Equazione complessa di settimo grado
Devo risolvere quest'equazione in campo complesso:
$z^7 + 3 + i = 0$
Non riesco bene a capire come risolverla... Di solito si riesce sempre a ricondurre ad un'equazione di secondo grado, oppure a diverse equazioni di secondo grado che si possono risolvere semplicemente fra di loro prese una alla volta... Tipo $a*b=0$ ed io risolvo primo $a=0$ e poi $b=0$ ed unisco i risultati... Solo che questa non si lascia risolvere in nessuno dei modi da me conosciuto... Ho provato a sostituire z con $a+ib$ ma poi non so svolgere la potenza... Voi come fareste???
$z^7 + 3 + i = 0$
Non riesco bene a capire come risolverla... Di solito si riesce sempre a ricondurre ad un'equazione di secondo grado, oppure a diverse equazioni di secondo grado che si possono risolvere semplicemente fra di loro prese una alla volta... Tipo $a*b=0$ ed io risolvo primo $a=0$ e poi $b=0$ ed unisco i risultati... Solo che questa non si lascia risolvere in nessuno dei modi da me conosciuto... Ho provato a sostituire z con $a+ib$ ma poi non so svolgere la potenza... Voi come fareste???
Risposte
E sei proprio sicuro che [tex]$R=\Re e (z)$[/tex]?
Sicuro no... Ma io l'ho sempre interpretato così... Altrimenti cosa vorrebbe dire??? Penso sia un'abbreviazione... L'unica cosa è che sia sbagliato la potenza ottava... Che sia una $z^3$ invece che $z^8$... Ma non posso saperlo...
Vabbé allora ci arrangiamo.
Consideriamo l'equazione [tex]$z^8=5\Re e(z)-2$[/tex].
L'uguaglianza ci dice che la potenza [tex]$z^8$[/tex] deve essere reale, ergo l'argomento principale [tex]$\vartheta$[/tex] di [tex]$z$[/tex] ha da essere tale che [tex]$8\ \vartheta =0 \mod 2\pi$[/tex] ossia [tex]$\vartheta=\vartheta_k =k\ \tfrac{\pi}{4}$[/tex] per [tex]$k\in \{0,\ldots ,7\}$[/tex].
Prendiamo un valore di [tex]$k$[/tex] ed andiamo a sostituire [tex]$z=r\ e^{\jmath\ \vartheta_k}$[/tex] nell'equazione, ottenendo:
[tex]$r^8 -5\cos \vartheta_k\ r+2=0$[/tex]
ove l'incognita è [tex]$r\geq 0$[/tex].
Se [tex]$\cos \vartheta_k \leq 0$[/tex], ossia se [tex]$k\in \{ 2,\ldots ,6\}$[/tex], allora non ci sono soluzioni (somma di quantità non negative con una positiva);.
Se [tex]$\cos \vartheta_k >0$[/tex], ossia se [tex]$k=0,1,7$[/tex], ci sono almeno due soluzioni in [tex]$[0,+\infty[$[/tex] (per permanenza del segno in [tex]$[0,1]$[/tex] e [tex]$[1,2]$[/tex]); tali soluzioni sono uniche (basta studiarsi la derivata prima del polinomio a primo membro). Le soluzioni per [tex]$k=1,7$[/tex] sono le stesse, ergo l'equazione iniziale ha sicuramente due coppie di soluzioni coniugate (quelle corrispondenti a [tex]$\vartheta_1,\vartheta_7$[/tex]) e due soluzioni reali (quelle corrispondenti a [tex]$\vartheta_0$[/tex]), tutte di modulo in [tex]$]0,2[$[/tex].
Non si riesce a determinarle esattamente, ma un teorema di esistenza è meglio di niente (per un ingegnere
).
Consideriamo l'equazione [tex]$z^8=5\Re e(z)-2$[/tex].
L'uguaglianza ci dice che la potenza [tex]$z^8$[/tex] deve essere reale, ergo l'argomento principale [tex]$\vartheta$[/tex] di [tex]$z$[/tex] ha da essere tale che [tex]$8\ \vartheta =0 \mod 2\pi$[/tex] ossia [tex]$\vartheta=\vartheta_k =k\ \tfrac{\pi}{4}$[/tex] per [tex]$k\in \{0,\ldots ,7\}$[/tex].
Prendiamo un valore di [tex]$k$[/tex] ed andiamo a sostituire [tex]$z=r\ e^{\jmath\ \vartheta_k}$[/tex] nell'equazione, ottenendo:
[tex]$r^8 -5\cos \vartheta_k\ r+2=0$[/tex]
ove l'incognita è [tex]$r\geq 0$[/tex].
Se [tex]$\cos \vartheta_k \leq 0$[/tex], ossia se [tex]$k\in \{ 2,\ldots ,6\}$[/tex], allora non ci sono soluzioni (somma di quantità non negative con una positiva);.
Se [tex]$\cos \vartheta_k >0$[/tex], ossia se [tex]$k=0,1,7$[/tex], ci sono almeno due soluzioni in [tex]$[0,+\infty[$[/tex] (per permanenza del segno in [tex]$[0,1]$[/tex] e [tex]$[1,2]$[/tex]); tali soluzioni sono uniche (basta studiarsi la derivata prima del polinomio a primo membro). Le soluzioni per [tex]$k=1,7$[/tex] sono le stesse, ergo l'equazione iniziale ha sicuramente due coppie di soluzioni coniugate (quelle corrispondenti a [tex]$\vartheta_1,\vartheta_7$[/tex]) e due soluzioni reali (quelle corrispondenti a [tex]$\vartheta_0$[/tex]), tutte di modulo in [tex]$]0,2[$[/tex].
Non si riesce a determinarle esattamente, ma un teorema di esistenza è meglio di niente (per un ingegnere
).
Mi sa allora che quel z^8 sia sempre un z^3... Perchè gli scritti sono sempre uguali, e di certo non ci mette un teorema di esistenza, sia appunto ingegneri(2+2 fa circa 4)...
Questa non è una soluzione che ho mai visto a lezione, quindi mi metto a cercare una soluzione per $z^3 + 2 - 5Re(z)=0$... Sperando di non dover cercare aiuto... Perchè sempre quella parte reale mi crea confusione... Se fosse solo in z sarebbe molto più facile...
Comunque in analisi 2 noi cerchiamo sempre soluzione ben determinate, altrimenti vuol dire che il prof ha sbagliato traccia
Cioè all'esame il primo sicuro che sia un errore lo dice al prof e lui ci da il testo corretto in diretta...
EDIT:Quel [tex]R[/tex] potrebbe significare altro???
Questa non è una soluzione che ho mai visto a lezione, quindi mi metto a cercare una soluzione per $z^3 + 2 - 5Re(z)=0$... Sperando di non dover cercare aiuto... Perchè sempre quella parte reale mi crea confusione... Se fosse solo in z sarebbe molto più facile...
Comunque in analisi 2 noi cerchiamo sempre soluzione ben determinate, altrimenti vuol dire che il prof ha sbagliato traccia
Cioè all'esame il primo sicuro che sia un errore lo dice al prof e lui ci da il testo corretto in diretta...EDIT:Quel [tex]R[/tex] potrebbe significare altro???
Riscrivo purtroppo perchè non sono riuscito a venirne a capo da nessuna parte... Trigonometrici o esponenziali che siano... Posto che lo [tex]z^8[/tex] in realtà è [tex]z^3[/tex], ho provato a risolvere l'equazione seguente:
[tex]z^3 + 2 - 5Re(z)=0[/tex]
La prima idea è stata quella di usare gli esponenziali, con cui mi trovo particolarmente comodo:
[tex]\rho^3 exp(i 3 \theta) - 5 \rho=-2[/tex]
[tex]\rho^3(cos3\theta + i sin3\theta) - 5 \rho cos \theta=-2[/tex]
[tex]\[\begin{sistema} \rho^3cos(3\theta) - 5 \rho cos \theta=-2 \\ \rho^3 i sin\theta=0 \end{sistema}\][/tex]
da cui:
[tex]\sin 3 \theta=0[/tex]
[tex]3\theta=k \pi[/tex]
Quindi [tex]cos n \theta=1[/tex]
[tex]\rho^3 - 5 \rho=-2[/tex]
E qui mi sono fermato non sapendo trovare le soluzioni...
Purtroppo io ho seguito il corso con una docente differente, che non metteva i complessi alla prova scritta ed in più ci faceva sempre semplici equazioni di secondo grado...
ps:ripeto la domanda scritta su... Quel [tex]R[/tex] potrebbe significare altro???
[tex]z^3 + 2 - 5Re(z)=0[/tex]
La prima idea è stata quella di usare gli esponenziali, con cui mi trovo particolarmente comodo:
[tex]\rho^3 exp(i 3 \theta) - 5 \rho=-2[/tex]
[tex]\rho^3(cos3\theta + i sin3\theta) - 5 \rho cos \theta=-2[/tex]
[tex]\[\begin{sistema} \rho^3cos(3\theta) - 5 \rho cos \theta=-2 \\ \rho^3 i sin\theta=0 \end{sistema}\][/tex]
da cui:
[tex]\sin 3 \theta=0[/tex]
[tex]3\theta=k \pi[/tex]
Quindi [tex]cos n \theta=1[/tex]
[tex]\rho^3 - 5 \rho=-2[/tex]
E qui mi sono fermato non sapendo trovare le soluzioni...
Purtroppo io ho seguito il corso con una docente differente, che non metteva i complessi alla prova scritta ed in più ci faceva sempre semplici equazioni di secondo grado...
ps:ripeto la domanda scritta su... Quel [tex]R[/tex] potrebbe significare altro???
Emmm... [tex]$\sin 3\theta =0$[/tex].
Si mi è sfuggito... Ma tanto io arriverei sempre alla stessa conclusione... Quando il seno è zero, significa che sono davanti ad un angolo di 0° o 180°...
Cioè [tex]$3\theta =k\ \pi$[/tex]... Più attenzione!
Non è l'attenzione che manca, è che proprio avevo sbagliato... Avevo pensato $sin (3*theta) = sin(alfa) = 0$, avevo proprio sottovalutato il 3... Quindi devo rifare tutto per trovare un'equazione corretta per $rho$...
senti, io avevo provato a cimentarmi, avevo trovato qualcosa, ma non l'ho postato perché non mi pareva molto rilevante.
però, ora che ho visto il testo in originale, ho un appunto da fare nella tua impostazione.
tu hai un'equazione del tipo "prodotto di due numeri complessi = 0", e tu hai postato "primo numero complesso = 0", come se si potesse applicare la legge di annullamento del prodotto come con i reali. ti faccio notare che $(a+ib)*(x+iy)=(ax-by)+i(ay+bx)$, per cui
$(a+ib)*(x+iy)=0$ non equivale al sistema ${[a+ib=0],[x+iy=0] :}$ ma a ${[ax-by=0],[ay+bx=0] :}$.
mi scuso se ho interpretato male.
EDIT: come detto poi, è vero che la legge di annullamento del prodotto vale anche nei complessi. chissà, speravo che un'altra strada portasse a più semplice soluzione...
non cancello il messaggio perché invece i calcoli sono utili e mi permettono di dimostrare l'asserto in maniera più tradizionale.
riporto la dimostrazione nel messaggio seguente.
però, ora che ho visto il testo in originale, ho un appunto da fare nella tua impostazione.
tu hai un'equazione del tipo "prodotto di due numeri complessi = 0", e tu hai postato "primo numero complesso = 0", come se si potesse applicare la legge di annullamento del prodotto come con i reali. ti faccio notare che $(a+ib)*(x+iy)=(ax-by)+i(ay+bx)$, per cui
$(a+ib)*(x+iy)=0$ non equivale al sistema ${[a+ib=0],[x+iy=0] :}$ ma a ${[ax-by=0],[ay+bx=0] :}$.
mi scuso se ho interpretato male.
EDIT: come detto poi, è vero che la legge di annullamento del prodotto vale anche nei complessi. chissà, speravo che un'altra strada portasse a più semplice soluzione...
non cancello il messaggio perché invece i calcoli sono utili e mi permettono di dimostrare l'asserto in maniera più tradizionale.
riporto la dimostrazione nel messaggio seguente.
La proprietà moltiplicativa fra due complessi mi torna... Però non capisco una cosa...
$(a+ib)⋅(x+iy)$
Se $(a+ib)=0$
$0⋅(x+iy)=0$
Mi sembrava una forma sempre valida... Prometto domani di rileggere la teoria dei numeri complessi, perchè non ricordo... Aggiungo che in matematica sono una mezza s**a, quindi quel dividere in 2 il prodotto mi è stato consigliato e mi sono fidato...
EDIT:Ho appena controllato su Wolfram Alpha,con $0*(x+iy)$ ,anche lui fa il mio errore...
$(a+ib)⋅(x+iy)$
Se $(a+ib)=0$
$0⋅(x+iy)=0$
Mi sembrava una forma sempre valida... Prometto domani di rileggere la teoria dei numeri complessi, perchè non ricordo... Aggiungo che in matematica sono una mezza s**a, quindi quel dividere in 2 il prodotto mi è stato consigliato e mi sono fidato...
EDIT:Ho appena controllato su Wolfram Alpha,con $0*(x+iy)$ ,anche lui fa il mio errore...
certo, però la legge di annullamento del prodotto è l'implicazione inversa:
se di due numeri complessi almeno uno è zero, il prodotto è zero, però non è altrettanto scontato il viceversa.
$(a+ib)*(x+iy)=(ax-by)+i(ay+bx)$, per cui
$(a+ib)*(x+iy)=0$ equivale al sistema ${[ax-by=0],[ay+bx=0] :}$.
se $a=0$ allora $by=0^^bx=0$. se $b=0$ allora il primo fattore è zero, altrimenti $y=0^^x=0$, cioè il secondo fattore è zero.
se $a!=0$, risolvendo rispetto ad $x$ la prima equazione, si ha $x=(by)/a$ e sostituendo nella seconda equazione si ottiene:
$ay+b*(by)/a = 0 -> (a^2+b^2)y=0 -> y=0 -> x=0$, quindi in questo caso il secondo fattore è zero.
spero di essermi fatta perdonare. ciao.
se di due numeri complessi almeno uno è zero, il prodotto è zero, però non è altrettanto scontato il viceversa.
$(a+ib)*(x+iy)=(ax-by)+i(ay+bx)$, per cui
$(a+ib)*(x+iy)=0$ equivale al sistema ${[ax-by=0],[ay+bx=0] :}$.
se $a=0$ allora $by=0^^bx=0$. se $b=0$ allora il primo fattore è zero, altrimenti $y=0^^x=0$, cioè il secondo fattore è zero.
se $a!=0$, risolvendo rispetto ad $x$ la prima equazione, si ha $x=(by)/a$ e sostituendo nella seconda equazione si ottiene:
$ay+b*(by)/a = 0 -> (a^2+b^2)y=0 -> y=0 -> x=0$, quindi in questo caso il secondo fattore è zero.
spero di essermi fatta perdonare. ciao.
Ancora non capisco... Se il prodotto è zero se uno dei due complessi è zero, a me basta risolvere separatamente i due complessi uguagliandoli a zero uno alla volta... Così una volta avrò il primo complesso zero e quindi il prodotto zero, la seconda volta avrò il secondo zero e quindi di nuovo prodotto zero... Le radici della prima equazione e le radici della seconda messe insieme sono l'insieme delle radici che rendono vera l'equazione... E' un errore anche questo??? Perchè a sto punto mi conviene andare al ricevimento del prof...
Avevo scritto una scemenza confondendomi coi vettori isòtropi, nello specifico col vettore [tex]$(1;i)$[/tex] la cui norma è [tex]$0$[/tex]. -_-
[tex]$\mathbb{C}$[/tex] è un campo per cui vale la legge di annullamento del prodotto!
[tex]$\mathbb{C}$[/tex] è un campo per cui vale la legge di annullamento del prodotto!
scusate se mi intrometto, penso si possa fare una considerazione più semplice. ad ogni numero complesso si associa una rappresentazione in coordinate polari, quindi possiamo porre:
$ a+jb = rho_1 e^(j theta_1)
$ x+jy = rho_2 e^(j theta_2)
dunque il prodotto diventa $ rho_1 e^(j theta_1) rho_2 e^(j theta_2) = rho_1 rho_2 e^(j(theta_1 + theta_2)) = 0$, e questa uguaglianza è verificata se e solo se $rho_1$ o $rho_2$ sono nulli.
non mi pare sbagliata la doppia implicazione di mito: se il prodotto si annulla, allora si deve annullare il modulo. ma il modulo $rho_1 rho_2$ si annulla se e solo se si annulla $(a+jb)$ o $(x+jy)$
edit: mi pare che quella sorpresa valga 2
$ a+jb = rho_1 e^(j theta_1)
$ x+jy = rho_2 e^(j theta_2)
dunque il prodotto diventa $ rho_1 e^(j theta_1) rho_2 e^(j theta_2) = rho_1 rho_2 e^(j(theta_1 + theta_2)) = 0$, e questa uguaglianza è verificata se e solo se $rho_1$ o $rho_2$ sono nulli.
non mi pare sbagliata la doppia implicazione di mito: se il prodotto si annulla, allora si deve annullare il modulo. ma il modulo $rho_1 rho_2$ si annulla se e solo se si annulla $(a+jb)$ o $(x+jy)$
edit: mi pare che quella sorpresa valga 2
Io provo a farlo... Ma poi spiegami l'errore parziale che commetto, perchè io non riesco a capirlo...
Applico la formula di prodotto:
[tex](1-i)(1+i)=1*1 +i-i-(i^2)=1 + 1 = 2[/tex]
Inoltre:
[tex]z* \bar z = a^2 + b^2 = 1 + 1 = 2[/tex]
Non capisco la sorpresa
Applico la formula di prodotto:
[tex](1-i)(1+i)=1*1 +i-i-(i^2)=1 + 1 = 2[/tex]
Inoltre:
[tex]z* \bar z = a^2 + b^2 = 1 + 1 = 2[/tex]
Non capisco la sorpresa
no, mi scuso se ho generato confusione. anche l'esempio di j18eos non porta a "zero" ma a $2$.
confesso che vedendo quell'equazione mi è venuto il dubbio, e ricavando le condizioni mi sono convinta che non si potesse applicare la legge di annullamento del prodotto.
in realtà il ragionamento di Mito125 non porta a concludere che si possa applicare ma solo che vale l'implicazione contraria: se un fattore è zero allora il prodotto è zero.
il fatto che se il prodotto è zero allora almeno uno dei due fattori è zero non è tanto banale, ma si può dimostrare, considerando come fatto acquisito che la legge di annullamento del prodotto nel campo dei numeri reali.
ora correggo il messaggio precedente. scusate ancora.
confesso che vedendo quell'equazione mi è venuto il dubbio, e ricavando le condizioni mi sono convinta che non si potesse applicare la legge di annullamento del prodotto.
in realtà il ragionamento di Mito125 non porta a concludere che si possa applicare ma solo che vale l'implicazione contraria: se un fattore è zero allora il prodotto è zero.
il fatto che se il prodotto è zero allora almeno uno dei due fattori è zero non è tanto banale, ma si può dimostrare, considerando come fatto acquisito che la legge di annullamento del prodotto nel campo dei numeri reali.
ora correggo il messaggio precedente. scusate ancora.
Beh la sorpresa è un'altra, oramai spiego il mio errore: [tex]$||(1;i)||_2=\sqrt{1^2+i^2}=\sqrt{1+(-1)}=\hdots=0$[/tex]!
@adaBTTLS: siamo esseri umani
@adaBTTLS: siamo esseri umani
@j18eos
grazie per la comprensione!
certo che, scrivendo una cosa "esatta" che però portava a "false conclusioni", perché poco intuitiva, poteva far "perdere tempo" a cercare controesempi.
invece si può dedurre che l'affermazione non è in contraddizione con quanto affermato da Mito125.
invito comunque chi è interessato a rivedere il messaggio corretto con la dimostrazione.
grazie per la comprensione!
certo che, scrivendo una cosa "esatta" che però portava a "false conclusioni", perché poco intuitiva, poteva far "perdere tempo" a cercare controesempi.
invece si può dedurre che l'affermazione non è in contraddizione con quanto affermato da Mito125.
invito comunque chi è interessato a rivedere il messaggio corretto con la dimostrazione.
Non capisco perchè il prodotto di due numeri complessi debba dare zero se nessuno dei due è zero... Cioè un numero complesso per il suo coniugato non darà mai zero, tranne il caso in cui z=0... Almeno io applico questa forma... Quindi l'esempio di j18eos non l'ho capito 
Con quelle due lineette seguite da un due basso indichi il modulo in campo complesso??? Io non l'ho visto mai...
Io comunque faccio ingegneria, quindi non ci addentriamo mai troppo in profondità nella matematica... Ho dato tantissimi esami senza aver mai dato analisi2... Anche controlli automatici che tratta proprio i complessi... Io non sono portato per la matematica...
Ritornando al quesito che mi lascia perplesso... Quell'equazione è risolvibile??? Quella [tex]R[/tex] può significare altro rispetto alla mia ipotesi che sia solo [tex]Re(z)[/tex] scritto abbreviato?
Con quelle due lineette seguite da un due basso indichi il modulo in campo complesso??? Io non l'ho visto mai...
Io comunque faccio ingegneria, quindi non ci addentriamo mai troppo in profondità nella matematica... Ho dato tantissimi esami senza aver mai dato analisi2... Anche controlli automatici che tratta proprio i complessi... Io non sono portato per la matematica...
Ritornando al quesito che mi lascia perplesso... Quell'equazione è risolvibile??? Quella [tex]R[/tex] può significare altro rispetto alla mia ipotesi che sia solo [tex]Re(z)[/tex] scritto abbreviato?
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