Definizione non formale di punto di accumulazione
Salve a tutti, non mi è ben chiaro il concetto di punto di accumulazione. Qualcuno riesce a spiegarmi in maniera non formale in cosa consiste. Ho letto sia la definizione "classica" che parla di intorno di $x_0$, sia quella consigliata dal mio professore che utilizzando la definizione di limite di successione afferma che $x_0$ è punto di accumulazione di $AsubeRR$ se esiste una successione ${x_n}subeA$ con $x_n!=x_0$ tale che $\lim_{n \to \infty}x_n=x_0$.
Mi potreste fare degli esempi indicandomi quali sono i punti di accumulazione di almeno un paio di insiemi? Ad esempio, per l'insieme R tutti i suoi punti sono di accumulazione? E lo sono anche $+\infty$ e $-\infty$?
Mi potreste fare degli esempi indicandomi quali sono i punti di accumulazione di almeno un paio di insiemi? Ad esempio, per l'insieme R tutti i suoi punti sono di accumulazione? E lo sono anche $+\infty$ e $-\infty$?
Risposte
Ciao,
Un punto $p$ appartenente o no ad un insieme infinito $X$ é di accumulazione per $X$ se qualsiasi intorno prendi di $p$ ci trovi sempre infiniti punti di $X$.
Percio' ogni punto di $RR$ é di accumulazione, e nessun punto di $ZZ$ o di $NN$ é di accumulazione.
Per quanto riguarda $+- infty$, io mi limiterei a dire che ogni punto di $RR$ é di accumulazione..
Saluti!
Un punto $p$ appartenente o no ad un insieme infinito $X$ é di accumulazione per $X$ se qualsiasi intorno prendi di $p$ ci trovi sempre infiniti punti di $X$.
Percio' ogni punto di $RR$ é di accumulazione, e nessun punto di $ZZ$ o di $NN$ é di accumulazione.
Per quanto riguarda $+- infty$, io mi limiterei a dire che ogni punto di $RR$ é di accumulazione..
Saluti!
Più e meno infinito sono punti di accumulazione per R ma non appartengono all'insieme!
vediamo se sai dirci perchè in $ZZ$ e $NN$ non ci sono punti di accumulazione!! 
"paolotesla91":
vediamo se sai dirci perchè in $ZZ$ e $NN$ non ci sono punti di accumulazione!!
Attenzione alle sottigliezze!
Punti di accumulazione per $NN$ e $ZZ$ ce ne sono!
sì ma non stanno in N e Z giusto?
E poi tu intendi +infinito per N e più e meno infinito per Z? (spero di non aver detto una boiata assurda, in ogni caso non ne sono convinto!)
E poi tu intendi +infinito per N e più e meno infinito per Z? (spero di non aver detto una boiata assurda, in ogni caso non ne sono convinto!)
Dici bene, Giuly, però sono comunque punti di accumulazione, come lo sono per $RR$!
Beh ma, stavo pensando, considerando la bolla di raggio 1/2 in N o Z ho che nessun punto è contenuto in questa bolla, anche se è centrata in quei due punti! Come si spiega?
Sulla questione "$+-infty$ punti di accumulazione per $RR$" io sono d'accordo con Ravok, meglio sorvolare. Perché è una cosa vera ma in un senso non proprio ovvio: bisogna infatti introdurre una topologia su $[-infty, +infty]$ per poter formalizzare questo concetto. Non è niente di extraterrestre, ma almeno all'inizio se ne può fare a meno.
Non ho capito cosa vuoi dire, scusa.. Sarà l'orario XD
Domani mattina ti rispondo, a mente fresca
Buona notte!
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Buona notte!
Per definizione un punto p di accumulazione è tale se: per ogni r>0 la bolla di raggio r centrata in p contiene almeno un punto diverso da p. Quindi in N se io prendo la bolla "centrata in +infinito" (e riconosco che è una cosa oscena da dire) di raggio 1/2, questa non contiene nessun punto!
E poi il tuo discorso, Dissonance, non vale anche su N e Z?
Ultima domanda, la topologia da introdurre in R di cui parli è per caso la metrica particolare che fa sì che R esteso sia compatto? Sul mio libro la chiamano "d-star".
E poi il tuo discorso, Dissonance, non vale anche su N e Z?
Ultima domanda, la topologia da introdurre in R di cui parli è per caso la metrica particolare che fa sì che R esteso sia compatto? Sul mio libro la chiamano "d-star".
la bolla "centrata in +infinito"Ecco, appunto. Non si prendono "bolle" centrate in +infinito, o meglio si possono pure prendere ma rispetto alla metrica che il tuo libro chiama $d^{star}$ (si è proprio lei). Queste "bolle" non sono proprio qualcosa di intuitivo come le bolle ordinarie che prendi rispetto alla metrica usuale. E nemmeno sono utili: nelle applicazioni la metrica "buona" è quella usuale, questa qui serve solo per garantirti che ci sia una topologia non troppo disgraziata su $RRuu{-infty, +infty}$, ma poi in concreto non serve a nulla.
Comunque, il discorso vale anche su $NN$ e $ZZ$, certo. Questi sono insiemi discreti, ovvero ogni loro punto è isolato. Inoltre essi non hanno punti di accumulazione (anche qua, rispetto alla topologia usuale e non rispetto alla topologia estesa che complica un po' il discorso).
Beh ma comunque è sbagliato dire che +infiinito è di accumulazione per N nella metrica usuale, no? Ovviamente in d-star più infinito è di accumulazione anche per N, ma nella metrica usuale, in un certo senso, lo è per R ma non per N. O sbaglio?
Nella metrica usuale $+infty, -infty$ non esistono proprio. Che significherebbe altrimenti una scrittura come $|+infty|$? Una metrica deve assumere sempre valori finiti, non può mai essere infinita altrimenti non è più una metrica.
Hai ragione! Ok, ora ci sono!
Mi rendo conto solo ora che forse il vostro discorso è ad un livello molto più alto del mio!
Senza aver mai studiato topologia come si deve, mi rimetto alle nozioni di analisi 1 per cui un punto interno o esterno ad un insieme $A$ è di accumulazione per $A$ se ogni intorno di tale punto contiene almeno un altro elemento di $A$. A quel punto si definisce "Intorno di $+oo$" un qualunque intervallo $[a,+oo)$ con $a \in A$.
Da questa definizione segue che $+oo$ è di accumulazione per $NN$.
Come ulteriore argomentazione a mio favore, mi viene in mente che quando faccio il limite di successione lo faccio facendo tendere la variabile $n \in NN$ a $+oo$, ed un passaggio al limite si può fare solo tendendo ad un punto di accumulazione!
Senza aver mai studiato topologia come si deve, mi rimetto alle nozioni di analisi 1 per cui un punto interno o esterno ad un insieme $A$ è di accumulazione per $A$ se ogni intorno di tale punto contiene almeno un altro elemento di $A$. A quel punto si definisce "Intorno di $+oo$" un qualunque intervallo $[a,+oo)$ con $a \in A$.
Da questa definizione segue che $+oo$ è di accumulazione per $NN$.
Come ulteriore argomentazione a mio favore, mi viene in mente che quando faccio il limite di successione lo faccio facendo tendere la variabile $n \in NN$ a $+oo$, ed un passaggio al limite si può fare solo tendendo ad un punto di accumulazione!
@Raptorista: Tutto corretto. Ci sono un po' di dettagli da sistemare: bisogna dimostrare che questa definizione di "intorno di $+infty, -infty$" è consistente e proviene da una topologia metrizzabile (cosa che si fa con la distanza $d^star$ del libro di Giuly). Ma una volta verificato questo si ragiona esattamente come fai tu, con la tranquillità di non andare incontro a paradossi.
Se non si è particolarmente interessati alla topologia generale si può anche accettare questo risultato e usarlo nella pratica a cuor leggero.
Se non si è particolarmente interessati alla topologia generale si può anche accettare questo risultato e usarlo nella pratica a cuor leggero.
Bueno, grazie dissonance
"Raptorista":
[quote="paolotesla91"]vediamo se sai dirci perchè in $ZZ$ e $NN$ non ci sono punti di accumulazione!!
Attenzione alle sottigliezze!
Punti di accumulazione per $NN$ e $ZZ$ ce ne sono!
[/quote]Attenzione si alle sottigliezze... $NN$ e $ZZ$ non hanno punti di accumulazione. Se ti metti in $RR$, ovviamente tutti i punti che corrispondono agli interi sono di accumulazione, ma proprio perché sei in $RR$! Percio' puoi dire che $p$ intero è punto di accumulazione per $RR$.
Puoi costruire degli insiemi infiniti i cui elementi sono interi che abbiano punti di accumulazione, ma per farlo devi toglierti da $RR$ e costruirti una topologia a parte..
EDIT: Ops
si raptorista hai perfettamente ragione però volevo mi facesse questa ountualizzazione joe_abruzzi!! 
comunque sono d'accordo con dissonance anche se tuttavia per uno come me, e credo di parlare anche per joe che non abbiamo ancora studiato topologia sia corretto rispondere ad una domanda nel modo più completo possibile pur commettendo degli errori a noi giustificati in quanto profani nella materia!!
comunque sono d'accordo con dissonance anche se tuttavia per uno come me, e credo di parlare anche per joe che non abbiamo ancora studiato topologia sia corretto rispondere ad una domanda nel modo più completo possibile pur commettendo degli errori a noi giustificati in quanto profani nella materia!!
@paolotesla: ti chiedo scusa se ho interrotto un tuo ragionamento, non me n'ero accorto e non l'ho fatto apposta [e mi dispiace anche perché quando lo fanno gli altri con me la cosa non mi è troppo simpatica XD]
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