Dimostrazione per il valore assoluto....
Salve a tutti volevo chiedere se qualcuno potrebbe darmi una mano nella risoluzione di una dimostrazione riguardante una disuguaglianza del valore assoluto; in pratica dato definisco il valore assoluto come:
$|x|={(x, ", se " x>=0),(-x, ", se " x<0):}$
definito come: $|#|:RR rarr RR_+$
se abbiamo $|x|<=a$ $rarr$ $a<=x<=a$
ora devo dimostrare perchè si scrive la disuguaglianza seguente e da dove ne esce fuori??? la disuguaglianza è:
$|x+y|<=|x|+|y|$ non saprei proprio da dove partire, un piccolo aiuto se qualcuno può indirizzarmi verso qualcosa di concreto...
grazie mille...
$|x|={(x, ", se " x>=0),(-x, ", se " x<0):}$
definito come: $|#|:RR rarr RR_+$
se abbiamo $|x|<=a$ $rarr$ $a<=x<=a$
ora devo dimostrare perchè si scrive la disuguaglianza seguente e da dove ne esce fuori??? la disuguaglianza è:
$|x+y|<=|x|+|y|$ non saprei proprio da dove partire, un piccolo aiuto se qualcuno può indirizzarmi verso qualcosa di concreto...
grazie mille...
Risposte
cioè che sono la stessa cosa di prima solo che ne devo fare la somma.. $(|x|>=x)+(|y|>=y)$
ma non redo che sia giusto...
ma non redo che sia giusto...
"domy90":
cioè che sono la stessa cosa di prima solo che ne devo fare la somma..
Si può avere una frase soggetto verbo e predicato?
(evita i "cioè", i "solo che", anche "cosa" )
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Spiega cosa intendi con
"domy90":
$(|x|>=x)+(|y|>=y)$
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"domy90":
ma non redo che sia giusto...
Allora spiega perchè sei arrivato alla conclusione per cui credi che non sia giusto ...
( e sopratutto spiega cosa credi che non sia giusto )
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Sviluppa un ragionamento che sia lungo più di due righe ... altrimenti qui si fa Natale
ok, ho capito....
Siamo arrivati al fatto che:
$x<=|x|$
$y<=|y|$
$-x<=|x|$
$-y<=|y|$
Posso dire che provando ad arrivare alla forma $|x+y|<=|x|+|y|$, da ciò che ho ottenuto, abbiamo:
$(|x|<=x)+(|y|<=y) rArr |x|+|y|<=x+y$ e $(|x|<=-x)+(|y|<=-y)rArr |x|+|y|<=-x-y$
$|x|+|y|<=x+y$, $|x|+|y|<=-x-y$
da una delle proprietà del valore assoluto risulta: $|a|<=b rarr -b<=a<=b$
quindi $-x-y<=|x|+|y|<=x+y$
da cui $-x <=|x|<= x$ e $-y <=|y|<= y$
ora però sono arrivato ad un punto morto come posso fare?
Siamo arrivati al fatto che:
$x<=|x|$
$y<=|y|$
$-x<=|x|$
$-y<=|y|$
"krek":
cosa puoi dire di $|x|+|y|$ ... ?
devi arrivare a qualcosa che "assomiglia" a $|x+y|<=|x|+|y|$
Posso dire che provando ad arrivare alla forma $|x+y|<=|x|+|y|$, da ciò che ho ottenuto, abbiamo:
$(|x|<=x)+(|y|<=y) rArr |x|+|y|<=x+y$ e $(|x|<=-x)+(|y|<=-y)rArr |x|+|y|<=-x-y$
$|x|+|y|<=x+y$, $|x|+|y|<=-x-y$
da una delle proprietà del valore assoluto risulta: $|a|<=b rarr -b<=a<=b$
quindi $-x-y<=|x|+|y|<=x+y$
da cui $-x <=|x|<= x$ e $-y <=|y|<= y$
ora però sono arrivato ad un punto morto come posso fare?
Cerca di fare un passo alla volta, perchè hai fatto un pò di confusione.
Ripartiamo da quello che abbiamo e cioè :
1) $x<=|x|$
2) $y<=|y|$
3) $-x<=|x|$
4) $-y<=|y|$
--------------
$x<=|x|$ (1) posso dire che $x+y<=|x|+y$ (perchè aggiungo uno stesso valore a sinistra e a destra, in questo caso $y$)
siccome $y<=|y|$ (2) posso scrivere a maggior ragione che $x +y <=|x|+|y|$ (poichè $|x|+y <= |x|+|y|$).
quindi posso dire che $x+y<=|x|+|y|$ (per ora "conserviamo" questo risultato e lo mettiamo da parte).
Ora prova a ragionare allo stesso modo sfruttando (3) e (4)
Cioè parti da
$-x<=|x|$ (3) posso dire che $-x-y<=.....$
Ripartiamo da quello che abbiamo e cioè :
1) $x<=|x|$
2) $y<=|y|$
3) $-x<=|x|$
4) $-y<=|y|$
--------------
$x<=|x|$ (1) posso dire che $x+y<=|x|+y$ (perchè aggiungo uno stesso valore a sinistra e a destra, in questo caso $y$)
siccome $y<=|y|$ (2) posso scrivere a maggior ragione che $x +y <=|x|+|y|$ (poichè $|x|+y <= |x|+|y|$).
quindi posso dire che $x+y<=|x|+|y|$ (per ora "conserviamo" questo risultato e lo mettiamo da parte).
Ora prova a ragionare allo stesso modo sfruttando (3) e (4)
Cioè parti da
$-x<=|x|$ (3) posso dire che $-x-y<=.....$
ma devo sempre fare il ragionamento di aggiungere la quantità al primo e al secondo membro?
Prova e vedi che succede se non provi no lo saprai mai, se a ogni passaggio chiedi che cosa devi fare non fai alcun ragionamento.
Non mi sembra complicato quello che ho fatto nella prima parte è stato dimostrare che $x+y<=|x|+|y|$
partendo da $x<=|x|$ e $y<=|y|$
se "ragioni" sulla traccia di quello che ho fatto io e sostituisci (1) con (3) e (2) con (4) a che conclusione arrivi?
Non mi sembra complicato quello che ho fatto nella prima parte è stato dimostrare che $x+y<=|x|+|y|$
partendo da $x<=|x|$ e $y<=|y|$
se "ragioni" sulla traccia di quello che ho fatto io e sostituisci (1) con (3) e (2) con (4) a che conclusione arrivi?
ok....
Dunque alla 3) aggiungo la stessa quantità al primo e al secondo membro $-y-x<=|x|-y$, poi essendo $-y<=|y|$ posso scrivere :$-x-y<=|x|+|y|$, quindi ho ottenuto:
$x+y<=|x|+|y|$
$-x-y<=|x|+|y|$
ora le posso unire, non so se è adatto come terminologia, però per rendere l'idea forse è giusto, tornando alla dimostrazione, le due precedenti le posso scrivere come:
$-x-y<=|x|+|y|<=x+y$... poi avevo pensato, dato che un numero negativo ad esempio $-a$ può essere anche scritto come $-|a|$
e quindi
$-(|x|+|y|)<=|x|+|y|<=|x|+|y|$ che è lo stesso che scrivere $-(|x|+|y|)<=x+y<=|x|+|y|$ giusto?
Dunque alla 3) aggiungo la stessa quantità al primo e al secondo membro $-y-x<=|x|-y$, poi essendo $-y<=|y|$ posso scrivere :$-x-y<=|x|+|y|$, quindi ho ottenuto:
$x+y<=|x|+|y|$
$-x-y<=|x|+|y|$
ora le posso unire, non so se è adatto come terminologia, però per rendere l'idea forse è giusto, tornando alla dimostrazione, le due precedenti le posso scrivere come:
$-x-y<=|x|+|y|<=x+y$... poi avevo pensato, dato che un numero negativo ad esempio $-a$ può essere anche scritto come $-|a|$
e quindi
$-(|x|+|y|)<=|x|+|y|<=|x|+|y|$ che è lo stesso che scrivere $-(|x|+|y|)<=x+y<=|x|+|y|$ giusto?
"domy90":
ok....
Dunque alla 3) aggiungo la stessa quantità al primo e al secondo membro $-y-x<=|x|-y$, poi essendo $-y<=|y|$ posso scrivere :$-x-y<=|x|+|y|$, quindi ho ottenuto:
$x+y<=|x|+|y|$
$-x-y<=|x|+|y|$
Fin qui va benissimo
"domy90":
ora le posso unire, non so se è adeto cm terminologia, però per rendere l'idea forse è giusto, tornando alla dimostrazione, le due precedenti le posso scrivere come:
$-x-y<=|x|+|y|<=x+y$...
Non le puoi scrivere come dici tu
abbiamo detto che siamo giunti a questo risultato
$x+y<=|x|+|y|$ che è in contraddizione con $-x-y<=|x|+|y|<=x+y$
Comunque siamo quasi alla fine.
Riordinando le idee
abbiamo detto che $|x|=max{-x,x}$
questo vuol dire che posso scrivere che per la definizione che abbiamo dato di valore assoluto si può dire che:
$|a+b+c+d|=max{a+b+c+d,-(a+b+c+d)}$
$|y|=max{y,-y}$
$|m+n|=max{m+n,-(m+n)}$
Siamo arrivati a poter affermare che
$-x-y<=|x|+|y|$ e $x+y<=|x|+|y|$
$-(x+y)<=|x|+|y|$ e $x+y<=|x|+|y|$
se $|x|+|y|$ è maggiore o uguale di $-(x+y)$ e di $x+y$
posso dire che $|x|+|y|>=.... $?
Per istinto mi viene da dire che è maggiore o uguale al $|x+y|$ quello che però non ho capito è quella meno che sparisce....che fine fa?
La tua domanda mi lascia un pò perplesso.
A quale meno ti riferisci?
Se effettivamente qualcosa è sparito... come puoì affidarti all'istinto?
A quale meno ti riferisci?
Se effettivamente qualcosa è sparito... come puoì affidarti all'istinto?
Scusate ragazzi se mi intrometto. Siete arrivati ormai alla sesta pagina e nonostante la pazienza di krek, paragonabile solo a quella di Giobbe, ancora non si è concluso nulla. Mi permetto di suggerire, domy, che è inutile continuare. Hai evidentemente delle gravi lacune sui fondamenti del calcolo simbolico e dei numeri reali, che devi assolutamente colmare se vuoi andare avanti. Perché non ti prendi qualche giorno e rivedi bene questi argomenti, magari dai libri di scuola superiore?
"krek":
... $|x|+|y|$ è maggiore o uguale di $-(x+y)$ e di $x+y$
posso dire che $|x|+|y|>=$....?
mi riferisco al meno $-(x+y)$; quando poi vado a dire che $|x|+|y|>=|x+y|$ scompare, perchè lo posso omettre?.....
"dissonance":
Mi permetto di suggerire, domy, che è inutile continuare. Hai evidentemente delle gravi lacune sui fondamenti del calcolo simbolico e dei numeri reali, che devi assolutamente colmare se vuoi andare avanti. Perché non ti prendi qualche giorno e rivedi bene questi argomenti, magari dai libri di scuola superiore?
Si ne sono consapevole purtroppo ho veramente gravi difficotà su questi, io provo con le dimostrazioni perchè pensavo che così recuperavo e allo stesso tempo non rimanevo indietro rispetto agli altri....
se avete qualche link da consigliarmi è meglio che di libri ne ho pochi e niente...
chiedo scusa a krek e lo ringrazio per la sua pazienza......
Colma prima le lacune e poi vai avanti.
Andrai un pò più piano o partirai dopo ma sicuramente arriverai da qualche parte.
Se invece prosegui su questa strada rischi solo di rimaner fermo e di fare solo confusione.
Il fatto che tu abbia problemi a interpretare che $-x-y = -(x+y)$ è una falla non da poco.
Ritornando alla tua domanda:
1- $|x|+|y|$ è maggiore o uguale di $-(x+y)$ e di $(x+y)$
2- Per definizione ho : $|x+y|=max{(x+y),-(x+y)}$
Essendo $|x|+|y|$ maggiore o uguale di $-(x+y)$ e di $x+y$,
$|x|+|y|$ è maggiore di $max{(x+y),-(x+y)}$
concludendo quindi ho $|x|+|y|>=|x+y|$.
Andrai un pò più piano o partirai dopo ma sicuramente arriverai da qualche parte.
Se invece prosegui su questa strada rischi solo di rimaner fermo e di fare solo confusione.
Il fatto che tu abbia problemi a interpretare che $-x-y = -(x+y)$ è una falla non da poco.
Ritornando alla tua domanda:
1- $|x|+|y|$ è maggiore o uguale di $-(x+y)$ e di $(x+y)$
2- Per definizione ho : $|x+y|=max{(x+y),-(x+y)}$
Essendo $|x|+|y|$ maggiore o uguale di $-(x+y)$ e di $x+y$,
$|x|+|y|$ è maggiore di $max{(x+y),-(x+y)}$
concludendo quindi ho $|x|+|y|>=|x+y|$.
"krek":
Il fatto che tu abbia problemi a interpretare che $-x-y = -(x+y)$ è una falla non da poco.
ma no, non è questo quello che non capivo; lo so che si mette in evidenza il meno, o meglio so che quando davanti ad una parentesi c'è il meno esso cambia il segno a tutti gli elementi, quindi $-x-y$ può essere visto come $-(x+y)$ questo lo so....mi sono espresso male io, scusami...
quello che non capivo e che mi hai appena chiarito è:
"krek":
1- $|x|+|y|$ è maggiore o uguale di $-(x+y)$ e di $(x+y)$
2- Per definizione ho : $|x+y|=max{(x+y),-(x+y)}$
Essendo $|x|+|y|$ maggiore o uguale di $-(x+y)$ e di $x+y$,
$|x|+|y|$ è maggiore di $max{(x+y),-(x+y)}$
concludendo quindi ho $|x|+|y|>=|x+y|$.
cioè non capivo è che fine faceva $-(x+y)$ nella conclusione..... però ora ho capito che $-(x+y)$ e $(x+y)$ non sono altro che la definizione di valore assoluto cioè $|x+y|=max{(x+y),-(x+y)}$....
Si credo che tu abbia capito.
Effettivamente c'è stato "un equivoco sul meno", nonostante ciò le lacune restano.
Ci sono delle lacune linguistiche dal punto di vista semantico.
Per esempio quando scrivi:
Intuitivamente capisco cosa dici e credo che tu abbia capito la conclusione della dimostrazione.
Tieni presente però che se dici a qualcuno:-"$-(x+y)$ e $(x+y)$ non sono altro che la definizione di valore assoluto."
La risposta che ti danno è "no".
Effettivamente c'è stato "un equivoco sul meno", nonostante ciò le lacune restano.
Ci sono delle lacune linguistiche dal punto di vista semantico.
Per esempio quando scrivi:
"domy90":
..... però ora ho capito che $-(x+y)$ e $(x+y)$ non sono altro che la definizione di valore assoluto cioè $|x+y|=max{(x+y),-(x+y)}$....
Intuitivamente capisco cosa dici e credo che tu abbia capito la conclusione della dimostrazione.
Tieni presente però che se dici a qualcuno:-"$-(x+y)$ e $(x+y)$ non sono altro che la definizione di valore assoluto."
La risposta che ti danno è "no".
come posso dire, sono la coppia di numeri che assume il valore assoluto con $x+y>=0$ e $x+y<0$?
Essendo $|x|+|y|$ maggiore o uguale di $-(x+y)$ e di $x+y$,
$|x|+|y|$ è maggiore di $max{(x+y),-(x+y)}$
esseno $max{(x+y),-(x+y)}$ uguale al $|x+y|$
concludendo che $|x|+|y|≥|x+y|$.
la definizione di valore assoluto di $x+y$ é: "il valore assoluto di $x+y$ è il massimo fra i valori $x+y$ e $-(x+y)$".
Potevo anche semplicemente scrivere (come ho già fatto in tutti i modi possibili) che: $|x+y|=max{x+y,-(x+y)}$ (che si legge come ho scritto fra virgolette)
In linea di massima si dice che il valore assoluto di un numero è uguale al più grande fra il numero stesso e il suo opposto.
Ora non ho più banane.
Mi rifiuto di rispondere a qualsiasi altra domanda in merito.
Mi appello al 5° emendamento o all'art 64 c.p.p.
$|x|+|y|$ è maggiore di $max{(x+y),-(x+y)}$
esseno $max{(x+y),-(x+y)}$ uguale al $|x+y|$
concludendo che $|x|+|y|≥|x+y|$.
la definizione di valore assoluto di $x+y$ é: "il valore assoluto di $x+y$ è il massimo fra i valori $x+y$ e $-(x+y)$".
Potevo anche semplicemente scrivere (come ho già fatto in tutti i modi possibili) che: $|x+y|=max{x+y,-(x+y)}$ (che si legge come ho scritto fra virgolette)
In linea di massima si dice che il valore assoluto di un numero è uguale al più grande fra il numero stesso e il suo opposto.
Ora non ho più banane.
Mi rifiuto di rispondere a qualsiasi altra domanda in merito.
Mi appello al 5° emendamento o all'art 64 c.p.p.
ok tranquillo tutto apposto ho concluso pure io, non ho più domande, sei stato veramente gentile e chiaro......
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