Dimostrazione per il valore assoluto....
Salve a tutti volevo chiedere se qualcuno potrebbe darmi una mano nella risoluzione di una dimostrazione riguardante una disuguaglianza del valore assoluto; in pratica dato definisco il valore assoluto come:
$|x|={(x, ", se " x>=0),(-x, ", se " x<0):}$
definito come: $|#|:RR rarr RR_+$
se abbiamo $|x|<=a$ $rarr$ $a<=x<=a$
ora devo dimostrare perchè si scrive la disuguaglianza seguente e da dove ne esce fuori??? la disuguaglianza è:
$|x+y|<=|x|+|y|$ non saprei proprio da dove partire, un piccolo aiuto se qualcuno può indirizzarmi verso qualcosa di concreto...
grazie mille...
$|x|={(x, ", se " x>=0),(-x, ", se " x<0):}$
definito come: $|#|:RR rarr RR_+$
se abbiamo $|x|<=a$ $rarr$ $a<=x<=a$
ora devo dimostrare perchè si scrive la disuguaglianza seguente e da dove ne esce fuori??? la disuguaglianza è:
$|x+y|<=|x|+|y|$ non saprei proprio da dove partire, un piccolo aiuto se qualcuno può indirizzarmi verso qualcosa di concreto...
grazie mille...
Risposte
Distinguendo i casi?
Sono quattro, ma basta farne due (precisamente $x>=0 ,y>=0$ e $x<0, y>=0$) per motivi di simmetria.
Sono quattro, ma basta farne due (precisamente $x>=0 ,y>=0$ e $x<0, y>=0$) per motivi di simmetria.
cioè perchè si scrive questa disuguaglianza?
oppure se voglio dire bene perchè vale questa disuguaglianza?
"domy90":
se abbiamo $|x|<=a$ $rarr$ $a<=x<=a$
correggi con $-a<=x<=a$ e cmq per quella particolare disuguaglianza non ti serve.
"krek":
[quote="domy90"]
se abbiamo $|x|<=a$ $rarr$ $a<=x<=a$
correggi con $-a<=x<=a$
...
[/quote]Uhm, dipende... Se a=-47?
Ma, tornando alla domanda iniziale, il suggerimento di gugo82 per provare la "disuguaglianza triangolare", ovvero farlo per distinzione di casi, è molto sensato (anche se non eccitante).
se abbiamo $a=-47$ non può essere $|x|<=-47$ dato che per definizione $|x|>=0;
Potrebbe partire da $|x|=|-x|$ ma comunque parta l'importante è che arrivi
Potrebbe partire da $|x|=|-x|$ ma comunque parta l'importante è che arrivi
"Fioravante Patrone":
tornando alla domanda iniziale, il suggerimento di gugo82 per provare la "disuguaglianza triangolare", ovvero farlo per distinzione di casi, è molto sensato (anche se non eccitante).
Beh, ieri sera quello mi è venuto in mente...
Altrimenti si potrebbe giocare con le proprietà del massimo, visto che (in fin dei conti) dalla stessa definizione di valore assoluto discende che [tex]$|x|=\max \{ x,-x\}$[/tex].
Sennè puoi prendere come definizione [tex]\lvert x \rvert= \sqrt{x^2}[/tex]. Così mi pare che venga facile. Solo non so quanto sia logicamente coerente definire il valore assoluto a questa maniera, perché mi sa che per dimostrare l'esistenza delle radici quadrate occorre avere già definito il valore assoluto.
cioè precisamente dovrei fare: $|x+y|<=|x|+|y|$ $rarr$ ${(x>=0),(y>=0):}$ $uu$ ${(x<0),(y>=0):}$?????
"domy90":
cioè precisamente dovrei fare: $|x+y|<=|x|+|y|$ $rarr$ ${(x>=0),(y>=0):}$ $uu$ ${(x<0),(y>=0):}$?????
é?
Non mi è chiaro quello che hai scritto
io partirei in questo modo
$|x|=max{x,-x}$
$|-x|=max{x,-x}$
$|x|=|-x|$
$x<=|x|$
$-x<=|x|$
ragiona su $y$ allo stesso modo e vedi cosa succede con $x+y$ e $-x-y$
un attimo ma perchè mi compare la disuguaglianza?
"krek":
$x<=|x|$
$-x<=|x|$
$|x|=max{x,-x}$
se $x>=0$ abbiamo $|x|=x$
se $x<0$ abbiamo $|x|=-x$ , $-x>x$ quindi abbiamo abbiamo che $|x|>x$
quindi $|x|>=x$
allo stesso modo con $|-x|$ arrivo alla conclusione che $-x<=|-x|$ e siccome $|-x|=|x|$
posso scrivere $-x<=|x|$
se $x>=0$ abbiamo $|x|=x$
se $x<0$ abbiamo $|x|=-x$ , $-x>x$ quindi abbiamo abbiamo che $|x|>x$
quindi $|x|>=x$
allo stesso modo con $|-x|$ arrivo alla conclusione che $-x<=|-x|$ e siccome $|-x|=|x|$
posso scrivere $-x<=|x|$
non capisco bene; allora io dico se ho $x>=0$ prendo le $x$ positive dal max....
viceversa se ho che $x<0$ prendo le $x$ negative dal max....ora perchè si scrive $-x>x$?
viceversa se ho che $x<0$ prendo le $x$ negative dal max....ora perchè si scrive $-x>x$?
"il Max" non è un cesto...
io farei un piccolo passo indietro
se pongo $f(x)=|x|$ . $f(x):RR->RR^+$
definisco il valore assoluto come
$|x|=max{x,-x} = {(x, " se " x>=0),(-x, " se " x<0)} = {sqrt(x^2)} = {" la distanza da 0 di x "}$
se assegni dei valori a $x$ il valore assoluto di $x$ ti restuisce un valore come da definizione.
Se $x>=0$ per esempio $x=5$, il suo valore assoluto che si scrive $|5|$ è uguale a $5$ che è il $max{x,-x}$ che è il $max{5,-5}$
fai la stessa cosa con un numero negativo e vedi tu cosa succede per esempio con $-3$
Quando avrai chiaro cosa è il valore assoluto ti dovrebbe essere chiaro anche tutto il resto.
io farei un piccolo passo indietro
se pongo $f(x)=|x|$ . $f(x):RR->RR^+$
definisco il valore assoluto come
$|x|=max{x,-x} = {(x, " se " x>=0),(-x, " se " x<0)} = {sqrt(x^2)} = {" la distanza da 0 di x "}$
se assegni dei valori a $x$ il valore assoluto di $x$ ti restuisce un valore come da definizione.
Se $x>=0$ per esempio $x=5$, il suo valore assoluto che si scrive $|5|$ è uguale a $5$ che è il $max{x,-x}$ che è il $max{5,-5}$
fai la stessa cosa con un numero negativo e vedi tu cosa succede per esempio con $-3$
Quando avrai chiaro cosa è il valore assoluto ti dovrebbe essere chiaro anche tutto il resto.
allora se $x<0$ ad esempio $-3$ ho $|-3|$ chè il $max{-3,3}$ cioè si invertono i valori?
per ogni $a,b$ appartenenti a $RR$
$max{a,b}$ ha valore $a$ se $a$ è maggiore o uguale a $b$ oppure $b$ se $a$ è minore di $b$.
Quando avrai chiaro il significato di max avrai chiaro anche il significato di valore assoluto e ti sarà chiaro anche tutto quello che è stato scritto in precedenza.
$max{a,b}$ ha valore $a$ se $a$ è maggiore o uguale a $b$ oppure $b$ se $a$ è minore di $b$.
Quando avrai chiaro il significato di max avrai chiaro anche il significato di valore assoluto e ti sarà chiaro anche tutto quello che è stato scritto in precedenza.
il massimo è definito se in un intorno $I_delta$ esiste un punto $x_0$ tale che $f(x)<=f(x_0)$
credo di aver capito; in pratica essendo il valore assoluto una funzione che mi restituisce sempre un valore positivo allora posso dire che se il massimo è $x=3$, allora anche il suo opposto $x=-3$ è massimo, perchè mi danno la stessa immagine.... quindi per questo si scrive: $|x|:= max{x, -x}$, erro?
credo di aver capito; in pratica essendo il valore assoluto una funzione che mi restituisce sempre un valore positivo allora posso dire che se il massimo è $x=3$, allora anche il suo opposto $x=-3$ è massimo, perchè mi danno la stessa immagine.... quindi per questo si scrive: $|x|:= max{x, -x}$, erro?
si
...
la definizione di massimo può andare, anche se personalmente usare "il massimo è definito se" non mi piace
(ma è solo una questione di gusto personale).
la tua premessa è:
"il valore assoluto è una funzione che mi restituisce sempre un valore positivo", VERO
in conseguenza di ciò dici che:
"se il massimo è x=3, allora anche il suo opposto x=-3 è massimo, perchè mi danno la stessa immagine", stai confondendo $f(x)$ con $x$.
concludi che:
"quindi per questo si scrive |x|={x,-x}" pur essendo $|x|={-x,x}$, non è per quello che hai scritto prima che ottieni questo risultato.
Vai a vedere cosa fai quando ti viene chiesto di calcolare il massimo di una funzione e poi dimmi se appartiene al dominio o al codominio della funzione.
...
la definizione di massimo può andare, anche se personalmente usare "il massimo è definito se" non mi piace
(ma è solo una questione di gusto personale).
la tua premessa è:
"il valore assoluto è una funzione che mi restituisce sempre un valore positivo", VERO
in conseguenza di ciò dici che:
"se il massimo è x=3, allora anche il suo opposto x=-3 è massimo, perchè mi danno la stessa immagine", stai confondendo $f(x)$ con $x$.
concludi che:
"quindi per questo si scrive |x|={x,-x}" pur essendo $|x|={-x,x}$, non è per quello che hai scritto prima che ottieni questo risultato.
Vai a vedere cosa fai quando ti viene chiesto di calcolare il massimo di una funzione e poi dimmi se appartiene al dominio o al codominio della funzione.
"krek":Non trovo che sia una questione di gusto personale. Secondo me questo
la definizione di massimo può andare, anche se personalmente usare "il massimo è definito se" non mi piace
(ma è solo una questione di gusto personale).
il massimo è definito se in un intorno $I_delta$ esiste un punto $x_0$ tale che $f(x)<=f(x_0)$
è proprio senza senso. Cosa c'entra la topologia con il concetto, naturalissimo, di massimo? Il massimo di due numeri è il più grande tra i due: cosa c'è di difficile?
il mio si era riferito alla domanda: erro?
"Ero stanco ...non è stata colpa mia. Davvero, sono sincero. Quel giorno finì la benzina. Si bucò un pneumatico. Non avevo i soldi per il taxi! Il mio smoking non era arrivato in tempo dalla tintoria! Era venuto a trovarmi da lontano un amico che non vedevo da anni! Qualcuno mi rubò la macchina! Ci fu un terremoto! Una tremenda inondazione! Un'invasione di cavallette!"
Alle 4 di notte mi suonava effettivamente non piacevole ma ero troppo assonato
e tra tutte le cose senza senso quella mi appariva effettivamente sensata, anche se al di fuori del contesto. Ho fatto "TILT" come un flipper.
E il valore assoluto di $x$ è il massimo tra $-x$ e $x$
"Ero stanco ...non è stata colpa mia. Davvero, sono sincero. Quel giorno finì la benzina. Si bucò un pneumatico. Non avevo i soldi per il taxi! Il mio smoking non era arrivato in tempo dalla tintoria! Era venuto a trovarmi da lontano un amico che non vedevo da anni! Qualcuno mi rubò la macchina! Ci fu un terremoto! Una tremenda inondazione! Un'invasione di cavallette!"
Alle 4 di notte mi suonava effettivamente non piacevole ma ero troppo assonato
e tra tutte le cose senza senso quella mi appariva effettivamente sensata, anche se al di fuori del contesto. Ho fatto "TILT" come un flipper. E il valore assoluto di $x$ è il massimo tra $-x$ e $x$
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