[Distribuzioni] Cosa sono le funzioni test

[rocco.g1]

Non riesco a capire come si comporta la funzione test di cui tanto si parla nelle distribuzioni.
Ho capito la teoria, ma non capisco poi come utilizzare la definizione negli esercizi.

Ad esempio:

Data $f =(2x^2 + x + |x|)/(2x)$ dimostrare che $T_f' = 1 + \delta(x)$

Ora, se derivo direttamente, mi faccio il grafico ed aggiungo la discontinuità, ottengo il risultato che viene richiesto, però se ricorro alla teoria e provo a dimostrare il risultato attraverso la definizione non riesco a ricavarne niente:

$<[(2x^2 + x + |x|)/(2x)]^{\prime}, \delta(x)> = - <(2x^2 + x + |x|)/(2x), \delta(x)'> = - int_{-infty}^{+infty} ((2x^2 + x + |x|)/(2x))\delta(x)'dx$

Poi divido l'integrale per mettere in evidenza il caso in cui x = 0 e quindi in cui si ha la discontinuità:

$- int_{-infty}^{0} x\delta(x)'dx - int_{0}^{+infty} (x+1)\delta(x)'dx$

A questo punto faccio per parti:

$-[x\delta(x)]_{-infty}^{0} + int_{-infty}^{0} \delta(x)dx - [(x+1)\delta(x)]_{0}^{+infty} + int_{0}^{+infty} (1)\delta(x)dx$

Ma poi a questo punto che faccio? Qual è il significato dell'integrale di una funzione di test?
Io proprio non ho capito come si effettuano le operazioni con le funzioni test, cioè se faccio il limite ad infinito di $\delta(x)$ che cosa ottengo?

[ViciousGoblin]

Mmmh - immagino che con $T_f$ tu intenda la distribuzione associata alla funzione localmente integrabile $f$, cioe'
$< T_f, \phi > := \int_{RR}f(x)\phi(x) dx$ per ogni test $\phi$

Allora se vuoi dimostrare $(T_f)'=1+\delta$ (attenzione NON $T_{f'}=1+\delta$) devi moltiplicate entrambi i membri per un test generico $\phi$:
$<(T_f)',\phi> = <1+\delta,\phi>$ sse
$- = <1,\phi>+<\delta,\phi> sse
$-\int_RR f(x)\phi'(x)=\int_RR\phi(x) dx +\phi(0)$ sse
$-\int_RR (x+1/2 + |x|/(2x) )\phi'(x)=\int_RR\phi(x) dx +\phi(0)$ sse
$\int_RR(x+1/2)' \phi(x) dx +(1/2)\int_{-\infty}^0\phi'(x)-(1/2)\int_=^{+\infty}\phi'(x)=\int_RR\phi(x) dx +\phi(0)$ sse
$\int_RR\phi(x) dx +(1/2)\phi(0)+(1/2)\phi(0)=\int_RR\phi(x) dx +\phi(0)$ che e' vera

[rocco.g1]

Si ma cosa sarebbe $\delta$ ?
So che è una generica funzione di test, ma nella pratica che sarebbe?

E poi se io non volessi includere il risultato nel calcolo come dovrei fare?

Se volessi calcolare $T_f'$ usando la teoria delle distribuzioni, come dovrei fare?
Non capisco perchè si usi quel delta e poi perchè all'improvviso scompare...

[ViciousGoblin]

$\delta$ NON e' un test - $\delta$ e' la distribuzione (di Dirac) definita da
$< \delta,\phi > = \phi(0)$ per ogni test $\phi$

[gugo82]

Il problema è che $delta$ non è affatto una funzione test... ma una distribuzione!

Si chiamano funzioni test le funzioni della classe $C_c^oo(RR^n)$; le distribuzioni altro non sono che funzionali lineari sullo spazio $C_c^oo(RR^n)$ che risultano continui in un'appropriata topologia su $C_c^oo(RR^n)$.

[rocco.g1]

emh, scusate, al posto di scrivere $\phi$ ho scritto $\delta$

So bene che la delta è la funzione di Dirac, io mi riferivo, però, alle funzioni di test, che sul mio libro sono indicate come $\phi$.
Non capisco come usarle nella pratica..

[rocco.g1]

Mi sono accorto che anche nei calcoli che ho postato al primo messaggio ho sbagliato ed ho inserito la delta di dirac quando invece volevo inserire la funzione di test, $\phi$.

Ad ogni modo, non capisco che farmene di queste funzioni, cioè, nella definizione:
$$ ho visto che si scarica la funzione di derivata sul termine $\phi$ e poi si eseguono dei calcoli, ma perchè? Che cosa comporta questo?

Sono parecchio confuso perchè sul mio libro c'è solo la teoria e la definizione, ma non ci sono esercizi e non sto capendo niente...
Qualcuno mi saprebbe mostrare degli esempi pratici in modo che capisca come funziona?

[ViciousGoblin]

"rocco.g":Mi sono accorto che anche nei calcoli che ho postato al primo messaggio ho sbagliato ed ho inserito la delta di dirac quando invece volevo inserire la funzione di test, $\phi$.

Ad ogni modo, non capisco che farmene di queste funzioni, cioè, nella definizione:
$$ ho visto che si scarica la funzione di derivata sul termine $\phi$ e poi si eseguono dei calcoli, ma perchè? Che cosa comporta questo?

Sono parecchio confuso perchè sul mio libro c'è solo la teoria e la definizione, ma non ci sono esercizi e non sto capendo niente...
Qualcuno mi saprebbe mostrare degli esempi pratici in modo che capisca come funziona?

Il punto e' che conoscere una distribuzione $u$ significa conoscere quanto fa $< u , \phi >$ per ogni test $\phi$;
mi pare che jl mio post precedente fornisse un esempio concreto . esaminalo un po' e dicci che ne pensi

[rocco.g1]

"ViciousGoblin":Mmmh - immagino che con $T_f$ tu intenda la distribuzione associata alla funzione localmente integrabile $f$, cioe'
$< T_f, \phi > := \int_{RR}f(x)\phi(x) dx$ per ogni test $\phi$

Allora se vuoi dimostrare $(T_f)'=1+\delta$ (attenzione NON $T_{f'}=1+\delta$) devi moltiplicate entrambi i membri per un test generico $\phi$:
$<(T_f)',\phi> = <1+\delta,\phi>$ sse
$- = <1,\phi>+<\delta,\phi> sse
$-\int_RR f(x)\phi'(x)=\int_RR\phi(x) dx +\phi(0)$ sse
$-\int_RR (x+1/2 + |x|/(2x) )\phi'(x)=\int_RR\phi(x) dx +\phi(0)$ sse
$\int_RR(x+1/2)' \phi(x) dx +(1/2)\int_{-\infty}^0\phi'(x)-(1/2)\int_=^{+\infty}\phi'(x)=\int_RR\phi(x) dx +\phi(0)$ sse
$\int_RR\phi(x) dx +(1/2)\phi(0)+(1/2)\phi(0)=\int_RR\phi(x) dx +\phi(0)$ che e' vera

Mhh, più o meno ho capito, ma mi rimangono ancora dei dubbi. Era più o meno quello che avevo in mente di fare, ma non sapevo come scriverlo e soprattutto lo stavo facendo in modo meccanico, ma non è che abbia capito il perchè...

Ma cosa succede quando $\phi$ viene considerata all'infinito come nell'integrale? Perchè uno degli estremi dell'integrale va all'infinito... mi pare che le funzioni test siano zero da un certo punto in poi, giusto?

Per fare un altro esempio, si dice di calcolare

$
quando $\phi^{\prime}(2) = -2$

ho visto che si scarica prima la derivata prima e poi la seconda su $\phi$ e si porta la funzione seno al secondo membro, ma non ne capisco il senso...

[gugo82]

Sì, ogni funzione test è nulla fuori da un compatto: in altre parole, per ogni test $phi$ esistono $a
Riprendo un tuo esempio: posto $f(x)=x^2$, calcolare la derivata di $f$ nel senso delle distribuzioni.
Diciamo $F$ la distribuzione regolare associata ad $f$, ossia quella definita da $\langleF,phi\rangle :=\int_(-oo)^(+oo)x^2*phi(x)" d"x$: la derivata distribuzionale di $f$ è, per definizione, la derivata della distribuzione $F$. Bisogna quindi calcolare $F'$, la quale è definita dalla uguaglianza che segue:

(*) $\quad \langle F',phi \rangle :=-\langle F,phi'\rangle$.

Calcoliamo esplicitamente il secondo membro: abbiamo:

$\langle F,phi'\rangle :=\int_(-oo)^(+oo) x^2*phi'(x)" d"x=[2x*phi(x)]_(-oo)^(+oo)-\int_(-oo)^(+oo)2x*phi(x)" d"x=-\int_(-oo)^(+oo)2x*phi(x)" d"x$

cosicché, sostituendo l'ultimo membro al secondo membro di (*) troviamo la legge d'assegnazione che definisce $F'$, ossia:

(**) $\quad \langle F',phi\rangle :=\int_(-oo)^(+oo)2x*phi(x)" d"x$.

Esaminiamo il secondo membro di (**): esso ci dice che $F'$ è una distribuzione regolare e che essa è individuata dalla funzione $2x$ la quale, incidentalmente, è proprio la derivata di $f$ nel senso usuale.
Ne consegue che la derivata nel senso delle distribuzioni di $f(x)=x^2$ è la distribuzione regolare individuata dalla derivata usuale di $f$, ossia da $f'(x)=2x$.
Questo fatto non è casuale; anzi, ripetendo parola per parola il ragionamento precedente si riesce a provare che:

Se $f\in C^1(RR)$, allora la derivata prima di $f$ nel senso delle distribuzioni è la distribuzione regolare individuata da $f'$.

Da questo risultato, per induzione ricavi che se $f\in C^n(RR)$ allora la derivata d'ordine $k$ ($\in\{1,\ldots ,n\}$) di $f$ nel senso delle distribuzioni coincide con la distribuzione regolare individuata dalla derivata $k$-esima usuale $f^((k))$.

[rocco.g1]

Ti ringrazio, l'esempio mi è stato molto utile. Soprattutto per quanto riguarda il risultato della funzione di test all'infinito.

Ma se io avessi, ad esempio, qualcosa del tipo:

$$

e mi venisse chiesto di calcolare nel senso delle distribuzioni, come dovrei fare? In questo caso devo considerare come funzione di test $x^2$ ?
Dovrei sostituire alla variabile x del seno il valore 6 e poi scriverla al secondo membro?

[ViciousGoblin]

"rocco.g":Ti ringrazio, l'esempio mi è stato molto utile. Soprattutto per quanto riguarda il risultato della funzione di test all'infinito.

Ma se io avessi, ad esempio, qualcosa del tipo:

$$

e mi venisse chiesto di calcolare nel senso delle distribuzioni, come dovrei fare? In questo caso devo considerare come funzione di test $x^2$ ?
Dovrei sostituire alla variabile x del seno il valore 6 e poi scriverla al secondo membro?

Beh la notazione $< u,\phi > $ prevede che $u$ sia la distribuzione e $\phi$ il test (NON e' simmetrica).
L'esempio che fai tu e' un po' piu' "avanzato" dei precedenti in quanto $x^2$ non e' un test "buono" . Pero' dato che la $\delta$ e' a supporto compatto
puoi in realta' considerare i test in $C^\infty$ (vedi l'altro post "Integrale nel senso delle distribuzioni") e fare
$< sin(x)\delta_6 x^2>$ = (definizione di prodotto) $<\delta_6, sin(x)(x-2) x^2>$= (definizione di translazione nelle $x$ )=
$<\delta, sin(x+6)(x+6-2)(x+6)^2>$ = (definizione di $\delta$ ) $[sin(x+6)(x+6-2)(x+6)^2]_{x=0}=144\sin(6)$

[rocco.g1]

Mhh, questi passaggi non riesco ad afferrarli e non mi sembrano immediati... mi guardo l'altro topic che mi hai segnalato e poi provo a rivedermi le definizioni di prodotto e di traslazione per tentare di capire come funziona, però probabilmente non ci riuscirò

Soprattutto per $(x+6-2)(x+6)^2$ che al momento non capisco da dove derivi e perchè sia scritto in quel modo...

Il problema delle distribuzioni è che non c'è spiegato niente su alcun libro, mi sono procurato anche le videolezioni, ma niente da fare: non riesco a capirle bene perchè non ho molti esempi da studiare. La teoria si trova, ma al di là di questa non ho trovato niente.
Ad esempio, i procedimenti che hai scritto tu io non li ho mai trovati da nessuna parte e non è una cosa carina visto che le distribuzioni sono importanti soprattutto in ingegneria e vorrei riuscire a capirle.

[ViciousGoblin]

"rocco.g":
Soprattutto per $(x+6-2)(x+6)^2$ che al momento non capisco da dove derivi e perchè sia scritto in quel modo...
.

Cosa intendi con $\delta_6$ ?

[rocco.g1]

la delta di dirac posta nel punto x = 6.

Ad esempio, se ho $x^2\delta_6$ questo equivale a $36delta_6$

Quell'$(x-2)$ che ho scritto nell'esercizio precedente è da intendere come argomento della delta, ovvero $[\delta_6(x-2)]$ è la delta calcolata in x=6 ritardata...

[ViciousGoblin]

"rocco.g":la delta di dirac posta nel punto x = 6.

Ad esempio, se ho $x^2\delta_6$ questo equivale a $36delta_6$

Quell'$(x-2)$ che ho scritto nell'esercizio precedente è da intendere come argomento della delta, ovvero $[\delta_6(x-2)]$ è la delta calcolata in x=6 ritardata...

Allora avevo capito male - dunque $[\delta_6(x-2)]=\delta_4$ ?

[ViciousGoblin]

Rifaccio il conto precedente (do per buono che $\delta_6(x-2)=\delta_4$

$<\sin(x)\delta_4,x^2> =$ (def. di prodotto) $<\delta_4,\sin(x)x^2> =$ (def. di $\delta_4$) $[\sin(x)x^2]_{x=4}=16\sin(4)$

[rocco.g1]

Si si, esatto.

Ma quindi il procedimento diventa diverso?
Mi sa che il testo dell'esercizio era scritto in modo ambiguo e non si è capito che (x-2) era l'argomento allora...

[rocco.g1]

"ViciousGoblin":Rifaccio il conto precedente (do per buono che $\delta_6(x-2)=\delta_4$

$<\sin(x)\delta_4,x^2> =$ (def. di prodotto) $<\delta_4,\sin(x)x^2> =$ (def. di $\delta_4$) $[\sin(x)x^2]_{x=4}=16\sin(4)$

Tutto molto chiaro!
Inizio finalmente a capire qualcosa!

Ultima cosa: hai detto che la definizione non è simmetrica, ma posso considerarla tale quando si hanno funzioni a supporto compatto?
Per quale motivo non è simmetrica?

[ViciousGoblin]

"rocco.g":Si si, esatto.

Ma quindi il procedimento diventa diverso?
Mi sa che il testo dell'esercizio era scritto in modo ambiguo e non si è capito che (x-2) era l'argomento allora...

era diverso - vedi il messaggio precedente.

Ora vado a dormire !!!

[rocco.g1]

Ti ringrazio tantissimo per le spiegazioni!

Domani controllo la storia sulla simmetricità della definizione!