Der.Direzionale
Buona domenica a tutti, ho questa funzione:
$f(x,y)=ln(xlny)$
Dovrei calcolare il dominio e specificare di che insieme si tratta... fatto!
Poi mi chiede di calcolare la der.direzionale nel punto $(-1,1/e)$ in ogni direzione
Applico la definizione ma la funzione nel punto $y=1/e$ non è definita... come faccio?
Poi mi chiede di determinare la retta lungo la quale la pendeza della funzione ha la massima crescita... sugli appunti e sul libro non ho niente del genere, su internet non trovo niente... mi potreste aiutare per favore?
Grazie
$f(x,y)=ln(xlny)$
Dovrei calcolare il dominio e specificare di che insieme si tratta... fatto!
Poi mi chiede di calcolare la der.direzionale nel punto $(-1,1/e)$ in ogni direzione
Applico la definizione ma la funzione nel punto $y=1/e$ non è definita... come faccio?
Poi mi chiede di determinare la retta lungo la quale la pendeza della funzione ha la massima crescita... sugli appunti e sul libro non ho niente del genere, su internet non trovo niente... mi potreste aiutare per favore?
Grazie
Risposte
hai ragione... scrivendo non ci avevo fatto caso (anche perchè sincermante non ho proprio idea di cosa sia) rileggendo si... sorry
Bene, allora quello che devi fare è molto semplice: le derivate direzionali, in un punto fissato, sono nella direzione di massima pendenza quando il versore direzione della derivata è parallelo al gradiente nel punto e ha lo stesso verso. Ora, sai calcolare il vettore gradiente in quel punto?
il gradiente dovrebbe avere queste componenti $(-1,-e)$
Esatto, quindi qual è la retta di massima pendenza?
non ho capito bene :/ dovrei calcolare la retta che passa tra $(-1,1/e)$ e $(-1,-e)$?
No: la retta deve passare per il punto $(-1,1/e)$ ed avere $(-1,-e)$ come vettore direzione.
dovrebbe essere $x-ey+2=0$?
No. Se indichi con $(x,y)$ un punto qualsiasi della retta, allora deve avvenire che
$$(x+1,y-1/e)=\lambda(-1,-e)\ \Rightarrow\ x+1=-\lambda,\ y-1/e=-e\lambda$$
Da qui, eliminando $\lambda$ si trova
$y-1/e=e(x+1)\ \Rightarrow\ e^2 x-ey+e+1=0$$
$$(x+1,y-1/e)=\lambda(-1,-e)\ \Rightarrow\ x+1=-\lambda,\ y-1/e=-e\lambda$$
Da qui, eliminando $\lambda$ si trova
$y-1/e=e(x+1)\ \Rightarrow\ e^2 x-ey+e+1=0$$
ok grazie mille gentilissimo
Ciao
approfitto a questo punto per fare alcune domande.
Ho cercato di fare lo studio del segno di questa funzione e mi è venuto che lungo la linea $y=e^(1/x)$ la nostra funzione vale 0. Questa curva si divide in due rami, uno per ognuna delle due regioni del dominio che abbiamo determinato prima.
Nel I quadrante abbiamo una curva che ha come asintoti l'asse y ($x=0$) e la retta $y=1$; sopra questa curva abbiamo valori positivi, sotto negativi, in particolare quando ci avviciniamo agli asintoti si scende a $-oo$
Nella striscia (x negativo) abbiamo una curva con concavità rivolta verso il basso che tende a +1 quando x tende a $-oo$, il mio problema è stabilire come si comporta quando ci avviciniamo all'origine...
approfitto a questo punto per fare alcune domande.
Ho cercato di fare lo studio del segno di questa funzione e mi è venuto che lungo la linea $y=e^(1/x)$ la nostra funzione vale 0. Questa curva si divide in due rami, uno per ognuna delle due regioni del dominio che abbiamo determinato prima.
Nel I quadrante abbiamo una curva che ha come asintoti l'asse y ($x=0$) e la retta $y=1$; sopra questa curva abbiamo valori positivi, sotto negativi, in particolare quando ci avviciniamo agli asintoti si scende a $-oo$
Nella striscia (x negativo) abbiamo una curva con concavità rivolta verso il basso che tende a +1 quando x tende a $-oo$, il mio problema è stabilire come si comporta quando ci avviciniamo all'origine...
Abbiamo $\lim_{x\to 0^-} e^{1/x}=0^+$, pertanto la curva presenta una discontinuità eliminabile. D'altra parte, invece, la funzione presenta una singolarità a $-\infty$.
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