Der.Direzionale
Buona domenica a tutti, ho questa funzione:
$f(x,y)=ln(xlny)$
Dovrei calcolare il dominio e specificare di che insieme si tratta... fatto!
Poi mi chiede di calcolare la der.direzionale nel punto $(-1,1/e)$ in ogni direzione
Applico la definizione ma la funzione nel punto $y=1/e$ non è definita... come faccio?
Poi mi chiede di determinare la retta lungo la quale la pendeza della funzione ha la massima crescita... sugli appunti e sul libro non ho niente del genere, su internet non trovo niente... mi potreste aiutare per favore?
Grazie
$f(x,y)=ln(xlny)$
Dovrei calcolare il dominio e specificare di che insieme si tratta... fatto!
Poi mi chiede di calcolare la der.direzionale nel punto $(-1,1/e)$ in ogni direzione
Applico la definizione ma la funzione nel punto $y=1/e$ non è definita... come faccio?
Poi mi chiede di determinare la retta lungo la quale la pendeza della funzione ha la massima crescita... sugli appunti e sul libro non ho niente del genere, su internet non trovo niente... mi potreste aiutare per favore?
Grazie
Risposte
A me invece sembra definita benissimo nel punto $(-1,1/e)$. Sicuro di aver fatto bene il dominio? Esso dipende dalle due condizioni seguenti:
$$x\ln y>0,\ y>0$$
che possono essere scisse nei due casi
1) $x>0,\ \ln y>0,\ y>0$
2) $x<0,\ \ln y<0,\ y>0$
$$x\ln y>0,\ y>0$$
che possono essere scisse nei due casi
1) $x>0,\ \ln y>0,\ y>0$
2) $x<0,\ \ln y<0,\ y>0$
"Vsc":
$f(x,y)=ln(xlny)$
Dovrei calcolare il dominio e specificare di che insieme si tratta... fatto!
Mi dici che cosa hai ottenuto? Così lo confronto con il mio risultato
io avevo fatto $lny>(-x)$ quindi $y>1/e^x$ che dovrebbe indicare comunque la stessa cosa no?
Poi ho capito perchè non mi risultata la funzione in quel punto... facevo una somma invece di una moltiplicazione ottenendo $ln(-2)$ invece che $ln1$
Ma mi rimane il problema nel determinare la retta
Poi ho capito perchè non mi risultata la funzione in quel punto... facevo una somma invece di una moltiplicazione ottenendo $ln(-2)$ invece che $ln1$
Ma mi rimane il problema nel determinare la retta
"gio73":
[quote="Vsc"]
$f(x,y)=ln(xlny)$
Dovrei calcolare il dominio e specificare di che insieme si tratta... fatto!
Mi dici che cosa hai ottenuto? Così lo confronto con il mio risultato[/quote]
come ho detto ho ottenuto che il dominio è ogni coppia $(x,y)$ tale che $y>1/e^x$
A me non torna così...
in accordo con quanto ha scritto ciampax dobbiamo assicurarci che $y$ sia positivo, sicchè prendiamo in considerazione solo I e II quadrante (asse x escluso), escludiamo poi anche l'asse y (anche x deve essere diverso da zero altrimento l'argomento del logaritmo più esterno diventa 0 e non ci va bene). Ora ci occupiamo della parte $xlny$, già abbiamo escluso $x=0$, ora dobbiamo escludere anche $lny=0$ e ciò accade se $y=1$, quindi questa retta è da togliere. Infine dobbiamo fare in modo che il prodotto $xlny$ sia positivo e ciò accade se entrambi i fattori($x$ e $lny$) sono positivi o entrambi negativi, sei d'accordo?
in accordo con quanto ha scritto ciampax dobbiamo assicurarci che $y$ sia positivo, sicchè prendiamo in considerazione solo I e II quadrante (asse x escluso), escludiamo poi anche l'asse y (anche x deve essere diverso da zero altrimento l'argomento del logaritmo più esterno diventa 0 e non ci va bene). Ora ci occupiamo della parte $xlny$, già abbiamo escluso $x=0$, ora dobbiamo escludere anche $lny=0$ e ciò accade se $y=1$, quindi questa retta è da togliere. Infine dobbiamo fare in modo che il prodotto $xlny$ sia positivo e ciò accade se entrambi i fattori($x$ e $lny$) sono positivi o entrambi negativi, sei d'accordo?
sisi in effetti ero un po' fuori strada
Fammi sapere cosa ti viene, poi ci confrontiamo.
la derivata dir. dovrebbe essere il limite di $ln((-1+t\alpha)(ln(1/e + t\beta)))/t$ con $t$ che tende a $0$ che è uguale a $-\alpha$ e poi non so più procedere
mi riferivo al dominio
le coppie $(x,y)$ tali che $x>0,y>1$ e $x<0,0
Son d'accordo. Disegnando ottengo nel II quadrande una striscia compresa tra le rette $y=0$ e $y=1$, frontiera esclusa. Nel I quadrante la porzione superiore a $y=1$, sempre frontiera esclusa. Per descrivere il dominio direi che non è connesso, non è chiuso, non è limitato. Se ho sbagliato Ciampax mi correggerà.
Mettendo il nostro punto $P(-1;1/e)$ vediamo che si trova dentro la striscia del II quadrante.
Mettendo il nostro punto $P(-1;1/e)$ vediamo che si trova dentro la striscia del II quadrante.
per quanto può servire la penso come te quindi posso procedere con il calcolo della derivata?
quindi posso procedere con il calcolo della derivata?
Sì
ora però affidati a ciampax, buona serata.
ora però affidati a ciampax, buona serata.
Dominio corretto. Ora, l'impostazione per il calcolo della derivata direzionale mi sembra corretto, per cui il limite da calcolare è il seguente
$$\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left[(-1+h\alpha)\ln\left(\frac{1}{e}+h\beta\right)\right]$$
Per calcolarlo, possiamo usare il limite notevole $\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1$. Da esso infatti, ricaviamo per confronto locale la sostituzione di $\ln(1+t)$ con $t$: pertanto si ha
$$=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left\{(-1+h\alpha)\ln\left[\frac{1}{e}\left(1+eh\beta\right)\right]\right\}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left\{(-1+h\alpha)\left[\ln\frac{1}{e}+\ln\left(1+eh\beta\right)\right]\right\}=\\ \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left\{(-1+h\alpha)\left[-1+eh\beta\right]\right\}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left\{1-(\alpha+e\beta)h+e\alpha\beta h^2\right\}=\lim_{h\to 0}\frac{-(\alpha+e\beta)h+e\alpha\beta h^2}{h}=-(\alpha+e\beta)$$
$$\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left[(-1+h\alpha)\ln\left(\frac{1}{e}+h\beta\right)\right]$$
Per calcolarlo, possiamo usare il limite notevole $\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1$. Da esso infatti, ricaviamo per confronto locale la sostituzione di $\ln(1+t)$ con $t$: pertanto si ha
$$=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left\{(-1+h\alpha)\ln\left[\frac{1}{e}\left(1+eh\beta\right)\right]\right\}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left\{(-1+h\alpha)\left[\ln\frac{1}{e}+\ln\left(1+eh\beta\right)\right]\right\}=\\ \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left\{(-1+h\alpha)\left[-1+eh\beta\right]\right\}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left\{1-(\alpha+e\beta)h+e\alpha\beta h^2\right\}=\lim_{h\to 0}\frac{-(\alpha+e\beta)h+e\alpha\beta h^2}{h}=-(\alpha+e\beta)$$
Ah hai raccolto $1/e$ nel secondo logaritmo, io pensavo che $(1/e+hβ)$ tendeveva a $1/e$ quindi il logartimo era $-1$ di conseguenza ottenevo $ln(1-\alphah)$ e qui usavo il confronto locale :/
Per la retta invece che faccio?
Per la retta invece che faccio?
Non ti viene in mente niente riguardo a "crescita massima" di funzioni?
Sinceramente no... dagli appunti che mi hanno dato penserei al vettore gradiente ma lo penso semplicemente per esclusione perchè c'è scritto solo come si calcola e non cos'è
Una curiosità, prima di andare avanti: ma quella che hai scritto è la richiesta completa o c'è dell'altro?
la vuole sapere nel punto
Il punto che ti ha fornito prima? E perché non lo specifichi? Per come lo hai scritto, mica si capiva, sai?
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