Dubbi sul calcolo dei limiti
Ragazzi sto iniziando a calcolare alcuni limiti, ma trovo problemi che non riesco a risolvere con al teoria.
Il primo riguarda questo limite:
$lim_(x->1)(sen(1-x^2))/(1-x)$
C'è un limite notevole sul seno, ovvero seno di funzione fratto funzione da 1. Ma la x deve tendere a 0, qui tende a 1. Come posso risolverlo?
Il primo riguarda questo limite:
$lim_(x->1)(sen(1-x^2))/(1-x)$
C'è un limite notevole sul seno, ovvero seno di funzione fratto funzione da 1. Ma la x deve tendere a 0, qui tende a 1. Come posso risolverlo?
Risposte
il limite notevole cui devi fare riferimento in questo caso è
\begin{align*}
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1
\end{align*}
quindi , prova a scrivere il tuo limite cosi
\begin{align*}
\lim_{x\to 1}\frac{\sin (1-x^2)}{1-x}\cdot\frac{1+x}{1+x}=\lim_{x\to 1}\frac{\sin (1-x^2)}{(1-x^2)}\cdot( 1+x) ...
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1
\end{align*}
quindi , prova a scrivere il tuo limite cosi
\begin{align*}
\lim_{x\to 1}\frac{\sin (1-x^2)}{1-x}\cdot\frac{1+x}{1+x}=\lim_{x\to 1}\frac{\sin (1-x^2)}{(1-x^2)}\cdot( 1+x) ...
\end{align*}
Io l'ho provato già a fare con quel limite e viene 2. Ma il libro porta come risultato 3/2.
Ho controllato anche su Wolfram Alpha e viene 2.
A 'sto punto direi che il libro ha sbagliato..
Ho controllato anche su Wolfram Alpha e viene 2.
A 'sto punto direi che il libro ha sbagliato..
penso proprio di si
Ma vedi un pò se devo perder mezz'ora perchè il testo è sbagliato 
Potreste controllare se è esatto il procedimento di questo limite?
Testo:
$lim_(x->+oo)(x^2 tg(1/x^2))$
Ho moltiplicato e diviso per $1/x^2$, poichè ho utilizzato il limite:
$lim_(x->0)(tg f(x))/f(x) = 1$
e viene:
$lim_(x->+oo)(x^2 (1/x^2)) = 1$
Potreste controllare se è esatto il procedimento di questo limite?
Testo:
$lim_(x->+oo)(x^2 tg(1/x^2))$
Ho moltiplicato e diviso per $1/x^2$, poichè ho utilizzato il limite:
$lim_(x->0)(tg f(x))/f(x) = 1$
e viene:
$lim_(x->+oo)(x^2 (1/x^2)) = 1$
si è ok, bastava osservare che
\begin{align*} \lim_{x\to +\infty}x^2\tan\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\tan\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=1 \end{align*}
\begin{align*} \lim_{x\to +\infty}x^2\tan\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\tan\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=1 \end{align*}
"Mr.Mazzarr":
Ho moltiplicato e diviso per $1/x^2$, poichè ho utilizzato il limite:
$lim_(x->0)(tg f(x))/f(x) = 1$
Che è falso.
Ad esempio:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\tan (x+\pi/4)}{x+\pi/4} = \frac{4\sqrt{2}}{\pi}\neq 1\; \ldots
\]
Qual è il problema?
E' falso quel limite notevole? Il perchè non lo so sinceramente.
Ho un limite:
$lim_(x->0)(1 - cos^3(x))/(x tgx)$
L'ho scoposto in:
$lim_(x->0)(1 - cos^3(x))/1 1/(x tgx)$
per usare il limite notevole
$lim_(x->0)(cosf(x))/f(x)^2 = 1/2$
Ora, il coseno nel mio caso è alla terza. Nell'applicazione del limite notevole io, di norma, moltiplicherei e dividerei per $x^2$. Devo farlo anche qui, no? Poi rimarrebbe:
$lim_(x->0)(1/2 (x^2)/(x tgx))$
E' tutto giusto?
Ho un limite:
$lim_(x->0)(1 - cos^3(x))/(x tgx)$
L'ho scoposto in:
$lim_(x->0)(1 - cos^3(x))/1 1/(x tgx)$
per usare il limite notevole
$lim_(x->0)(cosf(x))/f(x)^2 = 1/2$
Ora, il coseno nel mio caso è alla terza. Nell'applicazione del limite notevole io, di norma, moltiplicherei e dividerei per $x^2$. Devo farlo anche qui, no? Poi rimarrebbe:
$lim_(x->0)(1/2 (x^2)/(x tgx))$
E' tutto giusto?
Che poi, proseguendo i calcoli..
$lim_(x->0)(x)/(2tgx)$
Elevo tutto a -1, e sostituisco $(tgx)/x$ con 1. Mi viene, quindi, $1/2$.
Solo che il libro porta risultato $3$, Wolfram Alpha $3/2$
$lim_(x->0)(x)/(2tgx)$
Elevo tutto a -1, e sostituisco $(tgx)/x$ con 1. Mi viene, quindi, $1/2$.
Solo che il libro porta risultato $3$, Wolfram Alpha $3/2$
"Mr.Mazzarr":
E' falso quel limite notevole? Il perchè non lo so sinceramente.
Non è falso il limite notevole... Semplicemente perché quello che hai scritto non è un limite notevole.
"Mr.Mazzarr":
per usare il limite notevole
$lim_(x->0)(1-cosf(x))/f(x)^2 = 1/2$ [ho corretto il testo, che evidentemente avevi sbagliato dimenticando un \(1-\), Gugo]
Questo non è affatto un limite notevole.
Ed è falso anche questo: infatti:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos (2\pi -x)}{(2\pi -x)^2} =0\ \ldots
\]
Questa è una forma indeterminata 0/0 puoi risolvere con la regola di de Hopital applicando la derivata sia sopra che sotto.
La derivata di $sen(x)$ è $cos(x)$, la derivata di $1-x$ è $-1$, la derivata di $1-x^2$ è $-2x$, quindi
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \frac{sen(1-x^2)}{1-x}\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \frac{-2x \cdot cos(1-x^2)}{-1}\)
Applicando il limite ottieni:
\(\displaystyle \frac{-2 \cdot 1 \cdot cos(1-1^2)}{-1}\)
\(\displaystyle \frac{-2 \cdot cos(0)}{-1}\)
\(\displaystyle \frac{-2 \cdot 1}{-1}=2\)
La derivata di $sen(x)$ è $cos(x)$, la derivata di $1-x$ è $-1$, la derivata di $1-x^2$ è $-2x$, quindi
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \frac{sen(1-x^2)}{1-x}\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \frac{-2x \cdot cos(1-x^2)}{-1}\)
Applicando il limite ottieni:
\(\displaystyle \frac{-2 \cdot 1 \cdot cos(1-1^2)}{-1}\)
\(\displaystyle \frac{-2 \cdot cos(0)}{-1}\)
\(\displaystyle \frac{-2 \cdot 1}{-1}=2\)
"gugo82":
Non è falso il limite notevole... Semplicemente perché quello che hai scritto non è un limite notevole.
Questo non è affatto un limite notevole.
Ed è falso anche questo: infatti:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos (2\pi -x)}{(2\pi -x)^2} =0\ \ldots
\]
Mi stai mandando un po' in difficoltà
Io uso questa tabella di limiti notevoli, dove porta che se $f(x)^2$ tende a zero allora quel limite vale $1/2$.
Comunque giusto una domanda..
Se il mio esercizio è un limite con $x -> +oo$, io non posso usare dei limiti notevoli di $x -> 0$, giusto? Oppure c'è una regola di scomposizione che mi permette di cambiare la tendenza della x ?
"Mr.Mazzarr":
Mi stai mandando un po' in difficoltà
Io uso questa tabella di limiti notevoli, dove porta che se $f(x)^2$ tende a zero allora quel limite vale $1/2$.
Comunque giusto una domanda..
Se il mio esercizio è un limite con $x -> +oo$, io non posso usare dei limiti notevoli di $x -> 0$, giusto? Oppure c'è una regola di scomposizione che mi permette di cambiare la tendenza della x ?
si ma dice anche, quella tabella, che $ f^2(x)\to 0,$ e $x$ può tendere a ciò che vuole, purchè
risulti che $f(x)$ tende a $0,$ e l'esempio di gugo82 è esemplificativo in tal senso ...
Ciò vuol dire che ogni volta che devo applicare un limite notevole devo prima controllare che $x$ e $f(x)$ tendano rispettivamente a qualsiasi cosa e $0$ ?
"Mr.Mazzarr":
Ciò vuol dire che ogni volta che devo applicare un limite notevole devo prima controllare che $x$ e $f(x)$ tendano rispettivamente a qualsiasi cosa e $0$ ?
allora, ad esempio, il limite notevole seguente
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}
\end{align*}
ti dice che quanto $x\to 0$ a numeratore hai che $1-\cos x\to0$ e a denominatore hai che $x\to0$ e allora in tale ipotesi, illimite vale $1/2$
ma ad esempio, prendendo il limite di gugo82, hai che
\begin{align*}
\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos (2\pi -x)}{(2\pi -x)^2}
\end{align*}
e in questo caso hai che quando $x\to0$ a numeratore hai che $1-\cos (2\pi -x)\to0$ mentre a denominatore hai $(2\pi -x)^2\to(2\pi)^2$
e dunque
\begin{align*}
\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos (2\pi -x)}{(2\pi -x)^2} =\frac{0}{(2\pi)^2} =0
\end{align*}
come vedi, il fatto che a denominatore non tenda a zero non ti permette di applicare il limite notevole; quindi la condizione $f(x)\to0$ è fondamentale per poterlo applicare. Prova a fare questo
\begin{align*}
\lim_{x\to +\infty}{\frac{\ln{\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}}{\frac{3}{x^{2}}}}
\end{align*}
Se mi trovassi in una situazione in cui la $f(x)$ a denominatore va a zero, posso andare a scomporre e far si che io possa '' ricreare '' le condizioni dell'utilizzo di un limite notevole ?
si ma dipende ... da caso a caso ...prova a fare l'esempio che ti ho postato
Il denominatore tende a 0, il numeratore è logaritmo di 1 quindi tende a 0 anch'esso.
Forma 0 su 0.
Forma 0 su 0.
ok e quindi?
Dovrei usare De L'Hopital?
Senò se dovessi usare dei limiti notevoli potrei trasformarlo in prodotto tra limiti:
$lim_(x->+oo)In(1+1/x^2)$ $*$ $lim_(x->+oo)(1)/(3/x^2)$
Poi non so..
Ho il libro davanti e non trovo limiti applicabili al logaritmo in base 10.
Senò se dovessi usare dei limiti notevoli potrei trasformarlo in prodotto tra limiti:
$lim_(x->+oo)In(1+1/x^2)$ $*$ $lim_(x->+oo)(1)/(3/x^2)$
Poi non so..
Ho il libro davanti e non trovo limiti applicabili al logaritmo in base 10.
a parte il fatto che non ho capito quale sia il problema con la base dei logaritmi, $\ln x$ è il logaritmo naturale, cioè in base $e$, solo che al posto di scrivere $\log_e x$ si scrive $\ln x$ e la scrittura $\log x$ solitamenteindica il logaritmo in base $10;$
comunque, a parte questo, ti ho postato un esempio per applicare i limiti notevoli, ponendo $1/x^2=t$ nel limite hai che , quando $x\to+\infty,t\to 0$ e il limite diviene:
\begin{align*}
\lim_{t\to 0}{\frac{\ln{\left(1+t\right)}}{3t}}=\frac{1}{3}\cdot\lim_{t\to 0}{\frac{\ln{\left(1+t\right)}}{ t}}
\end{align*}
ora dovresti concludere...
comunque, a parte questo, ti ho postato un esempio per applicare i limiti notevoli, ponendo $1/x^2=t$ nel limite hai che , quando $x\to+\infty,t\to 0$ e il limite diviene:
\begin{align*}
\lim_{t\to 0}{\frac{\ln{\left(1+t\right)}}{3t}}=\frac{1}{3}\cdot\lim_{t\to 0}{\frac{\ln{\left(1+t\right)}}{ t}}
\end{align*}
ora dovresti concludere...
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