[Distribuzioni] Cosa sono le funzioni test
Non riesco a capire come si comporta la funzione test di cui tanto si parla nelle distribuzioni.
Ho capito la teoria, ma non capisco poi come utilizzare la definizione negli esercizi.
Ad esempio:
Data $f =(2x^2 + x + |x|)/(2x)$ dimostrare che $T_f' = 1 + \delta(x)$
Ora, se derivo direttamente, mi faccio il grafico ed aggiungo la discontinuità, ottengo il risultato che viene richiesto, però se ricorro alla teoria e provo a dimostrare il risultato attraverso la definizione non riesco a ricavarne niente:
$<[(2x^2 + x + |x|)/(2x)]^{\prime}, \delta(x)> = - <(2x^2 + x + |x|)/(2x), \delta(x)'> = - int_{-infty}^{+infty} ((2x^2 + x + |x|)/(2x))\delta(x)'dx$
Poi divido l'integrale per mettere in evidenza il caso in cui x = 0 e quindi in cui si ha la discontinuità:
$- int_{-infty}^{0} x\delta(x)'dx - int_{0}^{+infty} (x+1)\delta(x)'dx$
A questo punto faccio per parti:
$-[x\delta(x)]_{-infty}^{0} + int_{-infty}^{0} \delta(x)dx - [(x+1)\delta(x)]_{0}^{+infty} + int_{0}^{+infty} (1)\delta(x)dx$
Ma poi a questo punto che faccio? Qual è il significato dell'integrale di una funzione di test?
Io proprio non ho capito come si effettuano le operazioni con le funzioni test, cioè se faccio il limite ad infinito di $\delta(x)$ che cosa ottengo?
Ho capito la teoria, ma non capisco poi come utilizzare la definizione negli esercizi.
Ad esempio:
Data $f =(2x^2 + x + |x|)/(2x)$ dimostrare che $T_f' = 1 + \delta(x)$
Ora, se derivo direttamente, mi faccio il grafico ed aggiungo la discontinuità, ottengo il risultato che viene richiesto, però se ricorro alla teoria e provo a dimostrare il risultato attraverso la definizione non riesco a ricavarne niente:
$<[(2x^2 + x + |x|)/(2x)]^{\prime}, \delta(x)> = - <(2x^2 + x + |x|)/(2x), \delta(x)'> = - int_{-infty}^{+infty} ((2x^2 + x + |x|)/(2x))\delta(x)'dx$
Poi divido l'integrale per mettere in evidenza il caso in cui x = 0 e quindi in cui si ha la discontinuità:
$- int_{-infty}^{0} x\delta(x)'dx - int_{0}^{+infty} (x+1)\delta(x)'dx$
A questo punto faccio per parti:
$-[x\delta(x)]_{-infty}^{0} + int_{-infty}^{0} \delta(x)dx - [(x+1)\delta(x)]_{0}^{+infty} + int_{0}^{+infty} (1)\delta(x)dx$
Ma poi a questo punto che faccio? Qual è il significato dell'integrale di una funzione di test?
Io proprio non ho capito come si effettuano le operazioni con le funzioni test, cioè se faccio il limite ad infinito di $\delta(x)$ che cosa ottengo?
Risposte
"rocco.g":[/quote]
[quote="ViciousGoblin"]
Ultima cosa: hai detto che la definizione non è simmetrica, ma posso considerarla tale quando si hanno funzioni a supporto compatto?
Per quale motivo non è simmetrica?
(sto dormendo ...) Non la definizione, dicevo la notazione - se incontri $
In genere $\phi$ deve essere a supporto compatto, ma se la $u$ e' a supporto compatto (cosa che va definita ...) allora
$\phi$ si puo' prendere $C^\infty$, non necessariamente a supp.comp.
Ciao
"ViciousGoblin":
[quote="rocco.g"][quote="ViciousGoblin"]
Ultima cosa: hai detto che la definizione non è simmetrica, ma posso considerarla tale quando si hanno funzioni a supporto compatto?
Per quale motivo non è simmetrica?
(sto dormendo ...) Non la definizione, dicevo la notazione - se incontri $
In genere $\phi$ deve essere a supporto compatto, ma se la $u$ e' a supporto compatto (cosa che va definita ...) allora
$\phi$ si puo' prendere $C^\infty$, non necessariamente a supp.comp.
Ciao[/quote][/quote]
Ottimo, ti ringrazio infinitamente!
Buona notte e grazie per l'aiuto.
Posso dormire sogni tranquilli, almeno per questa notte!
Mi e' apparso in sogno Schwartz (o era Dirac ??) e si e' cosi' espresso. 
Mettiamo che una funzione $f(x)$ localmente integrabile rappresenti un "fenomeno", per esempio una temperatura, e mettiamo vogliamo "misurare" i valori di $f$.
E' ragionevole pensare che non potremo mai trovare un "termometro" che misuri esattamente il valore di $f$ in un predissato punto $x_0$ - ogni strumento, per quanto
preciso, misurera' una media dei valori di $f$ vicino al punto $x_0$ - dara' cioe' come risultato $\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x) dx$ (che diviso per $2\delta$
produce la media di $f$ in $[x_0-\delta,x_0+\delta]$). Pero' se conosciamo $\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x) dx$ per ogni $\delta>0$ e per ogni $x_0$ individuiamo esattamente la $f$ (a meno di quasi ovunque - ma dato che siamo partiti da $f$ in $L_{loc}^1$ questo e' perfettamente ragionevole).
Ma riflettiamo ancora un momento - anche avere un termometro che misura la medie e' (forse) implausibile. Questo termometro in effetti riuscirebbe a discriminare
"esattamente" i punti compresi nell'intervallo $[x_0-\delta,x_0+\delta]$ da quelli fuori! - forse sarebbe piu' ragionevole pensare che, invece di poter conoscere
$\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x) dx=\int_RR 1_{[x_0-\delta,x_0+\delta]}(x)f(x) dx$ (indico con $1_E$ la funzione indicatrice di $E$) si possa solo conoscere
$\int_RR \phi(x)f(x) dx$ con $\phi$ smooth che possa approssimare quanto voglio la funzione "squadrata" $1_{[x_0-\delta,x_0+\delta]}$.
Allora forse cio' che possiamo misurare di $f$ sono solo integrali del tipo $\int_RR \phi(x)f(x) dx$ per tutte le funzioni regolari e nulle fuori da un compatto
(i "test") - conoscendo pero' tutti i possibili risultati di tali integrali possiamo cominque ricostruire esattamente $f$ a meno di quasi ovunque. Se quindi concepisci
i test come associati a una misura su $f$ data dal corrispondente integrale, allora dovresti capire il punto di vista.
Per esempio se hai che data $\phi$ il risultato della "$\phi$-misura" e' $\int_RR\phi(x)dx-\int_RR\phi''(x+1)dx$ qual e' la $f$ che risulta cosi' individuata ??
Questo punto di vista permette di definire oggetti che non sono funzioni localmente integrabili. Se analizzi criticamente quanto fatto sopra ti rendi conto che,
fissata $f$, l'operazione $\phi\mapsto \int_RR\phi(x)f(x)dx$ e' lineare e continua (rispetto a una opportuna convergenza nello spazio dei test), ma vedi anche che
NON TUTTE le applicazioni lineari e continue ddefinite sui test (e a valori reali - o complessi) sono ottenibili da integrali di una qualche $f$ - classico esempio l'applicazione $\phi\mapsto \phi(0)$.
Chiami allora distribuzioni tali oggetti - formalmente i funzionali lineari e continui sullo spazio dei test.
Dunque una distribuzione $u$ e' una funzione $u\mapsto u(\phi)$ lineare e continua - pero' di solito invece di $u(\phi)$ si scrive $< u, \phi >$.
Conoscere $u$ significa solo conoscere quanto fa $< u,\phi >$ per ogni $\phi$ ed e' a questo che ci si deve ricondurre ogni qualvolta si vogliano trovare delle proprieta' di $u$.
Prova per esempio a dimostrare che la derivata di $|x|$ e' la funzione $segno(x)$ - si tratta in questo caso di "funzioni", ma la derivata e' distribuzionale.
Ovviamente poi si dimostrano dei teoremi che spesso evitano di ricorrere ogni volta alla definizione - ma se si deve andare alla base delle questioni il punto essenziale e'
sempre quello di "calcolare" la distribuzione sul test generico.
A questo punto mi sono svegliato.
Mettiamo che una funzione $f(x)$ localmente integrabile rappresenti un "fenomeno", per esempio una temperatura, e mettiamo vogliamo "misurare" i valori di $f$.
E' ragionevole pensare che non potremo mai trovare un "termometro" che misuri esattamente il valore di $f$ in un predissato punto $x_0$ - ogni strumento, per quanto
preciso, misurera' una media dei valori di $f$ vicino al punto $x_0$ - dara' cioe' come risultato $\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x) dx$ (che diviso per $2\delta$
produce la media di $f$ in $[x_0-\delta,x_0+\delta]$). Pero' se conosciamo $\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x) dx$ per ogni $\delta>0$ e per ogni $x_0$ individuiamo esattamente la $f$ (a meno di quasi ovunque - ma dato che siamo partiti da $f$ in $L_{loc}^1$ questo e' perfettamente ragionevole).
Ma riflettiamo ancora un momento - anche avere un termometro che misura la medie e' (forse) implausibile. Questo termometro in effetti riuscirebbe a discriminare
"esattamente" i punti compresi nell'intervallo $[x_0-\delta,x_0+\delta]$ da quelli fuori! - forse sarebbe piu' ragionevole pensare che, invece di poter conoscere
$\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x) dx=\int_RR 1_{[x_0-\delta,x_0+\delta]}(x)f(x) dx$ (indico con $1_E$ la funzione indicatrice di $E$) si possa solo conoscere
$\int_RR \phi(x)f(x) dx$ con $\phi$ smooth che possa approssimare quanto voglio la funzione "squadrata" $1_{[x_0-\delta,x_0+\delta]}$.
Allora forse cio' che possiamo misurare di $f$ sono solo integrali del tipo $\int_RR \phi(x)f(x) dx$ per tutte le funzioni regolari e nulle fuori da un compatto
(i "test") - conoscendo pero' tutti i possibili risultati di tali integrali possiamo cominque ricostruire esattamente $f$ a meno di quasi ovunque. Se quindi concepisci
i test come associati a una misura su $f$ data dal corrispondente integrale, allora dovresti capire il punto di vista.
Per esempio se hai che data $\phi$ il risultato della "$\phi$-misura" e' $\int_RR\phi(x)dx-\int_RR\phi''(x+1)dx$ qual e' la $f$ che risulta cosi' individuata ??
Questo punto di vista permette di definire oggetti che non sono funzioni localmente integrabili. Se analizzi criticamente quanto fatto sopra ti rendi conto che,
fissata $f$, l'operazione $\phi\mapsto \int_RR\phi(x)f(x)dx$ e' lineare e continua (rispetto a una opportuna convergenza nello spazio dei test), ma vedi anche che
NON TUTTE le applicazioni lineari e continue ddefinite sui test (e a valori reali - o complessi) sono ottenibili da integrali di una qualche $f$ - classico esempio l'applicazione $\phi\mapsto \phi(0)$.
Chiami allora distribuzioni tali oggetti - formalmente i funzionali lineari e continui sullo spazio dei test.
Dunque una distribuzione $u$ e' una funzione $u\mapsto u(\phi)$ lineare e continua - pero' di solito invece di $u(\phi)$ si scrive $< u, \phi >$.
Conoscere $u$ significa solo conoscere quanto fa $< u,\phi >$ per ogni $\phi$ ed e' a questo che ci si deve ricondurre ogni qualvolta si vogliano trovare delle proprieta' di $u$.
Prova per esempio a dimostrare che la derivata di $|x|$ e' la funzione $segno(x)$ - si tratta in questo caso di "funzioni", ma la derivata e' distribuzionale.
Ovviamente poi si dimostrano dei teoremi che spesso evitano di ricorrere ogni volta alla definizione - ma se si deve andare alla base delle questioni il punto essenziale e'
sempre quello di "calcolare" la distribuzione sul test generico.
A questo punto mi sono svegliato.
Hai fatto un bel sogno!
Ho riletto quanto hai scritto più volte sino a quando non mi è entrato in testa. Ti ringrazio! mi è stato molto utile per capire più a fondo il funzionamento delle funzioni di test.
Ora mi rileggo la teoria e poi provo a fare qualche altro esercizio...
perchè non ha senso far calcoli senza capire quello che sta dietro...
Ho riletto quanto hai scritto più volte sino a quando non mi è entrato in testa. Ti ringrazio! mi è stato molto utile per capire più a fondo il funzionamento delle funzioni di test.
Ora mi rileggo la teoria e poi provo a fare qualche altro esercizio...
perchè non ha senso far calcoli senza capire quello che sta dietro...
"Gugo82":
Quindi in particolare si ha $lim_(x\to pm oo)phi(x)=0$ per ogni test $phi$.
Magari non ha alcun senso questa domanda, ma rileggendo il topic mi è comunque venuta in mente, quindi la faccio:
Quel limite ha come risultato zero data la compatezza che è alla base della defizione della funzione test.
Nel caso abbia senso calcolare un limite del genere:
$lim_(x\to pm oo)xphi(x)
il risultato sarebbe sempre zero? Cioè in questo caso è la funzione x a dettare il comportamento all'infinito, oppure il risultato è ancora zero? Oppure è una forma indeterminata?
Sempre ammesso che abbia senso considerare un limite del genere. Ero solo curioso.
Secondo me, nel caso esista qualcosa del genere, dovrebbe essere in ogni caso zero per via del supporto compatto...
"rocco.g":
[quote="Gugo82"]Quindi in particolare si ha $lim_(x\to pm oo)phi(x)=0$ per ogni test $phi$.
Magari non ha alcun senso questa domanda, ma rileggendo il topic mi è comunque venuta in mente, quindi la faccio:
Quel limite ha come risultato zero data la compatezza che è alla base della defizione della funzione test.
Nel caso abbia senso calcolare un limite del genere:
$lim_(x\to pm oo)xphi(x)
il risultato sarebbe sempre zero? Cioè in questo caso è la funzione x a dettare il comportamento all'infinito, oppure il risultato è ancora zero? Oppure è una forma indeterminata?
Sempre ammesso che abbia senso considerare un limite del genere. Ero solo curioso.
Secondo me, nel caso esista qualcosa del genere, dovrebbe essere in ogni caso zero per via del supporto compatto...[/quote]
Ma stai sottointendendo che $\phi$ e' a supporto compatto, cioe' $\phi(x)=0$ per $x$ fuori da un intervallo ?
Allora e' chiaro che $x\phi(x)=0$ fuori dallo stesso intervallo e quindi il limite a $\pm\infty$ fa zero.
In generale se $\psi$ e' una funzione $C^\infty$ (senza supp. compatto)e $\phi$ e' un test , allora
$\psi\phi$ e' a supporto compatto - questo e' cjo' che rende sensato considerare il prodotto di $\psi$ per una distribuzione $u$ ponendo $< \psi u,\phi >:= < u,\psi\phi >$
(il termine di sinistra e' cio' che si vuole definire - quello di destra ha senso perche' $\psi\phi$ e' un test ammissibile e quindi si puo' calcolarci sopra $u$)
Si sottointendo quello, perchè sul mio libro ho trovato che nella definizione di funzione di test si parla di supporto compatto e mi era venuto il dubbio.
Quindi vale quanto hai detto tu, ottimo.
Non ero sicuro di poter concludere sempre che quando moltiplico una funzione per un'altra a supporto compatto, fuori dall'intervallo, questa sia zero in ogni caso.
Quindi vale quanto hai detto tu, ottimo.
Non ero sicuro di poter concludere sempre che quando moltiplico una funzione per un'altra a supporto compatto, fuori dall'intervallo, questa sia zero in ogni caso.
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