Equazione complessa di settimo grado
Devo risolvere quest'equazione in campo complesso:
$z^7 + 3 + i = 0$
Non riesco bene a capire come risolverla... Di solito si riesce sempre a ricondurre ad un'equazione di secondo grado, oppure a diverse equazioni di secondo grado che si possono risolvere semplicemente fra di loro prese una alla volta... Tipo $a*b=0$ ed io risolvo primo $a=0$ e poi $b=0$ ed unisco i risultati... Solo che questa non si lascia risolvere in nessuno dei modi da me conosciuto... Ho provato a sostituire z con $a+ib$ ma poi non so svolgere la potenza... Voi come fareste???
$z^7 + 3 + i = 0$
Non riesco bene a capire come risolverla... Di solito si riesce sempre a ricondurre ad un'equazione di secondo grado, oppure a diverse equazioni di secondo grado che si possono risolvere semplicemente fra di loro prese una alla volta... Tipo $a*b=0$ ed io risolvo primo $a=0$ e poi $b=0$ ed unisco i risultati... Solo che questa non si lascia risolvere in nessuno dei modi da me conosciuto... Ho provato a sostituire z con $a+ib$ ma poi non so svolgere la potenza... Voi come fareste???
Risposte
Questa si risolve in maniera differente. Poni
[tex]z^7=-3-i[/tex]
e procedi o utilizzando le formule di De Moivre o trasformando il numero complesso a destra dell'equazione in forma esponenziale, tenendo conto della periodicità della fase.
[tex]z^7=-3-i[/tex]
e procedi o utilizzando le formule di De Moivre o trasformando il numero complesso a destra dell'equazione in forma esponenziale, tenendo conto della periodicità della fase.
Allora ho provato così:
$rho = sqrt(3^2 + 1^2) = sqrt(10)$
$cos theta = - a / rho = -3/sqrt(10)$
$sin theta = -b / rho = -1/sqrt(10)$
Poi ho posto $(-3 - i)^(1/7)$ quindi ho trovato la soluzione:
$ omega = 10^(1/14) * e^(i ((theta + 2k pi)/7))$ con k=0,1,...,6
E' corretto oppure ho fatto una cappiata??? Però $theta$ è un numero del cavolo... Se è corretto, come potrei rappresentarlo???
$rho = sqrt(3^2 + 1^2) = sqrt(10)$
$cos theta = - a / rho = -3/sqrt(10)$
$sin theta = -b / rho = -1/sqrt(10)$
Poi ho posto $(-3 - i)^(1/7)$ quindi ho trovato la soluzione:
$ omega = 10^(1/14) * e^(i ((theta + 2k pi)/7))$ con k=0,1,...,6
E' corretto oppure ho fatto una cappiata??? Però $theta$ è un numero del cavolo... Se è corretto, come potrei rappresentarlo???
[tex]\theta=180°+\arctan\left(\frac{1}{3}\right)=198°[/tex]
L'angolo non mi sembra venga preciso
Per rapprensentarli calcola l'angolo di base e lo step e li disegni sul piano complesso.
L'angolo non mi sembra venga preciso
Per rapprensentarli calcola l'angolo di base e lo step e li disegni sul piano complesso.
Ma quindi il risultao rappresentato così può esser giusto??? Perchè io potrei tenere come angolo $arcsin(-1/sqrt(10))$... Vorrei sapere se i risultati sono corretti...
Si il risultato è corretto. Quando consideri l'angolo devi solo fare attenzione al quadrante in cui sei.
Si ricordo di stare attento ai segni di seno e coseno... Ti voglio porre un altro quesito:
$z^8 +2-5Re(z)=0$
Avendo anche la parte reale di z, come dovrei risolverla??? Posso procedere allo stesso modo facendo la radice ottava di $5Re(z) - 2$???
Grazie...
$z^8 +2-5Re(z)=0$
Avendo anche la parte reale di z, come dovrei risolverla??? Posso procedere allo stesso modo facendo la radice ottava di $5Re(z) - 2$???
Grazie...
Io scriverei [tex]$z$[/tex] in forma esponenziale!
Tu mi consigli di risolvere:
$rhoe^(8itheta) + 2 - 5 rho=0$
Avevo pensato anche io di passare agli esponenziali ma così non riesco ancora a risolverlo... Avrei lo stesso due incognite ed una sola equazione...
$rhoe^(8itheta) + 2 - 5 rho=0$
Avevo pensato anche io di passare agli esponenziali ma così non riesco ancora a risolverlo... Avrei lo stesso due incognite ed una sola equazione...
C'è un errore in quanto hai scritto, ma comunque non si caverebbe il ragno dal buco -_-
Non riesco a vedere l'errore... Cmq non saprei come trovare il risultato di questa equazione...
[tex]$\rho^8e^{8i\theta}+2-5\rho\cos\theta=0$[/tex]
Ah grazie... Mi ero dimenticato della potenza di $rho$... Ma quindi questa seconda equazione è di impossibile risoluzione???
Ho dimenticato il [tex]$\cos\theta$[/tex] 
; ciò m'induce a pensare che si possa risolvere utilizzando la notazione trigoniometrica!
; ciò m'induce a pensare che si possa risolvere utilizzando la notazione trigoniometrica!
Ho apportato le modifiche:
$rho^8 (cos 8 theta + i sin 8 theta) + 2 - 5 rho cos theta = 0$
Ma rimango sempre fermo... Ho provato mettendo in evidenza rho e riunendo i termini così:
$rho(rho^7 cos (8 theta) + i sin(8 theta) - 5 cos theta) = -2$
Forse dovrei fare un sistema ma non so se fattibile così:
${ ( rho^8 cos(8 theta) - 5 cos theta = -2 ),( rho^8 i sin(8 theta )=0):}$
Ma non saprei dove arrivare, soprattutto per $cos(8 theta)$ che mi crea difficoltà...
$rho^8 (cos 8 theta + i sin 8 theta) + 2 - 5 rho cos theta = 0$
Ma rimango sempre fermo... Ho provato mettendo in evidenza rho e riunendo i termini così:
$rho(rho^7 cos (8 theta) + i sin(8 theta) - 5 cos theta) = -2$
Forse dovrei fare un sistema ma non so se fattibile così:
${ ( rho^8 cos(8 theta) - 5 cos theta = -2 ),( rho^8 i sin(8 theta )=0):}$
Ma non saprei dove arrivare, soprattutto per $cos(8 theta)$ che mi crea difficoltà...
C'ho pensato anch'io, si arriverebbe alla equazione risolvibile [tex]$\sin8\theta=0$[/tex] che ti determinerebbe solo le fasi delle soluzioni e nulla più!
EDIT: Si deve scrivere [tex]$5\rho\cos\theta$[/tex]
EDIT: Si deve scrivere [tex]$5\rho\cos\theta$[/tex]
Ma quindi non si risolve??? Cioè ci sarà un sistema... Credo di averle pensate tutte... Forse c'è qualche soluzione più semplice...
Faccio un up... Ed aggiungo una cosa... L'equazione che volevo risolvere io in partenza è così fatta:
$(z^8 + 2- 5Re(z))(2Re(z)z^2 +(2-5Re(z))z - 5)=0$
Avevo pensato come mi era stato consigliato di risolvere le due equazioni seperatamente... Ma visto che così diventa impossibile risolvere, vorrei provare ad esprimere tutto in esponenziale, vediamo se insieme si risolve l'espressione... Avevo anche provato a mettere:
$Re(z)=(z+conj(z))/2$
Ma il problema rimane... Metto il problema ed inizio a risolvere... Aspetto intanto consigli...
$(z^8 + 2- 5Re(z))(2Re(z)z^2 +(2-5Re(z))z - 5)=0$
Avevo pensato come mi era stato consigliato di risolvere le due equazioni seperatamente... Ma visto che così diventa impossibile risolvere, vorrei provare ad esprimere tutto in esponenziale, vediamo se insieme si risolve l'espressione... Avevo anche provato a mettere:
$Re(z)=(z+conj(z))/2$
Ma il problema rimane... Metto il problema ed inizio a risolvere... Aspetto intanto consigli...
Up 
@Mito125: Una curiosità... Ma da dove esce un'equazione di questo tipo?
E' un'esame di analisi2 dato dal prof Obrecht... Qui si trova il pdf originale:
http://www.dm.unibo.it/~obrecht/appunti ... lisiLB.pdf
3° esercizio in prima pagina... Io sono veramente disperato per questo esercizio... Non viene in nessun modo...
http://www.dm.unibo.it/~obrecht/appunti ... lisiLB.pdf
3° esercizio in prima pagina... Io sono veramente disperato per questo esercizio... Non viene in nessun modo...
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