Curiosità su funzione di Dirichlet.
Buonasera,
volevo provare a dare un esempio di funzione definita in $A=[0,1]$, la quale abbia limite in ogni punto di $A$ e inoltre risulti discontinua in infiniti punti di $A$.
Ho pensato che una funzione che potrebbe soddisfare tale proprietà, sia la funzione di Dirichlet definta da:
\(\displaystyle D(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{se }x\mbox{ razionale} \\ 0, & \mbox{se }x\mbox{ irrazionale}
\end{cases} \)
in quanto risulta "almeno penso":
sia $x_0 in mathbb{Q}$ $lim_(x to x_0^-)f(x)=lim_(x to x_0^+)f(x)=0 ne f(x_0)=1$
sia $x_1 in mathbb{(R-Q)}$ $lim_(x to x_1^-)f(x)=lim_(x to x_1^+)f(x)=1 ne f(x_1)=0$
Cordiali saluti.
volevo provare a dare un esempio di funzione definita in $A=[0,1]$, la quale abbia limite in ogni punto di $A$ e inoltre risulti discontinua in infiniti punti di $A$.
Ho pensato che una funzione che potrebbe soddisfare tale proprietà, sia la funzione di Dirichlet definta da:
\(\displaystyle D(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{se }x\mbox{ razionale} \\ 0, & \mbox{se }x\mbox{ irrazionale}
\end{cases} \)
in quanto risulta "almeno penso":
sia $x_0 in mathbb{Q}$ $lim_(x to x_0^-)f(x)=lim_(x to x_0^+)f(x)=0 ne f(x_0)=1$
sia $x_1 in mathbb{(R-Q)}$ $lim_(x to x_1^-)f(x)=lim_(x to x_1^+)f(x)=1 ne f(x_1)=0$
Cordiali saluti.
Risposte
ciao galles,
quella funzione, per esempio, non ammette limite in alcun punto irrazionale
se così non fosse, dato un punto $x_0 in [0,1]cap(RRsetminusQQ)$ in cui $D$ ammetta limite si avrebbe che fissato $epsilon=1/2$ esisterebbe un certo $delta>0$ per cui
questo deve valere in tutti i punti di un intorno bucato di $x_0$ ma sappiamo che in quell'intorno almeno un razionale ci cade quindi si avrebbe $1<1/2$
quella funzione, per esempio, non ammette limite in alcun punto irrazionale
se così non fosse, dato un punto $x_0 in [0,1]cap(RRsetminusQQ)$ in cui $D$ ammetta limite si avrebbe che fissato $epsilon=1/2$ esisterebbe un certo $delta>0$ per cui
$0<|x-x_0| |D(x)-0|<1/2 => |D(x)|<1/2$
questo deve valere in tutti i punti di un intorno bucato di $x_0$ ma sappiamo che in quell'intorno almeno un razionale ci cade quindi si avrebbe $1<1/2$
Prendi una successione \((x_n) \subset ]0,1[\) che tende a $0$ in maniera strettamente monotòna (tanto per capirci) ed usala per "spezzettare" in maniera adeguata il grafico di una funzione costante.
Il trucco è scegliere decentemente le immagini degli $x_n$.
Il trucco è scegliere decentemente le immagini degli $x_n$.
Ah, comunque la funzione di Dirichlet $f$ non ha limite in nessun punto, infatti $AA\bar{x}\in[0,1]$ si ha $\text{liminf}_(x->\bar{x})f(x)=0!=1=text{limsup}_(x->\bar{x})f(x)$.
Ciao, grazie per le risposte.
@gugo82 non lo so se intendi questo
\(\displaystyle f(n)=\begin{cases} 1/n, & \mbox{se }n \in \mathbb{R-Q} \\ 1, & \mbox{se }n \in \mathbb{Q} \end{cases} \)
@gugo82 non lo so se intendi questo
\(\displaystyle f(n)=\begin{cases} 1/n, & \mbox{se }n \in \mathbb{R-Q} \\ 1, & \mbox{se }n \in \mathbb{Q} \end{cases} \)
Rileggi meglio cosa hai scritto, quella funzione ammette limite solo per $x=1$.
@galles: Secondo me ci sei quasi, ma non ti impappinare con \(n\) e \(x\). Considera la successione di numeri naturali \(1/n\) e definisci la funzione di variabile reale \(f(x)\);
\[
f(x):=\begin{cases} 1/n, & x= 1/n\ \text{per un }n\in\mathbb N, \\ 1, & \text{altrimenti}.\end{cases}\]
Immagino fosse questa la funzione che tu volevi definire.
In effetti questa funzione è discontinua in infiniti punti, ma non ammette limite per \(x\to 0\). Come si può rimediare?
\[
f(x):=\begin{cases} 1/n, & x= 1/n\ \text{per un }n\in\mathbb N, \\ 1, & \text{altrimenti}.\end{cases}\]
Immagino fosse questa la funzione che tu volevi definire.
In effetti questa funzione è discontinua in infiniti punti, ma non ammette limite per \(x\to 0\). Come si può rimediare?
"dissonance":
In effetti questa funzione è discontinua in infiniti punti, ma non ammette limite per \(x\to 0\). Come si può rimediare?
Appunto... A questo mi riferivo nello scrivere:
"gugo82":
Il trucco è scegliere decentemente le immagini degli $ x_n $.
Si più o meno, anche se la definizione che ho dato di $f$ non è molto chiara 
.
Comunque, $f$ nel punto $x=0$, potrebbe essere "almeno penso" definita nel seguente modo $f(x)=(2n)/(n+1)$, con $x=0$.
Se fosse correta la forma di $f$ oppure "l'idea", non riesco formalizzarla.
Ciao
.Comunque, $f$ nel punto $x=0$, potrebbe essere "almeno penso" definita nel seguente modo $f(x)=(2n)/(n+1)$, con $x=0$.
Se fosse correta la forma di $f$ oppure "l'idea", non riesco formalizzarla.
Ciao
Attento, galles90: il valore di $f(x)$ in $x=0$ deve essere un (unico!) numero reale, non può dipendere da $n$.
Proviamo a tracciare un diagramma (necessariamente incompleto) della $f$ suggerita da dissonance:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([0,1],[1,1]);
dot([1,1]); dot([0.5,0.5]); dot([0.333,0.333]); dot([0.25,0.25]); dot([0.2,0.2]); dot([0.167,0.167]); dot([0.143,0.143]);
stroke="black";
dot([0.5,1]); dot([0.333,1]); dot([0.25,1]); dot([0.2,1]); dot([0.167,1]); dot([0.143,1]);[/asvg]
(i pallini rossi -valore della funzione- e neri -buco sul grafico rettilineo- sono piazzati in corrispondenza di $1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 ,1/7$).
Vedi cosa succede?
La funzione è definita in tutto $[0,1]$, ha infinite discontinuità in $]0,1[$, le quali sono tutte eliminabili perché $f$ ha limite finito in ogni punto di $]0,1]$.
Però c'è un unico punto che fa eccezione per la faccenda del limite, cioè $0$. Infatti, mentre i valori di $f$ sui punti $1/n$ tendono a $0$ (poiché infatti $f(1/n)=1/n\to 0$ per $n\to oo$) e però, se scegli di valutare $f$ su una successione di irrazionali $y_n$ che tendono a $0$ hai $f(y_n)=1\to 1$ quando $n\to oo$; perciò il limite di $f$ per $x\to 0^+$ non esiste.
Come rimedi?
Proviamo a tracciare un diagramma (necessariamente incompleto) della $f$ suggerita da dissonance:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([0,1],[1,1]);
dot([1,1]); dot([0.5,0.5]); dot([0.333,0.333]); dot([0.25,0.25]); dot([0.2,0.2]); dot([0.167,0.167]); dot([0.143,0.143]);
stroke="black";
dot([0.5,1]); dot([0.333,1]); dot([0.25,1]); dot([0.2,1]); dot([0.167,1]); dot([0.143,1]);[/asvg]
(i pallini rossi -valore della funzione- e neri -buco sul grafico rettilineo- sono piazzati in corrispondenza di $1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 ,1/7$).
Vedi cosa succede?
La funzione è definita in tutto $[0,1]$, ha infinite discontinuità in $]0,1[$, le quali sono tutte eliminabili perché $f$ ha limite finito in ogni punto di $]0,1]$.
Però c'è un unico punto che fa eccezione per la faccenda del limite, cioè $0$. Infatti, mentre i valori di $f$ sui punti $1/n$ tendono a $0$ (poiché infatti $f(1/n)=1/n\to 0$ per $n\to oo$) e però, se scegli di valutare $f$ su una successione di irrazionali $y_n$ che tendono a $0$ hai $f(y_n)=1\to 1$ quando $n\to oo$; perciò il limite di $f$ per $x\to 0^+$ non esiste.
Come rimedi?
dovrei determinare una successione $y_n to 0$ la quale risulti anche l'immagine $f(y_n)=0 to 0$ per $n to + infty$.
Cosi facendo ho l'esistena del limite in $x=0$
Ma sono un pò confuso
P.S. grazie per l'aiuto !
Cosi facendo ho l'esistena del limite in $x=0$
Ma sono un pò confuso
P.S. grazie per l'aiuto !
No, così non va.
Guarda bene... Si tratta di modificare i valori di $f$ sui punti $x_n=1/n$, perchè non ti va bene che $f(x_n)\to 0$.
Quello che ti piacerebbe tanto è che $f(x_n)\to$...
Guarda bene... Si tratta di modificare i valori di $f$ sui punti $x_n=1/n$, perchè non ti va bene che $f(x_n)\to 0$.
Quello che ti piacerebbe tanto è che $f(x_n)\to$...
@disso,gugo
[ot]scusate ma se la funzione anziché valere 1 altrove valesse 0?[/ot]
[ot]scusate ma se la funzione anziché valere 1 altrove valesse 0?[/ot]
@anto:
[ot]Stessa cosa.
In realtà, io l'avevo pensata con una costante a caso.[/ot]
[ot]Stessa cosa.
In realtà, io l'avevo pensata con una costante a caso.[/ot]
@gugo
[ot]in questo modo però il limite in $0$ si ha in maniera naturale
[/ot]
[ot]in questo modo però il limite in $0$ si ha in maniera naturale
[/ot]
"anto_zoolander":
@gugo
[ot]in questo modo però il limite in $0$ si ha in maniera naturale
[ot]Certo.
Io l'avevo pensata così:
\[
f(x) := \begin{cases} a &\text{, se } x\neq x_n\text{ per ogni } n \in \mathbb{N}\\ a + \varepsilon_n &\text{, se } x=x_n \text{ per qualche } n\in \mathbb{N}\end{cases}
\]
in cui $(epsilon_n)$ è infinitesima.
[/ot]
Grazie 
Grazie di cosa? Devi ancora scrivere la soluzione del problema. Questa funzione alla fine qual è? Vorrei vedere come la scrivi, è importante, ho paura che tu faccia ancora confusione con le funzioni definite per casi.
Mi associo!
Buonasera, scusatemi se vi rispondo ora.
Alla fine la funzione dovrebbe essere definita "penso", in questo modo
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} 1/(n+1)+a, & \mbox{se }x=1/n , \forall n \in \mathbb{N'} \\ a, & \mbox{se }x\ne 1/n,\forall n \in \mathbb{N} \end{cases} \)
dove $a$ costante reale, $mathbb{N'}=mathbb{N}-{0,1}$ insieme dei numeri naturali, tranne che $0,1$.
Alla fine la funzione dovrebbe essere definita "penso", in questo modo
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} 1/(n+1)+a, & \mbox{se }x=1/n , \forall n \in \mathbb{N'} \\ a, & \mbox{se }x\ne 1/n,\forall n \in \mathbb{N} \end{cases} \)
dove $a$ costante reale, $mathbb{N'}=mathbb{N}-{0,1}$ insieme dei numeri naturali, tranne che $0,1$.
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