Delucidazioni teorema massimo e minimo limite (valori di aderenza)

[dattolico_007]

Ho difficoltà nel capire la dimostrazione del seguente teorema.
Sia $(a_n)_(n\inN)$ una successione di numeri reali. Poniamo $L=lim''_(n->+oo)(an)$ e $l=lim'_(n->+oo)(an)$ allora $ L$ e $l$ sono rispettivamente il più grande e il più piccolo valore di aderenza per la successione.
Procede analizzando il caso in cui $L$ è il più grande valore di aderenza per $(a_n)_(n\inN)$ considerando due casi:
1) La successione non è limitata superiormente quindi per definizione il massimo limite è $+oo$
2) La successione è limitata superiormente e distingue due ulteriori casi:
2.1) $L=-oo$ e si dimostra essere anche l'unico valore di aderenza in quanto la successione diverge negativamente.
2.2) $L\in R$. I miei dubbi sono legati a questo passaggio. Si muove così:
Supponiamo che $L\in R$. $L$ risulta valore di aderenza poiché per la caratterizzazione sul massimo limite si cha che $\forall \epsilon >0 : L-epsilon0 : a_n0: L-epsilon Poi dice: verifichiamo che se $L\in R$ allora $L$ è l'unico valore di aderenza (secondo me ho preso male gli appunti. Se penso ad una successione tipo $(-1)^n$ è immediato che i valori di aderenza siano 2 ed entrambi in R). Lo dimostra così:
Supponiamo per assurdo che $\exists y \in R$ valore di aderenza per la successione tale che $L0$ tale che $L+epsilon>alpha$. Per la caratterizzazione di massimo limite $a_nalpha$ per un numero finito di indici da cui $y$ non può essere un valore di aderenza.
Non riesco a capire il passaggio logico che c'è.
Può essere che poiché $y$ è valore di aderenza e quindi $\forall V \in I_y \forall k in N, \exists n \in N : a_n \in V$ e che se prendo un intorno di $y$ del tipo $V=[alpha,+oo)$ avrò che $a_n >alpha$ e quindi $a_n \in V$ solo per un numero finito di indici venendo meno la definizione di valore di aderenza in quanto dovrebbe essere vero per infiniti indici?
Poi di come possa essere unico il valore di aderenza se è reale, ancora non mi è chiaro.
Vi ringrazio anticipatamente per il vostro tempo.
Buona serata

[otta96]

Si, tutto giusto.