Der.Direzionale

Vsc1
Buona domenica a tutti, ho questa funzione:
$f(x,y)=ln(xlny)$
Dovrei calcolare il dominio e specificare di che insieme si tratta... fatto!
Poi mi chiede di calcolare la der.direzionale nel punto $(-1,1/e)$ in ogni direzione
Applico la definizione ma la funzione nel punto $y=1/e$ non è definita... come faccio?
Poi mi chiede di determinare la retta lungo la quale la pendeza della funzione ha la massima crescita... sugli appunti e sul libro non ho niente del genere, su internet non trovo niente... mi potreste aiutare per favore?
Grazie

Risposte
ciampax
A me invece sembra definita benissimo nel punto $(-1,1/e)$. Sicuro di aver fatto bene il dominio? Esso dipende dalle due condizioni seguenti:
$$x\ln y>0,\ y>0$$
che possono essere scisse nei due casi
1) $x>0,\ \ln y>0,\ y>0$
2) $x<0,\ \ln y<0,\ y>0$

gio73
"Vsc":

$f(x,y)=ln(xlny)$
Dovrei calcolare il dominio e specificare di che insieme si tratta... fatto!

Mi dici che cosa hai ottenuto? Così lo confronto con il mio risultato

Vsc1
io avevo fatto $lny>(-x)$ quindi $y>1/e^x$ che dovrebbe indicare comunque la stessa cosa no?
Poi ho capito perchè non mi risultata la funzione in quel punto... facevo una somma invece di una moltiplicazione ottenendo $ln(-2)$ invece che $ln1$ :D
Ma mi rimane il problema nel determinare la retta

Vsc1
"gio73":
[quote="Vsc"]
$f(x,y)=ln(xlny)$
Dovrei calcolare il dominio e specificare di che insieme si tratta... fatto!

Mi dici che cosa hai ottenuto? Così lo confronto con il mio risultato[/quote]
come ho detto ho ottenuto che il dominio è ogni coppia $(x,y)$ tale che $y>1/e^x$

gio73
A me non torna così...
in accordo con quanto ha scritto ciampax dobbiamo assicurarci che $y$ sia positivo, sicchè prendiamo in considerazione solo I e II quadrante (asse x escluso), escludiamo poi anche l'asse y (anche x deve essere diverso da zero altrimento l'argomento del logaritmo più esterno diventa 0 e non ci va bene). Ora ci occupiamo della parte $xlny$, già abbiamo escluso $x=0$, ora dobbiamo escludere anche $lny=0$ e ciò accade se $y=1$, quindi questa retta è da togliere. Infine dobbiamo fare in modo che il prodotto $xlny$ sia positivo e ciò accade se entrambi i fattori($x$ e $lny$) sono positivi o entrambi negativi, sei d'accordo?

Vsc1
sisi in effetti ero un po' fuori strada :D

gio73
Fammi sapere cosa ti viene, poi ci confrontiamo.

Vsc1
la derivata dir. dovrebbe essere il limite di $ln((-1+t\alpha)(ln(1/e + t\beta)))/t$ con $t$ che tende a $0$ che è uguale a $-\alpha$ e poi non so più procedere

gio73
mi riferivo al dominio

Vsc1
le coppie $(x,y)$ tali che $x>0,y>1$ e $x<0,0

gio73
Son d'accordo. Disegnando ottengo nel II quadrande una striscia compresa tra le rette $y=0$ e $y=1$, frontiera esclusa. Nel I quadrante la porzione superiore a $y=1$, sempre frontiera esclusa. Per descrivere il dominio direi che non è connesso, non è chiuso, non è limitato. Se ho sbagliato Ciampax mi correggerà.

Mettendo il nostro punto $P(-1;1/e)$ vediamo che si trova dentro la striscia del II quadrante.

Vsc1
per quanto può servire la penso come te :D quindi posso procedere con il calcolo della derivata?

gio73

ora però affidati a ciampax, buona serata.

ciampax
Dominio corretto. Ora, l'impostazione per il calcolo della derivata direzionale mi sembra corretto, per cui il limite da calcolare è il seguente
$$\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left[(-1+h\alpha)\ln\left(\frac{1}{e}+h\beta\right)\right]$$
Per calcolarlo, possiamo usare il limite notevole $\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1$. Da esso infatti, ricaviamo per confronto locale la sostituzione di $\ln(1+t)$ con $t$: pertanto si ha
$$=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left\{(-1+h\alpha)\ln\left[\frac{1}{e}\left(1+eh\beta\right)\right]\right\}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left\{(-1+h\alpha)\left[\ln\frac{1}{e}+\ln\left(1+eh\beta\right)\right]\right\}=\\ \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left\{(-1+h\alpha)\left[-1+eh\beta\right]\right\}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left\{1-(\alpha+e\beta)h+e\alpha\beta h^2\right\}=\lim_{h\to 0}\frac{-(\alpha+e\beta)h+e\alpha\beta h^2}{h}=-(\alpha+e\beta)$$

Vsc1
Ah hai raccolto $1/e$ nel secondo logaritmo, io pensavo che $(1/e+hβ)$ tendeveva a $1/e$ quindi il logartimo era $-1$ di conseguenza ottenevo $ln(1-\alphah)$ e qui usavo il confronto locale :/
Per la retta invece che faccio?

ciampax
Non ti viene in mente niente riguardo a "crescita massima" di funzioni?

Vsc1
Sinceramente no... dagli appunti che mi hanno dato penserei al vettore gradiente ma lo penso semplicemente per esclusione perchè c'è scritto solo come si calcola e non cos'è

ciampax
Una curiosità, prima di andare avanti: ma quella che hai scritto è la richiesta completa o c'è dell'altro?

Vsc1
la vuole sapere nel punto

ciampax
Il punto che ti ha fornito prima? E perché non lo specifichi? Per come lo hai scritto, mica si capiva, sai?

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