Dimostrazione per il valore assoluto....

[kioccolatino90]

Salve a tutti volevo chiedere se qualcuno potrebbe darmi una mano nella risoluzione di una dimostrazione riguardante una disuguaglianza del valore assoluto; in pratica dato definisco il valore assoluto come:

$|x|={(x, ", se " x>=0),(-x, ", se " x<0):}$

definito come: $|#|:RR rarr RR_+$

se abbiamo $|x|<=a$ $rarr$ $a<=x<=a$

ora devo dimostrare perchè si scrive la disuguaglianza seguente e da dove ne esce fuori??? la disuguaglianza è:

$|x+y|<=|x|+|y|$ non saprei proprio da dove partire, un piccolo aiuto se qualcuno può indirizzarmi verso qualcosa di concreto...
grazie mille...

[kioccolatino90]

scusate non l'ho invetato io
il massimo per definizione non è:
si dice che $x_0$ è un punto di massimo per $f(x)$ se esiste un intorno $I$ di $x_0$, $I(x_0)$, contenuto in $I$ tale che $AA x in I(x_0)$ si abbia $f(x)<=f(x_0)$: in tal caso, si dice che $f(x_0)$ è un massimo relativo...?????
ditemi se è sbagliato, sul libro così c'è scritto così lo segnalo....

[krek1]

Come mai in un'approssimazione più che totale nell'esporre le cose ora riporti con tanto rigore una definizione?

Non è la definizione in se che ti veniva contestata, ma il fatto che non c'entra niente con tutto il resto.

[dissonance]

Ma cosa c'entra questa definizione che hai riportato!!! Questa è la definizione di punto di massimo e non c'entra NULLA con questo discorso. Guarda, lascia stare la matematica, ragiona in modo TOTALMENTE intuitivo. Dati due numeri reali $a, b$, cos'è il massimo di questi due?

[kioccolatino90]

scusate mi sono confuso cioè io pensavo che la scrittura $max{x,-x}$ stesse ad indicare il massimo relativo....

però ora ho capito che invece si cercava qual'era il valore massimo tra i due numeri... come nell'esempio di dissonance cioè dati due numeri reali $a$,$b$ il massimo è il valore più grande tra i due cioè se $a>b$ il massimo è $a$ se $a

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[krek1]

ora ti è chiaro $|x|=max{x,-x}$ ?
Ti "tornano" le definizioni equivalenti che ti sono state date di valore assoluto di x?

Cercare di dimostrare qualcosa richiede di fare delle deduzioni partendo dalle ipotesi di partenza.

[kioccolatino90]

si ora mi è chiaro il massimo del valore assoluto....
quindi nel post precedente abbiamo scritto $-x>x$ per il fatto che $a>b$; per una maggiore comprensione si è scritto così perchè abbiamo assegnato ad $a=-x$ e $b=x$?????

[krek1]

Sono perplesso .....

Te lo scrivo a parole: "il valore assoluto di un numero è il massimo fra quel numero e l'opposto di quel numero"

$|5|=max{5,-5}$ e quindi $|5|=......$

"$|-3|=max{-3,-(-3)}$ e quindi $|-3|=......$"

ma se ci metto $x$ al posto del $5$, $x$ può assumere qualsiasi valore

$|x|:=max{(x),-(x)}$ (questa è una delle definizioni di valore assoluto)

Quindi lo ripeto ancora

il valore assoluto di x è il massimo tra x e -x (è il massimo fra x e il suo opposto che è -x) per ogni x numero reale.

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"domy90":si ora mi è chiaro il massimo del valore assoluto....
quindi nel post precedente abbiamo scritto $-x>x$ per il fatto che $a>b$; per una maggiore comprensione si è scritto così perchè abbiamo assegnato ad $a=-x$ e $b=x$?????

"...il massimo del valore assoluto..." NON VUOL DIRE NULLA ...

te lo ripeto ancora

il valore assoulto di un numero reale è il massimo ... etc..

il valore assoluto è il massimo ....

il massimo del valore assoluto non vuol dire nulla.

Con $x<0$ hai $-x>x$ non capisco il problema.

[kioccolatino90]

si scusami mi sono espresso male.......
in pratica non riuscivo a capire il perchè $-x$ fosse maggiore di $x$ ora è chiaro,

siamo nel caso: $|x|=max{x, -x}$

con $x<0$ il valore assoluto di $x$ è $|x|=-x$ perchè:

nel valore assoluto con $x<0$ abbiamo che $|-5|=max{-5, -(-5)}$ cioè il valore assoluto di $-5$ è il massimo tra se stesso e il suo opposto, cioè risulta, in un certo senso, essere proprio il suo opposto.....
si verifica che il suo opposto è maggiore, per cui la scrittura: $-x>x$ essendo poi $|x|=-x$ si scrive $|x|>x$, l'uguaglianza si mette per il caso in cui $x>=0$.....
quindi in fine si riduce alla scrittura:

$|x|>=x$

come dite? è corretto?

[krek1]

ok perfetto

Quindi possiamo dire che per ognii $x in RR$ abbiamo $x<=|x|$

hai già tutto quello che ti serve...

ti è utile anche il fatto che $|x|=|-x|$

[kioccolatino90]

infatti ora stavo ragionando sul caso $|-x|=max{x, -x}$
allora se ragiono allo stesso modo ho:

con $x>=0$ abiamo che $|-x|=x$ (quindi per questo posso dire che $|-x|=x$ dato che nel caso precedente avevamo $|x|=x$)

se $x<0$ si ha che il valore assoluto di un numero reale negativo cambiato di segno(posso dire così?) è il massimo tra se e il suo opposto, cioè l'opposto $|-x|=-x$, cioè $|-(-5)|=max{-5, -(-5)}$....però come posso spiegare il fatto che $-x<|-x|$ se ho appena detto che sono uguali??????????

[krek1]

sto perdendo il filo della ragione ....


Secondo te $max{a,b}$ è uguale a $max{b,a}$ ? Si o No ?

[kioccolatino90]

scusami non ti arrabbiare....
si è uguale cambia solo la posizione....

[krek1]

ho capito ma se ragioni cosi allora max{x,-x} è uguale a $sqrt(x^2)$ ? si ma cambia la scritta ...

non è possibile avere una risposta semplice? si o no

$max{a,b}=max{b,a}$
......

allora posso dire che $max{a,-a}=max{-a,a}$ ? si o no?

[kioccolatino90]

"krek":allora posso dire che $max{a,-a}=max{-a,a}$ ? si o no?

sì, $max{a,-a}=max{-a,a}$...

[krek1]

"krek":$|x|=max{x,-x}$

se $x>=0$ abbiamo $|x|=x$
se $x<0$ abbiamo $|x|=-x$ , $-x>x$ quindio abbiamo che $|x|>x$

quindi $|x|>=x$

$|-x|=max{x,-x}$

se $-x>=0$ abbiamo $|-x|=-x$
se $-x<0$ abbiamo $|-x|=x$, $-x
siccome $|x|=|-x|$ ho $-x<|x|$

quindi $-x<=|x|$


$x<=|x|$, $-x<=|x|$

Per iniziare ti serve

$x<=|x|$

se hai $a,b,d,z,y in RR$

puoi dire che $a<=|a|$,..., $d<=|d|$ ,....,etc....

[kioccolatino90]

"krek":

$x<=|x|$, $-x<=|x|$

Per iniziare ti serve

$x<=|x|$

se hai $a,b,d,z,y in RR$

puoi dire che $a<=|a|$,..., $d<=|d|$ ,....,etc....

si si... si può dire....

[krek1]

LoL, so che si puo dire ahha

non c'era il punto di domanda a questo giro

"domy90":
ora devo dimostrare perchè si scrive la disuguaglianza seguente e da dove ne esce fuori??? la disuguaglianza è:

$|x+y|<=|x|+|y|$ non saprei proprio da dove partire, un piccolo aiuto se qualcuno può indirizzarmi verso qualcosa di concreto...
grazie mille...

ora che sai che hai

$x<=|x|$

comincia a ragionare ....

Cosa puoi dire di $y$ e del suo valore assoluto?
Cosa puoi dire di $|x|+|y|$ ?

[kioccolatino90]

ricapitolando:
$|x|:=max{x,-x}$

nel primo caso abbiamo $|x|=max{x,-x}$ è $|x|>=x$

ne secondo caso si ha che $|-x|=max{x,-x}$ è $-x<=|x|$

per quanto riguarda $y$ e del $|y|$ posso dire ce se ho capito bene quello che abbiamo fatto precedentemente valgono le stesse cose considerazioni abbiamo fatto per $x$ e per il suo valore assoluto......
cioè
$|y|:=max{y,-y}$

nel primo caso abbiamo $|y|=max{y,-y}$ è $|y|>=y$

ne secondo caso si ha che $|-y|=max{y,-x}$ è $-y<=|y|$
è corretto?

[krek1]

ok

ora hai

$x<=|x|$
$y<=|y|$
$-x<=|x|$
$-y<=|y|$

cosa puoi dire di |x|+|y| ... ?

[krek1]

ok

ora hai

$x<=|x|$
$y<=|y|$
$-x<=|x|$
$-y<=|y|$

cosa puoi dire di $|x|+|y|$ ... ?

devi arrivare a qualcosa che "assomiglia" a $|x+y|<=|x|+|y|$