Dubbi sul codominio
Buongiorno per determinare l'immagime di una funzione esponenziale della quale il grafico non si traccia in maniera immediata si applica un metodo analitico?
Per esempio $y=2xe^(1/x)$ ha come immagine ]-infinito;0[ U ]2e;+infinito[ secondo il docente ma non capisco da dpve abbia preso $2e$. Il mio dubbio è: per trovare l'immagine (dopo lo studio di funzione) è sufficiente calcolare i limiti a più o meno infinito?
Grazie mille
Per esempio $y=2xe^(1/x)$ ha come immagine ]-infinito;0[ U ]2e;+infinito[ secondo il docente ma non capisco da dpve abbia preso $2e$. Il mio dubbio è: per trovare l'immagine (dopo lo studio di funzione) è sufficiente calcolare i limiti a più o meno infinito?
Grazie mille
Risposte
Il teorema dei valori intermedi... 
Perché? Se fai il limite a \(\pm\infty\) ricavi l'andamento della funzione solo agl'infiniti: è come pretendere di sapere l'intero comportamento della funzione guardandone solamente una piccola porzione.
(Peraltro:\[\lim_{x\to\pm\infty}2xe^\frac{1}{x}=\pm\infty\]per cui non ottieni informazioni né sullo \(0\) né sul \(2e\).)
(Peraltro:\[\lim_{x\to\pm\infty}2xe^\frac{1}{x}=\pm\infty\]per cui non ottieni informazioni né sullo \(0\) né sul \(2e\).)
"Magma":
Il teorema dei valori intermedi...
Questo teorema non l'abbiamo mai trattato nel corso c'è un altro modo?
Grazie mille
"seb":
Perché? Se fai il limite a \(\pm\infty\) ricavi l'andamento della funzione solo agl'infiniti: è come pretendere di sapere l'intero comportamento della funzione guardandone solamente una piccola porzione.
(Peraltro:\[\lim_{x\to\pm\infty}2xe^\frac{1}{x}=\pm\infty\]per cui non ottieni informazioni né sullo \(0\) né sul \(2e\).)
Quindi come si fa? Grazie infinite
Ti basta fare una piccola parte dello studio di funzione: il segno di \(f(x)=2xe^\frac{1}{x}\) è determinato dal termine \(x\) poiché \(e^\frac{1}{x}>0,\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Allora, per \(x<0\), \(f\) è sempre negativa e \(\lim_{x\to0^-}f(x)=0^-\). Per \(x>0\), \(f\) è sempre positiva e, inoltre, \(f'(x)=2e^\frac{1}{x}\left(1-\frac{1}{x}\right)>0\implies x>1\). Perciò \(x=1\) è un punto di minimo per \(f\). Quindi, se \(x\) è negativa, l'immagine di \(f\) va da \(-\infty\) a \(0\) (escluso), mentre se \(x\) è positiva l'immagine di \(f\) va da \(f(1)=2e\) (incluso!) a \(+\infty\).
Quindi mi devo chiedere quando la z ènegativa che succede alla y nel suo dominio?
per trovare il minimo è necessario fare il limite per x che tende a $0+$?
Grazie mille
per trovare il minimo è necessario fare il limite per x che tende a $0+$?
Grazie mille
"scuola1234":Cosa intendi?
Quindi mi devo chiedere quando la z ènegativa che succede alla y nel suo dominio?
"scuola1234":Ho modificato. Cercavo di dare un'idea migliore dell'andamento della funzione, ma faceva solamente confusione.
per trovare il minimo è necessario fare il limite per x che tende a $0+$?
No ho sbagliato volevo dire $x$ non $z$; intendevo per capire quale sia l'immagine mi devo chiedere che cosa succede sulle ordinate in corrispondenza della negatività o positività della $x$... giusto?
non so come spiegarmi scusatemi ma questo calcolo dell'immagine di manda in confusione. (Ho anche difficolta a capire quando un minimo è relativo oppure assoluto...)grazie mille
non so come spiegarmi scusatemi ma questo calcolo dell'immagine di manda in confusione. (Ho anche difficolta a capire quando un minimo è relativo oppure assoluto...)grazie mille
"scuola1234":No, in generale no: il fatto che le \(x\) siano positive o negative non centra nulla. Tuttavia \(\mathbb{R}\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)\). Il mio era uno studio di funzione per determinare l'immagine. Forse è non sapere cos'è l'immagine di una funzione che ti "manda i confusione". Prova a dare una letta.
intendevo per capire quale sia l'immagine mi devo chiedere che cosa succede sulle ordinate in corrispondenza della negatività o positività della $x$... giusto?
Ho letto che sono tutte le ordinate corrispondenti alle ascisse di Dominio (f) mediante f,mi sa che è inutile che mi imparo a memoria le nozioni....che vuol dire questa frase? Io pensavo che l'immagine comprendesse le y corrispondenti al dominio però non ho capito potrebbe chiarirmi le idee per favore?grazie mille
"scuola1234":Questo è giusto: non ha molto senso impararsi le nozioni a memoria, ha senso capirle. Ciò non toglie che, data una nozione, dev'esserci lo sforzo per capirla. Vediamo ad ogni modo di dare una definizione e pure di intenderla.
è inutile che mi imparo a memoria le nozioni
Sia \(f:X\to Y\) una funzione che a ciascun elemento \(x\) del dominio \(X\) associa, tramite la legge \(x\mapsto f(x)\), uno e un solo elemento \(y\) del codominio \(Y\). Va detto che i due insiemi vanno scelti a priori, ma se non è specificato solitamente si intende che tali insiemi siano i più grandi ammissibili. Ciò significa che, per una funzione \(f\) qualsiasi, se non vengono definiti dominio e codominio, si assume \(f:dom(f)\to f(dom(f))\), dove con \(dom(f)\) s'è indicato il dominio di esistenza di \(f\) oppure un suo qualunque sottoinsieme. Preso un punto \(x_0\), si dice che \(y_0=f(x_0)\) è immagine di \(x_0\) tramite \(f\). Allora \(f(dom(f))\) rappresenta proprio il concetto di immagine che stiamo cercando di definire e cioè: l'immagine di \(f\) è l'insieme di tutti gli elementi \(y\) che sono immagine di almeno un elemento \(x\in dom(f)\). Perciò, quando stai cercando l'immagine di una funzione, ti stai domandando quale sia l'insieme che contiene tutti gli elementi che sono immagine del suo dominio (inteso come sopra). Facendo qualche esempio che eventualmente possa essere chiarificatore:
[*:29nl0jpy]\(f(x)=x\):
il dominio d'esistenza di \(f\) è tutto \(\mathbb{R}\) e a ciascun elemento \(x\in\mathbb{R}\) corrisponde un ugual elemento \(y=f(x)=x\in\mathbb{R}\) e perciò, dato che il dominio è tutto \(\mathbb{R}\), lo sarà pure l'immagine di \(f\): \(f(dom(f))=f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\);[/*:m:29nl0jpy]
[*:29nl0jpy]sia data la medesima legge \(f(x)=x\), ma definita secondo \(f:I\to\mathbb{R}\) con \(I=(0,1)\):
tutti gli elementi \(x\in(0,1)\) generano sempre l'analogo \(y=x\); allora, \(y\in(0,1)\) che è equivalente a \(f(I)=(0,1)\), immagine di \(f\);[/*:m:29nl0jpy]
[*:29nl0jpy]\(f(x)=\sin{x}\):
il dominio d'esistenza è ancora tutto \(\mathbb{R}\), ma \(|\sin{x}|\leqslant1\), cioè i valori del seno stanno (oscillano) tra \(-1\) e \(1\). Dunque: \(f(\mathbb{R})=[-1,1]\).[/*:m:29nl0jpy][/list:u:29nl0jpy]È chiaro ora perché il titolo che hai messo è inesatto? E come svolgere l'esercizio?
Grazie mille vediamo se ho capito qualcosa con degli esempi
$y=x^2$
Dominio: $R$
Immagine:(-infinito; 0;0;+infinito) però io di questo me ne accorgo graficamente non con una procedura
Nell'esempio di prima:
dominio ]-infinito;0[ u ]0;+infinito[
Quindi vado a sostituire questi valori nella funzione:
]-infinito;0[;poi sapendo che ho un punto di minimo lo vado a sostituire nella funzione ho [2e; +infinito[in pratica devo calcolare i limiti? Grazie mille
$y=x^2$
Dominio: $R$
Immagine:(-infinito; 0;0;+infinito) però io di questo me ne accorgo graficamente non con una procedura
Nell'esempio di prima:
dominio ]-infinito;0[ u ]0;+infinito[
Quindi vado a sostituire questi valori nella funzione:
]-infinito;0[;poi sapendo che ho un punto di minimo lo vado a sostituire nella funzione ho [2e; +infinito[in pratica devo calcolare i limiti? Grazie mille
Non ci siamo. Devi prestare più attenzione a quel che è stato scritto. Tu stai cercando di vedere qual è l'insieme che contiene tutte le \(y\) che corrispondono a qualche \(x\). Ma \(y=x^2\geqslant0\) dal momento che una quantità elevata al quadrato è sempre non negativa. Allora, mentre \(x\in\mathbb{R}\), \(y\in[0,+\infty)\). Quest'ultimo insieme è dunque l'immagine della funzione.
Infatti che pazza come ho fatto a scirvere -infinito!? per esempio l'immagine di $e^x$ è [1;+infinito)?grazie mille scusi
Vi ringrazio per l'aiuto
Vi ringrazio per l'aiuto
"scuola1234":No: riprova. A \(-\infty\) che valore assume?
l'immagine di $e^x$ è [1;+infinito)?
1/e^infinito fa zero?
Allora ho appena letto che si può fare così non so se sia giusto:
1) trovo il dominio di y=f(x)
2) trovo l'inversa di y e trovo la x
3)il dominio di quest'ultima da' l'immagine
Vi ringrazio per l'aiuto
1) trovo il dominio di y=f(x)
2) trovo l'inversa di y e trovo la x
3)il dominio di quest'ultima da' l'immagine
Vi ringrazio per l'aiuto
"scuola1234":Sì, può andar bene, ma per essere fatto correttamente dovresti prima verificare che la funzione sia biiettiva (e quindi iniettiva e suriettiva) e se non lo fosse spezzare il dominio in maniera tale che lo sia: questo significa frammentare e quindi ampliare lo studio dell'immagine. In secondo luogo, dopo uno studio di funzione, questo metodo è superfluo e inefficiente. Infine, non è affatto detto che tu riesca a determinare tale inversa. Prendi a titolo d'esempio proprio la funzione che hai proposto inizialmente \(y=2xe^\frac{1}{x}\): qual è la sua inversa?
Allora ho appena letto che si può fare così non so se sia giusto:
1) trovo il dominio di y=f(x)
2) trovo l'inversa di y e trovo la x
3)il dominio di quest'ultima da' l'immagine
Sì infatti sarebbe complicato calcolarla...ho troppe lacune
"seb":
È chiaro ora perché il titolo che hai messo è inesatto?
Questo è dovuto, secondo me, al fatto che alcuni professori impostano il corso considerando tutte le funzioni surgettive.
A tal proposito, il professore di Algebra Lineare diceva sempre che per capire in fondo le cose bisogna saperle negare!
Allora Siano $A, B$ sottospazi vettoriali, $a in A, b in B$.
Sia $f: A->B$ tale che $b=f(a)$,
Sia $f: A->B$ tale che $b=f(a)$,
La definizione di surgettiva è
$AA b in B$ $[EE a in A : f(a)=b]$
La cui negazione è (cioè $f$ non è surgettiva se)
$EE b in B$ $[AA a in A \text{ si ha } f(a)neb]$
equivalentemente, $f$ non è surgettiva se $EE bin B$ che non è immagine[nota]$a mapsto f(a)$, $f(a)$ si dice immagine di $a$ tramite $f$[/nota] di nessun elemento.
Spero sia più chiaro così.
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