y'(t) dt = int_0^x y(t) dy(t) = (y(x)^2)/2-(y(0)^2)/2$
$int_0^x y(t) y'(t) dt = int_0^x y(t) dy(t) = (y(x)^2)/2-(y(0)^2)/2$
Se non è ancora chiaro chiedi pure!
aspetta... praticamente hai scritto $y^{\prime}(t)$ come la derivata di y(t)?
però poi? come viene l'integrale? se integro la derivata ottengo y(t), ma se integro y(t) cosa ottengo?
però poi? come viene l'integrale? se integro la derivata ottengo y(t), ma se integro y(t) cosa ottengo?
vi prego aiutatemi ho l'esame tra pochi giorni..... 
Osseva più semplicemente che se io chiamo mediante cambio di variabili:
$gamma=y(t) rightarrow dgamma=y'(t)dt$
ottengo:
$int_0^x y(t)y'(t)dt=int_0^x gamma dgamma$
Che è come poi procedo per il calcolo della soluzione finale.
$gamma=y(t) rightarrow dgamma=y'(t)dt$
ottengo:
$int_0^x y(t)y'(t)dt=int_0^x gamma dgamma$
Che è come poi procedo per il calcolo della soluzione finale.
ok... se avessi avuto un problema di cauchy con la stessa equazione e come condizione $y(0)=1$
al primo membro avrei ottenuto $(y^2(x))/2-1/2$? giusto? perchè $y^2(0)=1$ giusto?
un altra cosa... per vedere se ho capito....
se ho $(y^{\prime}(t))/sqrt(y(x)-2)=x$
l'integrale diventa $\int_0^xdy/sqrt(y-2)$ giusto?
solo che il prof non integra tra 0 e x ma fa l'integrale indefinito...Perchè?
al primo membro avrei ottenuto $(y^2(x))/2-1/2$? giusto? perchè $y^2(0)=1$ giusto?
un altra cosa... per vedere se ho capito....
se ho $(y^{\prime}(t))/sqrt(y(x)-2)=x$
l'integrale diventa $\int_0^xdy/sqrt(y-2)$ giusto?
solo che il prof non integra tra 0 e x ma fa l'integrale indefinito...Perchè?
"Knuckles":
ok... se avessi avuto un problema di cauchy con la stessa equazione e come condizione $y(0)=1$
al primo membro avrei ottenuto $(y^2(x))/2-1/2$? giusto? perchè $y^2(0)=1$ giusto?
un altra cosa... per vedere se ho capito....
se ho $(y^{\prime}(t))/sqrt(y(x)-2)=x$
l'integrale diventa $\int_0^xdy/sqrt(y-2)$ giusto?
Esattamente!!! (anche se hai fatto un poca di confusione tra x e t....)
solo che il prof non integra tra 0 e x ma fa l'integrale indefinito...Perchè?
Probabilmente deriva dal fatto che non ha estremi di integrazione e vuole le primitive e basta.
una volta che ho scritto $y^2(x)=(1+x)^2$ continuo così?
$|y(x)|=|1+x|$ --> viene per forza $y(x)=x+1$ che è la soluzione dell'esercizio giusto?
$|y(x)|=|1+x|$ --> viene per forza $y(x)=x+1$ che è la soluzione dell'esercizio giusto?
Non ti seguo in questo ultimo punto...
perchè, per il secondo esempio $y^{\prime}(x)=xsqrt(y(x)-2)$, il prof dice che esiste la soluzione costante y(x)=2 e già perchè?
poi dice separiamo le variabili (supponendo $y(x)>=2$ poi svolge l'integrale indefinito e ottiene $y(x)=2+(x^2/4+c)^2$ però perchè qua c'è c e nel primo esempio no?
poi dice separiamo le variabili (supponendo $y(x)>=2$ poi svolge l'integrale indefinito e ottiene $y(x)=2+(x^2/4+c)^2$ però perchè qua c'è c e nel primo esempio no?
allora.... 
scusami se ti ho creato un po di confusione...
primo esercizio $\{(y^{\prime}(x)y(x)=x+1),(y(0)=1):}$
chiamo x=t, y=y(x).... integro fra 0 e x e alla fine ottengo dopo qualche calcolo $y^2(x)=x^2+2x+1=(1+x)^2$ giusto?
adesso come ricavo y(x)? io ho fatto la radice quadrata....è sbagliato?
scusami se ti ho creato un po di confusione...primo esercizio $\{(y^{\prime}(x)y(x)=x+1),(y(0)=1):}$
chiamo x=t, y=y(x).... integro fra 0 e x e alla fine ottengo dopo qualche calcolo $y^2(x)=x^2+2x+1=(1+x)^2$ giusto?
adesso come ricavo y(x)? io ho fatto la radice quadrata....è sbagliato?
Per la prima parte se $y(x)$ è identicamente $2$ allora ovviamente la derivata è nulla al primo membro ed al secondo è nulla la radice. In ogni caso è una uguaglianza lecita!!!
Se così non è otteniamo quanto hai detto tu.
$c$ è una costante arbitraria per definire correttamente la primitiva risultato dell'integrale. Nel primo esempio avevi gli estremi di integrazione e quindi non avevi costanti arbitrarie.
$int (dy)/sqrt(y-2) = x^2/2+c$
$2sqrt(y-2) = x^2/2+c$
etc... fino a $y=2+(x^2/4+c)^2
Se così non è otteniamo quanto hai detto tu.
$c$ è una costante arbitraria per definire correttamente la primitiva risultato dell'integrale. Nel primo esempio avevi gli estremi di integrazione e quindi non avevi costanti arbitrarie.
$int (dy)/sqrt(y-2) = x^2/2+c$
$2sqrt(y-2) = x^2/2+c$
etc... fino a $y=2+(x^2/4+c)^2
secondo esercizio $y^{\prime}(x)=xsqrt(y(x)-2)$
allora
$a(x)=x rArr I=RR$
$b[y(x)]= sqrt(y(x)-2) rArr J=[2,+oo)$
poi il prof dice che esiste la soluzione costante y(x=2.... perchè? come la trova?
poi svolge l'integrale indefinito e ottiene $sqrt(y(x)-2)=x^2/4+c/2$ da cui $y(x)=2+(x^2/4+c)^2$ però non capisco perchè non integra fra 0 e x...
allora
$a(x)=x rArr I=RR$
$b[y(x)]= sqrt(y(x)-2) rArr J=[2,+oo)$
poi il prof dice che esiste la soluzione costante y(x=2.... perchè? come la trova?
poi svolge l'integrale indefinito e ottiene $sqrt(y(x)-2)=x^2/4+c/2$ da cui $y(x)=2+(x^2/4+c)^2$ però non capisco perchè non integra fra 0 e x...
${(yy'=(x+1)),(y(0)=1):}$
Porta a mediante integrale INDEFINITO:
$int yy'dy=int (x+1) dx$
$y^2/2=x^2/2+x+c$
Da cui:
$y=sqrt(x^2+2x+c)$
lecito se $x^2+2x+c>=0$, ponendo poi $y(0)=1$ ottengo che $c=1$ ovvero la soluzione:
$y=sqrt(x^2+2x+1)$
Porta a mediante integrale INDEFINITO:
$int yy'dy=int (x+1) dx$
$y^2/2=x^2/2+x+c$
Da cui:
$y=sqrt(x^2+2x+c)$
lecito se $x^2+2x+c>=0$, ponendo poi $y(0)=1$ ottengo che $c=1$ ovvero la soluzione:
$y=sqrt(x^2+2x+1)$
Ho risposto ad entrambe mentre probabilmente tu scrivevi 
c'è un errore... mi sa che è $y(x)=sqrt(x^2+2x+c)$
cioè $y(0)=sqrt(0+0+c) rArr c=1$.. giusto?
cioè $y(0)=sqrt(0+0+c) rArr c=1$.. giusto?
non ho capito bene il secondo esercizio... potresti spiegarlo meglio?
Allora.... ragionando....
nel secondo problema $b[y(x)]=sqrt(y(x)-2)$ è definita in $J=[2,+oo)$....
quindi per $y(x)=2 rArr b[y(x)]=b[y_o]=0$ ciò implica che esiste la soluzione stazionaria y(x)=2.... giusto?
dopodichè prosegue per y(x)>2 risolve l'integrale ecc ecc... giusto?
nel secondo problema $b[y(x)]=sqrt(y(x)-2)$ è definita in $J=[2,+oo)$....
quindi per $y(x)=2 rArr b[y(x)]=b[y_o]=0$ ciò implica che esiste la soluzione stazionaria y(x)=2.... giusto?
dopodichè prosegue per y(x)>2 risolve l'integrale ecc ecc... giusto?
Il secondo esercizio segue la ricetta:
0) Osservo attentamente l'esercizio:
$y'=xsqrt(y-2)$
1) Separo le variabili
$(y')/sqrt(y-2)=x$
2) Calcolo i rispettivi integrali indefiniti
$int dy/sqrt(y-2) = int x dx$
$2sqrt(y-2)=x^2/2+c$
$y=(x^2/4+c)^2$
3) Adatto la soluzione determinando $c$ mediante punto iniziale
In questo caso manca ma per esempio nell'esercizio uno no.
4) Valuto la soluzione particolare.
Qui devi solo avere un poco di spirito di osservazione. La soluzione particolare si trova perchè identicamente risolve il problema. In questo caso la costante $y=2$ risolve identicamente il nostro problema come hai specificato tu nel post precedente.
P.S. Avevi ragione mi ero perso un $2$ per strada e sopra ho modificato come da tuo sugerimento.
0) Osservo attentamente l'esercizio:
$y'=xsqrt(y-2)$
1) Separo le variabili
$(y')/sqrt(y-2)=x$
2) Calcolo i rispettivi integrali indefiniti
$int dy/sqrt(y-2) = int x dx$
$2sqrt(y-2)=x^2/2+c$
$y=(x^2/4+c)^2$
3) Adatto la soluzione determinando $c$ mediante punto iniziale
In questo caso manca ma per esempio nell'esercizio uno no.
4) Valuto la soluzione particolare.
Qui devi solo avere un poco di spirito di osservazione. La soluzione particolare si trova perchè identicamente risolve il problema. In questo caso la costante $y=2$ risolve identicamente il nostro problema come hai specificato tu nel post precedente.
P.S. Avevi ragione mi ero perso un $2$ per strada e sopra ho modificato come da tuo sugerimento.
scusa una cosa quando sono arrivato a questo punto
$2sqrt(y-2)=x^2/2+c$
moltiplico per $1/2$ e ottengo
$sqrt(y-2)=x^2/4+c/2$
da cui $y-2=(x^2/4+c/2)^2 rArr y=2+(x^2/4+c/2)^2$
perchè a te viene diverso?
$2sqrt(y-2)=x^2/2+c$
moltiplico per $1/2$ e ottengo
$sqrt(y-2)=x^2/4+c/2$
da cui $y-2=(x^2/4+c/2)^2 rArr y=2+(x^2/4+c/2)^2$
perchè a te viene diverso?
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