Convessità funzione

[alby9411]

Ciao ragazzi, mi confondo su qualche particolare in questo teorema:
Sia $f:(a,b)-->R$ una funzione convessa. Se $x0$ appartiene ad $]a,b[$ esiste in $x0$ la derivata sinistra e destra e $f'-(x0)<=f'+(x0)$ , che implica la continuità in $x0$.
Il dubbio che mi viene è: ma se la derivata destra e la derivata sinistra in un punto non sono uguali, in teoria la funzione non dovrebbe essere non derivabile in $x0$ ? Oppure mi confondo con il fatto che deve essere uguale il limite del rapporto incrementale a destra e sinistra??
Grazie

[adaBTTLS1]

Che strazio questa mia connessione! avevo quasi finito di rispondere un'oretta fa, ed ho perso tutto l'intervento!
Ho tentato di salvarlo come bozza ma non credo di esserci riuscita. Ora ci riprovo; ho cercato una nuova soluzione per attaccare alla rete il PC, speriamo bene... comunque credo che in futuro, almeno per interventi lunghi, mi conviene scrivere a parte in word sul desktop e poi fare copia-incolla!

Dicevo...

Grazie, gugo82.

@ alby941:

forse ho capito il tuo dubbio, da questo tuo topic (30° della discussione in questo tread).

"alby941":sisi esatto... infatti ci ho pensato dopo... . Ma la cosa grafica che non mi torna è: se prendo $f(x)=x^2$ ... qualsiasi punto interno prendo, vedo che la derivata destra e sinistra di un qualsiasi punto $x0$ ha coefficiente angolare diverso ( i punti a destra di $x0$ lo avranno sempre maggiore di quelli di sinistra).. quindi concludo che non è derivabile in $x0$ ma questo non è vero. Cosa sto sbagliando dunque?

Anche se Gugo dice di non aver capito il tuo dubbio, dovrebbe averti già risposto secondo me, ma forse avete usato linguaggi diversi...

Ci provo io, sperando di essere "illuminante", come recentemente mi ha definito in modo esagerato un nuovo utente del forum.

Credo che tu ti riferisca ai coefficienti angolari delle rette tangenti al grafico della funzione nei vari punti di esso.
Ti suggerisco di distinguere i tre casi di $x_0<0," "x_0>0," "x_0=0$.
per brevità, non riporto i rapporti incrementali, ma uso la derivata, perché la funzione $f(x)=x^2$ non presenta particolari problemi. Considera dunque i limiti destro e sinistro di $f'(x)=2x$ separatamente nei tre casi.
Allora, se $x_0<0$, le derivate destra e sinistra di $x_0$ coincidono entrambe con il coefficiente angolare $2x_0<0$ della retta tangente al grafico della funzione nel punto $(x_0,x_0^2)$.
Analogo discorso vale nel caso $x_0>0$, in cui le derivate destra e sinistra valgono $2x_0>0$.
Se $x_0=0$, i rapporti incrementali destro e sinistro (e le rispettive derivate), pur mantenendo segno costante nell'intorno destro e nell'intorno sinistro, essendo i due segni diversi tra loro, tendono entrambi a $0$, quindi il limite esiste e coincide con $f'(0)=0$.

Spero sia servito a qualcosa riscrivere quest'intervento.
Ciao!

[gugo82]

@ adaBTTLS: Ecco, questo è un errore che si deve sempre cercare di evitare, cioé confondere i limiti:
\[
\lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
\]
con i limiti:
\[
\lim_{x\to x_0^\pm} f^\prime (x)\; .
\]
Infatti, anche se i primi esistono, i secondi possono non esistere (e viceversa) o non avere proprio alcun senso!

1. Ad esempio, la funzione:
\[
f(x) := \begin{cases} x^2\ \sin \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
ha entrambi finiti e nulli i limiti:
\[
\lim_{x\to 0^\pm} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^\pm} \frac{x^2\ \sin \frac{1}{x} -0}{x} = \lim_{x\to 0^\pm} x\ \sin \frac{1}{x}
\]
perciò \(f_-^\prime(0)=0=f_+^\prime (0)\) (e dunque \(f\) è derivabile in \(0\) ed ha \(f^\prime (0)=0\)); però, dato che:
\[
f^\prime (x) := \begin{cases} 2x\ \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0\; ,
\end{cases}
\]
i limiti:
\[
\lim_{x\to 0^\pm} f^\prime (x) = \lim_{x\to 0^\pm} 2x\ \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}
\]
non esistono.

2. Analogamente, prendi la funzione:
\[
\phi (x) = \begin{cases} x^2 &\text{, se } x \text{ è razionale}\\
0 &\text{, se } x \text{ è irrazionale}\; .
\end{cases}
\]
Tale funzione è discontinua ovunque tranne che in \(0\), poiché si verifica facilmente che:
\[
\lim_{x\to 0} \phi (x) = 0=\phi (0)\; ,
\]
e ciò importa che \(\phi\) certamente non è derivabile in punti \(\neq 0\); d'altro canto però, formando il rapporto incrementale relativo al punto \(0\):
\[
\frac{\phi (x) - \phi (0)}{x-0} = \begin{cases} x &\text{, se } x \text{ è razionale e } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x \text{ è irazionale}
\end{cases}
\]
si vede che:
\[
\lim_{x\to 0^\pm} \frac{\phi (x) - \phi(0)}{x-0} = 0
\]
quindi la funzione \(\phi\) è dotata di derivata sinistra e destra in zero ed entrambe prendono valore \(0\); conseguentemente la funzione \(\phi\) è derivabile solo in \(0\) e si ha \(\phi^\prime (0)=0\).
Stando così le cose, è abbastanza evidente che, mentre i limiti:
\[
\lim_{x\to 0^\pm} \frac{\phi (x) - \phi(0)}{x-0}
\]
hanno tutto il senso che vogliono e si possono calcolare, i limiti:
\[
\lim_{x\to 0^\pm} \phi^\prime (x)
\]
non hanno alcun senso (poiché \(\phi^\prime\) non è definita in alcun punto diverso da zero).

3. Infine, la funzione:
\[
g(x) := \begin{cases} x &\text{, se } x\neq 0\\
1 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
non essendo continua in \(0\) né da sinistra né da destra non può avere né derivata sinistra né derivata destra: ed infatti risulta:
\[
\lim_{x\to 0^\pm} \frac{g(x) - g(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^\pm} \frac{x-1}{x} = \mp \infty\; .
\]
Tuttavia, \(g\) è derivabile in \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\) e si ha:
\[
g^\prime (x) = 1\qquad \text{, per } x\neq 0\; ;
\]
quindi è evidente che:
\[
\lim_{x\to 0^\pm} g^\prime (x)=1
\]
ma ciò non consente affatto di dire che la funzione \(g\) è dotata di derivata sinistra né destra in \(0\).

Morale della storia: non è sempre vero che i limiti destro/sinistro del rapporto incrementale in un punto coincidono con i limiti destro/sinistro della derivata prima in quel punto (ammesso che tali limiti abbiano senso).

Tuttavia, ci si può chiedere quando accada ciò che è scritto nella frase in corsivo, cioé quali sono delle condizioni sufficienti a garantire l'uguaglianza:
\[
\lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0^\pm} f^\prime (x)\; .
\]
Una condizione sufficiente a garantire l'uguaglianza è espressa dal seguente teorema:

Siano \(I\) un intervallo non degenere, \(f:I\to \mathbb{R}\) continua da destra [risp. sinistra] in \(x_0\in I\) e derivabile in un intorno destro [risp. sinistro] di \(x_0\).
Se esiste il \(\lim_{x\to x_0^+} f^\prime (x)\) [risp. \(\lim_{x\to x_0^-} f^\prime (x)\)], allora esiste pure il \(\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}\) [risp. \(\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}\)] ed i due limiti sono uguali.

Dim.: L'ipotesi di continuità da destra in \(x_0\) garantisce che il limite:
\[
\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}
\]
si presenta in forma indeterminata \(\frac{0}{0}\). Dato che \(f\) è derivabile in un intorno destro di \(x_0\), al limite precedente si può applicare la regola di de l'Hôpital ed ottenere:
\[
\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \stackrel{\text{H}}{=} \lim_{x\to x_0^+} f^\prime (x)
\]
e, dato che il secondo limite esiste per ipotesi, il teorema di de l'Hôpital garantisce che esiste anche il primo e che tra essi vale l'uguaglianza.
Analogo ragionamento si segue per il limite sinistro. \(\square\)

Come si può vedere, le due funzioni proposte negli esempi in spoiler non soddisfano almeno una delle ipotesi del teorema precedente: in particolare, la funzione di 1 non soddisfa l'ipotesi di esistenza del limite della derivata, quella in 2 non soddisfa l'ipotesi di derivabilità intorno al punto mentre quella di 3 non soddisfa la continuità nel punto.

[alby9411]

Grazie ada , sisi questo l'ho chiarito il dubio... sbagliavo che non facevo il limite del rapporto incrementale a destra e sinistra di $x0$ ma ne calcolavo il coefficiente angolare proprio a destra e sinistra.
@gugo : per quanto riguarda ciò che ho scritto nel libro viene riportato quanto segue:
sia $f:(a,b) -> R $ convessa. Se $x0$ appartiene all'interno di $(a,b)$ , in $x0$ esiste la derivata destra e sinistra ,( quella sinistra minore o uguale di quella destra) e quindi la f è continua in $x0$. Se $f$ è definita anche in $x0=a$ (risp. $x0=b$) la derivata destra ( risp. sinistra ) in $x0$ non può esistere e in tal caso risulta " limite per x che tende ad a da destra , di (f(x)-f(a))/x-a = - infinito... mentre per x che tende a b da sinistra di (f(x)-f(b))/b-a = +infinito . Non può essere sbagliato..

[gugo82]

"alby941":@gugo: per quanto riguarda ciò che ho scritto nel libro viene riportato quanto segue:
"sia $f:(a,b) -> R $ convessa. Se $x0$ appartiene all'interno di $(a,b)$ , in $x0$ esiste la derivata destra e sinistra ,( quella sinistra minore o uguale di quella destra) e quindi la f è continua in $x0$."

Fin qui ci siamo, e l'abbiamo pure dimostrato.

Tuttavia questa...

"alby941":"Se $f$ è definita anche in $x0=a$ (risp. $x0=b$) la derivata destra ( risp. sinistra ) in $x0$ non può esistere e in tal caso risulta $lim_(x\to a^+) (f(x)-f(a))/(x-a) = - oo$... mentre per $lim_(x\to b^-) (f(x)-f(b))/(x-b) = +oo$." Non può essere sbagliato..

è una vaccata, come dimostra la funzione che ti ho riportato sopra, cioé:
\[
f: [0,1] \to \mathbb{R},\qquad f(x) := x^2\; ,
\]
per cui \(f_+^\prime (0)=0\neq -\infty\) e \(f_-^\prime (1)=2\neq +\infty\).

Quindi o non citi testualmente, e da qualche parte c'è scritto che \(f\) non è continua in \(a\) da destra [risp. in \(b\) da sinistra] o che il limite \(\lim_{x\to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\) [risp. \(\lim_{x\to b^-} \frac{f(x) - f(b)}{x-b}\)] non è finito, oppure è una cantonata dell'autore.
Che libro è?

[alby9411]

gugo... ti scrivo un esercizio fatto in classe proprio sulal questione( se mi dici anche per cortesia come scrivere in modo corretto la funzione):

f(x) definita: 0 , se 0
limite per x che tende a 0 da destra di f(x)- f(0) / x-0 = limite per x che tende a 0 da destra di (-1/x) = - infinito.. analogo discorso per 1 da destra che va però a piu infinito

[gugo82]

"alby941":gugo... ti scrivo un esercizio fatto in classe proprio sulla questione (se mi dici anche per cortesia come scrivere in modo corretto la funzione):

f(x) definita: 0 , se 0
limite per x che tende a 0 da destra di f(x)- f(0) / x-0 = limite per x che tende a 0 da destra di (-1/x) = - infinito.. analogo discorso per 1 da destra che va però a piu infinito

Per quanto riguarda la sintassi delle formule, devi obbligatoriamente impararla da qui.

Per il resto, il risultato visto in aula è giustissimo (come si vede facendo un calcolo diretto).
Ma il fatti che per una funzione convessa non esistano finiti i limiti unilateri dei rapporti incrementali non significa che tali limiti non esistano per tutte le funzioni convesse, come hai affermato sopra.

Ripeto: quale libro usi?

[alby9411]

Lezioni di Analisi Matematica C. Vinti.. Comunque quello che avevo scritto era appunto giusto

[adaBTTLS1]

@ alby941:
prego.

@gugo82:

"gugo82":@ adaBTTLS: Ecco, questo è un errore che si deve sempre cercare di evitare, cioé confondere i limiti:
\[
\lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
\]
con i limiti:
\[
\lim_{x\to x_0^\pm} f^\prime (x)\; .
\]
Infatti, anche se i primi esistono, i secondi possono non esistere o non avere proprio alcun senso!

Che le due cose non coincidano è stato "strachiarito". Infatti, se hai notato le mie motivazioni, una personale ed una matematica, io dicevo così:

"adaBTTLS":Che strazio questa mia connessione! avevo quasi finito di rispondere un'oretta fa, ed ho perso tutto l'intervento!

@ alby941:


Credo che tu ti riferisca ai coefficienti angolari delle rette tangenti al grafico della funzione nei vari punti di esso.
Ti suggerisco di distinguere i tre casi di $ x_0<0," "x_0>0," "x_0=0 $.
per brevità, non riporto i rapporti incrementali, ma uso la derivata, perché la funzione $ f(x)=x^2 $ non presenta particolari problemi.

Allora, i casi sono tre:
1) le due "cose" coincidono sempre [già chiarito che è falso];
2) le due "cose" non coincidono mai [mi permetto di dire che anche questo è falso, e non nel senso di "quasi sempre vero"];
3) le due "cose" coincidono in molti casi, ma non sempre.

Forse sarebbe interessante sapere se, data una funzione, è sempre necessario oppure no trovare entrambe le "cose", separatamente, per vedere se coincidono oppure no, o magari per alcune categorie di funzioni si può sapere "a priori" se le due "cose" coincidono oppure no.

Grazie!

[alby9411]

scusate... solo per mia curiosità... ma che cambia tra farne il limite da destra del rapporto incrementale o farne il limite da destra della derivata?

[adaBTTLS1]

@alby941
Stiamo dicendo proprio che non puoi dire che la funzione è derivabile in un punto solo trovando i limiti della "derivata calcolata", perché, dalla definizione di derivabilità in un punto, è necessario che i limiti da destra e da sinistra del (o dei) rapporti incrementali esistano entrambi e siano uguali fra loro... Trovando i limiti delle derivate si "bypassa" la definizione.
Però, certo, il fatto che spesso si confondono dipende forse dal fatto che si capisce spesso dal calcolo delle derivate se c'è qualche anomalia ed anche perché, a livello scolastico, si incontrano quasi esclusivamente funzioni per cui le due cose coincidono. Ma aspettiamo la risposta al mio precedente quesito da parte di Gugo.

[gugo82]

"adaBTTLS":@gugo82:
[quote="gugo82"]@ adaBTTLS: Ecco, questo è un errore che si deve sempre cercare di evitare, cioé confondere i limiti:
\[
\lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
\]
con i limiti:
\[
\lim_{x\to x_0^\pm} f^\prime (x)\; .
\]
Infatti, anche se i primi esistono, i secondi possono non esistere o non avere proprio alcun senso!

Che le due cose non coincidano è stato "strachiarito". Infatti, se hai notato le mie motivazioni, una personale ed una matematica, io dicevo così:

"adaBTTLS":Che strazio questa mia connessione! avevo quasi finito di rispondere un'oretta fa, ed ho perso tutto l'intervento!

@ alby941:


Credo che tu ti riferisca ai coefficienti angolari delle rette tangenti al grafico della funzione nei vari punti di esso.
Ti suggerisco di distinguere i tre casi di $ x_0<0," "x_0>0," "x_0=0 $.
per brevità, non riporto i rapporti incrementali, ma uso la derivata, perché la funzione $ f(x)=x^2 $ non presenta particolari problemi.

Allora, i casi sono tre:
1) le due "cose" coincidono sempre [già chiarito che è falso];
2) le due "cose" non coincidono mai [mi permetto di dire che anche questo è falso, e non nel senso di "quasi sempre vero"];
3) le due "cose" coincidono in molti casi, ma non sempre.

Forse sarebbe interessante sapere se, data una funzione, è sempre necessario oppure no trovare entrambe le "cose", separatamente, per vedere se coincidono oppure no, o magari per alcune categorie di funzioni si può sapere "a priori" se le due "cose" coincidono oppure no.[/quote]
Quello che devi fare dipende dal tuo fine, perché le informazioni geometriche che puoi ricavare dallo studio del limite del rapporto incrementale e del limite della derivata sono differenti.
Infatti, lo studio del:
\[
\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
\]
ti fa capire come si comportano al limite le secanti il grafico di \(f\) che passano per il punto \((x_0,f(x_0))\) e per punti a destra di esso; mentre lo studio del:
\[
\lim_{x\to x_0^+} f^\prime (x)
\]
ti fa capire come si comportano al limite le tangenti il grafico di \(f\) nei punti \((x,f(x))\) a destra di \((x_0,f(x_0))\).
Data la diversità degli oggetti su cui operi (i.e., coefficienti angolari di secanti passanti per un punto fissato nel primo caso, e coefficienti angolari di tangenti in punti variabili nel secondo caso), non sempre le informazioni geometriche che vengono fuori dall'analisi delle due situazioni servono a stabilire le stesse proprietà del grafico.

Ad esempio, prendiamo la funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} x^2 &\text{, se } x\neq 0\\
1 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
e tracciamone un grafico:
[asvg]xmin=-2;xmax=2; ymin=-1; ymax=3;
axes();
stroke="red"; strokewidth=2; plot("x^2",0.0625,3); plot("x^2",-3,-0.0625); dot([0,1]); circle([0,0],0.0625);[/asvg]
Guardiamo cosa succede e quali informazioni possiamo trarre dall'analisi grafica dei due limiti:
\[
\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\qquad \text{e}\qquad \lim_{x\to 0^+} f^\prime (x)\; .
\]

Per quanto riguarda il primo, facciamo un disegno in cui evidenziamo il comportamento delle secanti:
[asvg]xmin=-2;xmax=2; ymin=-1; ymax=3;
axes();
stroke="red"; plot("x^2",0.0625,3); plot("x^2",-3,-0.0625); circle([0,0],0.0625);
strokewidth=2;
stroke="cyan"; plot("1",-3,3); dot([1,1]);
stroke="dodgerblue"; plot("1-1.5*x",-3,3); dot([0.5,0.25]);
stroke="blue"; plot("1-3.75*x",-3,3); dot([0.25,0.0625]);
stroke="purple"; plot("1-7.875*x",-3,3); dot([0.125,0.015625]);
stroke="red"; dot([0,1]);[/asvg]
Dal disegno si evince che le secanti tendono a raggiungere una posizione limite verticale, passando per inclinazioni tutte negative; e ciò concorda col fatto che:
\[
\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = -\infty\; .
\]
Questo significa che le secanti al grafico di \(f\) nei punti \((0,1)\) ed \((x,f(x))\) non raggiungono una posizione limite "buona" quando \(x\) si avvicina a \(0\) dalla destra, poiché tale posizione limite è verticale: ciò corrisponde, grossolanamente parlando, all'intuizione che per passare dal punto \((0,f(0))=(0,1)\) al punto \((x,f(x))\), con \(x\) a destra di \(0\) ma molto vicina a \(0\), bisogna "saltare" (o, per meglio dire, percorrere molta più strada sulle ordinate rispetto a quanta bisogna farne sulle ascisse) verso il basso.

D'altra parte, facciamo un disegno in cui evidenziamo il comportamento delle tangenti al grafico a destra di \((0,1)\):
[asvg]xmin=-2;xmax=2; ymin=-1; ymax=3;
axes();
stroke="red"; plot("x^2",0.0625,3); plot("x^2",-3,-0.0625); circle([0,0],0.0625);
strokewidth=2;
stroke="cyan"; plot("2*x-1",-3,3); dot([1,1]);
stroke="dodgerblue"; plot("x-0.25",-3,3); dot([0.5,0.25]);
stroke="blue"; plot("0.5*x-0.0625",-3,3); dot([0.25,0.0625]);
stroke="purple"; plot("0.25*x-0.015625",-3,3); dot([0.125,0.015625]);
stroke="red"; dot([0,1]);[/asvg]
Dal disegno si evince che le tangenti nel punto \((x,f(x))\) tendono a raggiungere una posizione limite orizzontale, passando per inclinazioni tutte positive; e ciò concorda col fatto che:
\[
\lim_{x\to 0^+} f^\prime (x) = 0\; .
\]
Questo significa che, quando \(x\) è a destra di \(0\) ma sufficientemente vicino a \(0\), per passare dal punto \((x,f(x))\) ad un punto \((\xi, f(\xi))\) ad esso vicino e con \(\xi \neq 0\) basta variare di pochissimo l'ordinata (cioé \(f(\xi)\approx f(x)\)).
In altri termini, l'analisi del limite:
\[
\lim_{x\to 0^+} f^\prime (x)
\]
ci sta dando informazioni su come la curva-grafico di \(f\) si "immette" dentro il punto \((0,0)\), che è un "punto limite" per la curva-grafico stessa (infatti, si tenga presente che \(0=\lim_{x\to 0^+} f(x)\)).

"adaBTTLS":@alby941
Stiamo dicendo proprio che non puoi dire che la funzione è derivabile in un punto solo trovando i limiti della "derivata calcolata", perché, dalla definizione di derivabilità in un punto, è necessario che i limiti da destra e da sinistra del (o dei) rapporti incrementali esistano entrambi e siano uguali fra loro... Trovando i limiti delle derivate si "bypassa" la definizione.

Esatto, ma non solo... Si ottengono proprio informazioni diverse.

"adaBTTLS":Però, certo, il fatto che spesso si confondono dipende forse dal fatto che si capisce spesso dal calcolo delle derivate se c'è qualche anomalia ed anche perché, a livello scolastico, si incontrano quasi esclusivamente funzioni per cui le due cose coincidono. Ma aspettiamo la risposta al mio precedente quesito da parte di Gugo.

A livello scolastico, ma purtroppo anche in molti corsi di Analisi 1, si incrociano solo funzioni "liscissime", per le quali le due nozioni di derivata laterale e di limite unilatero della derivata coincidono.

Perciò, sotto alcuni aspetti, stiamo buttando a mare tutto il lavoro dei più importanti matematici del XIX secolo (Cauchy, Riemann, Weierstrass, Cantor, tanto per dirne alcuni), che tanto si sono impegnati per far nascere l'Analisi Matematica dal Calcolo Differenziale.

[adaBTTLS1]

"gugo82":[quote="adaBTTLS"]
....
Allora, i casi sono tre:
1) le due "cose" coincidono sempre [già chiarito che è falso];
2) le due "cose" non coincidono mai [mi permetto di dire che anche questo è falso, e non nel senso di "quasi sempre vero"];
3) le due "cose" coincidono in molti casi, ma non sempre.

Forse sarebbe interessante sapere se, data una funzione, è sempre necessario oppure no trovare entrambe le "cose", separatamente, per vedere se coincidono oppure no, o magari per alcune categorie di funzioni si può sapere "a priori" se le due "cose" coincidono oppure no.

----

Ad esempio, prendiamo la funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} x^2 &\text{, se } x\neq 0\\
1 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
e tracciamone un grafico:
------

"adaBTTLS":Però, certo, il fatto che spesso si confondono dipende forse dal fatto che si capisce spesso dal calcolo delle derivate se c'è qualche anomalia ed anche perché, a livello scolastico, si incontrano quasi esclusivamente funzioni per cui le due cose coincidono. Ma aspettiamo la risposta al mio precedente quesito da parte di Gugo.

A livello scolastico, ma purtroppo anche in molti corsi di Analisi 1, si incrociano solo funzioni "liscissime", per le quali le due nozioni di derivata laterale e di limite unilatero della derivata coincidono.

Perciò, sotto alcuni aspetti, stiamo buttando a mare tutto il lavoro dei più importanti matematici del XIX secolo (Cauchy, Riemann, Weierstrass, Cantor, tanto per dirne alcuni), che tanto si sono impegnati per far nascere l'Analisi Matematica dal Calcolo Differenziale.[/quote]

Grazie dei chiarimenti, ma la richiesta era molto più semplice, e senza "buttare a mare tutto il lavoro" di importanti matematici, si cercava di sapere quando, a livello più elementare, si può scegliere la strada di eseguire meno calcoli senza commettere grossolani errori.
Ad esempio, la funzione da te citata non è continua, ed è la stessa citata in precedenza da me, ma per individuare categorie di funzioni per cui potrebbe essere la stessa cosa, si presterebbe meglio una funzione continua.

Permettimi una battuta: se devi risolvere un problema di scuola elementare, non vai a scomodare tutte quelle teorie, che non per questo perdono la loro dignità.
Ciao!

[gugo82]

"adaBTTLS":Grazie dei chiarimenti, ma la richiesta era molto più semplice, e senza "buttare a mare tutto il lavoro" di importanti matematici, si cercava di sapere quando, a livello più elementare, si può scegliere la strada di eseguire meno calcoli senza commettere grossolani errori.

Ma a questo avevo già risposto qui, in particolare in questo passaggio:

"gugo82":Morale della storia: non è sempre vero che i limiti destro/sinistro del rapporto incrementale in un punto coincidono con i limiti destro/sinistro della derivata prima in quel punto (ammesso che tali limiti abbiano senso).

Tuttavia, ci si può chiedere quando accada ciò che è scritto nella frase in corsivo, cioé quali sono delle condizioni sufficienti a garantire l'uguaglianza:
\[
\lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0^\pm} f^\prime (x)\; .
\]
Una condizione sufficiente a garantire l'uguaglianza è espressa dal seguente teorema:

Siano \(I\) un intervallo non degenere, \(f:I\to \mathbb{R}\) continua da destra [risp. sinistra] in \(x_0\in I\) e derivabile in un intorno destro [risp. sinistro] di \(x_0\).
Se esiste il \(\lim_{x\to x_0^+} f^\prime (x)\) [risp. \(\lim_{x\to x_0^-} f^\prime (x)\)], allora esiste pure il \(\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}\) [risp. \(\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}\)] ed i due limiti sono uguali.

Dim.: L'ipotesi di continuità da destra in \(x_0\) garantisce che il limite:
\[
\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}
\]
si presenta in forma indeterminata \(\frac{0}{0}\). Dato che \(f\) è derivabile in un intorno destro di \(x_0\), al limite precedente si può applicare la regola di de l'Hôpital ed ottenere:
\[
\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \stackrel{\text{H}}{=} \lim_{x\to x_0^+} f^\prime (x)
\]
e, dato che il secondo limite esiste per ipotesi, il teorema di de l'Hôpital garantisce che esiste anche il primo e che tra essi vale l'uguaglianza.
Analogo ragionamento si segue per il limite sinistro. \(\square\)

Pensavo l'avessi letto.

"adaBTTLS":Permettimi una battuta: se devi risolvere un problema di scuola elementare, non vai a scomodare tutte quelle teorie, che non per questo perdono la loro dignità.

Ma qui stiamo parlando di Matematica universitaria o sbaglio?

[adaBTTLS1]

Mi è successo un’altra volta, ho perso il mio messaggio.
Provo a riscriverlo nel mio computer e lo copio nella risposta.
Nel tuo precedente intervento non avevo letto la condizione sufficiente.
Comunque, senza nulla togliere ai grandi matematici del XIX secolo, riguardo alla Matematica universitaria, non mi pare che gli argomenti affrontati e che hanno generato questa discussione non siano affrontabili a livello di scuola media superiore. Inoltre, quando è possibile evitare tanti calcoli, è bene farlo. È compito della matematica superiore non solo metterci in guardia da “false generalizzazioni”, ma anche dirci in quali casi, come e perché si può “semplificare” (andando dal generale al particolare).
Probabilmente non hai letto la frase che ho aggiunto al messaggio precedente (forse stavi già rispondendo, vista la rapidità!):
“Ad esempio, la funzione da te citata non è continua, ed è la stessa citata in precedenza da me, ma per individuare categorie di funzioni per cui potrebbe essere la stessa cosa, si presterebbe meglio una funzione continua.”

Nello stesso tempo, da docente di liceo, mi chiedevo (e questo di fatto è il succo dei miei precedenti post):
L’Analisi con la A maiuscola può venire in soccorso a poveri studenti neanche troppo portati per la Matematica, fornendo strumenti rigorosi e corretti ma semplificando lo studio nella trattazione di “categorie” di funzioni?

[gugo82]

"adaBTTLS":Nel tuo precedente intervento non avevo letto la condizione sufficiente.

Ah, ecco.

"adaBTTLS":Comunque, senza nulla togliere ai grandi matematici del XIX secolo, riguardo alla Matematica universitaria, non mi pare che gli argomenti affrontati e che hanno generato questa discussione non siano affrontabili a livello di scuola media superiore.

Il problema, ada, è il seguente: "Cosa si vuole che gli studenti universitari studino? Calcolo Differenziale ed Integrale oppure Analisi Matematica?"

Se le preferenze vanno ai primi, è una cosa, e tutto si può svolgere tranquillamente con argomenti elementari che non vanno al di là del semplice meccanismo di conto di derivate ed integrali e di qualche dimostrazione \(\varepsilon\)-\(\delta\).
Se le preferenze vanno alla seconda, invece, non si può fare a meno di scendere nel dettaglio di proprietà "abbastanza fini" delle funzioni di variabile reale, mostrando che esistono patologie alle quali le regole semplici del Calcolo non si applicano.[nota]Per dirne una: in esami di Analisi I, ho sentito uno studente affermare che i massimi ed i minimi si trovano sempre (sic!) annullando la derivata prima...[/nota]

Dato che la gran parte dei corsi di Matematica del primo anno dei c.d.l. scientifici (penso a Matematica, Fisica, Ingegnerie varie ed eventuali, Chimica) qui in Italia sono chiamati "Analisi Matematica", per me è abbastanza chiaro che le preferenze vadano all'approccio critico alle fondamenta del Calcolo di chi ha fondato l'Analisi (i già citati Cauchy, Weierstrass, Riemann, Cantor, etc...).
Per questo è giusto e necessario "complicare le cose", fornire esempi delle criticità del Calcolo che è insegnato (in maniera meccanica, come deve essere) negli istituti di scuola secondaria, chiarire che le teorie analitiche moderne (che hanno gettato le basi per la sistemazione di qualsiasi branca della Matematica moderna) non sono nate da volontà di astrazione ma come risposta a problemi concreti.
Se in un corso di "Analisi" mancano questi aspetti, è meglio smetterla di chiamarlo in tal modo ed optare per il nome più onesto di "Calcolo Differenziale ed Integrale" o "Calcolo Infinitesimale".

"adaBTTLS":Inoltre, quando è possibile evitare tanti calcoli, è bene farlo.

E lo dici a me, che cerco di risolvere esercizi facendo sempre economia di conti inutili?

"adaBTTLS":È compito della matematica superiore non solo metterci in guardia da “false generalizzazioni”, ma anche dirci in quali casi, come e perché si può “semplificare” (andando dal generale al particolare).

E siamo d'accordo.
Però è necessario pure spiegare e far capire bene da dove nascono le esigenze di "sistemazione precisa", e ciò si fa scegliendo opportuni controesempi.
Tali controesempi non sempre sono "semplici" da digerire[nota]Anche per questo c'è voluto più di un secolo per realizzare che c'erano cose che non andavano nel Calcolo newtoniano-leibniziano e c'è voluto altrettanto tempo per capire come rimediare a tali problemi.[/nota], ma questo è nella natura delle cose perché la Matematica è complicata, inutile dire il contrario, e non è sempre "semplificabile"[nota]Non confondere questa affermazione con l'impossibilità di divulgare la Matematica in linguaggio semplice, cosa in cui io non credo affatto.[/nota].
La bravura di un docente si misura anche dalla scelta del materiale da presentare e da quanto egli medita sulle parole da spendere per illustrarlo.

"adaBTTLS":Probabilmente non hai letto la frase che ho aggiunto al messaggio precedente (forse stavi già rispondendo, vista la rapidità!):
“Ad esempio, la funzione da te citata non è continua, ed è la stessa citata in precedenza da me, ma per individuare categorie di funzioni per cui potrebbe essere la stessa cosa, si presterebbe meglio una funzione continua.”

Avevo letto... Ma non mi sembrava che il discorso filasse, perché quella funzione mostra proprio il contrario, cioé che le due analisi forniscono informazioni diverse.

"adaBTTLS":Nello stesso tempo, da docente di liceo, mi chiedevo (e questo di fatto è il succo dei miei precedenti post):
L’Analisi con la A maiuscola può venire in soccorso a poveri studenti neanche troppo portati per la Matematica, fornendo strumenti rigorosi e corretti ma semplificando lo studio nella trattazione di “categorie” di funzioni?

Secondo me no, l'Analisi non serve a questo, non serve a fornire "piatti pronti" a studenti svogliati/non interessati, perché non è questo l'orizzonte culturale della materia (come lo stabilire regole di calcolo formale non è l'orizzonte culturale dell'Algebra; come lo stabilire metodi di costruzione di figure piane non è l'orizzonte culturale della Geometria; come lo stabilire regole d'inferenza non è l'orizzonte culturale della Logica; etc...).

Inoltre, che cosa vorrebbe dire "categorie di funzioni"?
Quello che gli insegnanti di scuola superiore (e qui non mi riferisco a te, ma al generico -nel senso delle categorie di Baire- insegnante delle superiori) farebbero davvero bene a levarsi proprio dalla testa è questa voglia di "categorizzare", incasellare tutto in uno schema. Quello che si dovrebbe instillare nella testa dei ragazzi non è la "tipizzazione" dei problemi, ma l'analisi critica dei mezzi che loro hanno a disposizione per risolvere i problemi e la scelta della strada più sicura per ottenere la soluzione.
So che non mi sono spiegao bene, ma ora sono un po' di fretta.
Se vuoi cercherò di tornare sull'argomento appena potrò.

[adaBTTLS1]

"gugo82":
Secondo me no, l'Analisi non serve a questo, non serve a fornire "piatti pronti" a studenti svogliati/non interessati, perché non è questo l'orizzonte culturale della materia (come lo stabilire regole di calcolo formale non è l'orizzonte culturale dell'Algebra; come lo stabilire metodi di costruzione di figure piane non è l'orizzonte culturale della Geometria; come lo stabilire regole d'inferenza non è l'orizzonte culturale della Logica; etc...).

Inoltre, che cosa vorrebbe dire "categorie di funzioni"?
Quello che gli insegnanti di scuola superiore (e qui non mi riferisco a te, ma al generico -nel senso delle categorie di Baire- insegnante delle superiori) farebbero davvero bene a levarsi proprio dalla testa è questa voglia di "categorizzare", incasellare tutto in uno schema. Quello che si dovrebbe instillare nella testa dei ragazzi non è la "tipizzazione" dei problemi, ma l'analisi critica dei mezzi che loro hanno a disposizione per risolvere i problemi e la scelta della strada più sicura per ottenere la soluzione.
So che non mi sono spiegao bene, ma ora sono un po' di fretta.
Se vuoi cercherò di tornare sull'argomento appena potrò.

No, no, ti sei spiegato benissimo.
Non solo, ma sono anche d'accordo con te.
Purtroppo, giorno per giorno mi trovo a confrontarmi con metodi diversi, con scelte non facili, in quanto spesso far ragionare i ragazzi e non fermarsi alle "competenze" meccaniche non è "redditizio"; d'altronde, con quelle misere due o tre ore settimanali che neanche vengono rispettate tra assemblee e attività extrascolastiche, è più semplice far fare quattro conti e portare avanti il programma, anche perché un discorso generale culturale e ragionato sugli argomenti che si affrontano viene sì apprezzato al momento, ma poi rischia di rimanere sospeso nell'aria e sembra che gli alunni non apprendano nulla... Mi è anche capitato di assentarmi l'anno scorso per motivi di famiglia, e sono stata sostituita apparentemente benissimo, almeno i ragazzi sono stati tranquilli, la supplente ha detto che si è trovata benissimo con la mia programmazione, ma, piccolo neo, gli studenti "credevano" di essere preparati, salvo poi non riuscire a rispondere a domande che dal mio punto di vista erano elementari, anche se non "meccaniche", ideali per tastare il grado di apprendimento. Nonostante questo, non posso dire che sia colpa della supplente, perché è tipico che a tante di queste domande purtroppo gli studenti non sappiano rispondere...
Questa è una discussione che si addice forse più ad altre sezioni del forum, ma è stata un'appendice a questo tread che forse è bene chiudere qui; perdonatemi lo sfogo!
ciao.

[gio73]

Ho letto volentieri,
se volete continuare a discutere di didattica si potrebbe spezzare l'ultima parte e creare un nuovo thread in docenti.
Magari racconto qualche cosa anche io dal basso della scuola media.

[alby9411]

Grazie a tutti per gli interventi del thread... mi sono stati utili a chiarire le idee sulla convessità anche se all'orale , che è andato molto bene, non me le hanno chieste!