Convessità funzione

[alby9411]

Ciao ragazzi, mi confondo su qualche particolare in questo teorema:
Sia $f:(a,b)-->R$ una funzione convessa. Se $x0$ appartiene ad $]a,b[$ esiste in $x0$ la derivata sinistra e destra e $f'-(x0)<=f'+(x0)$ , che implica la continuità in $x0$.
Il dubbio che mi viene è: ma se la derivata destra e la derivata sinistra in un punto non sono uguali, in teoria la funzione non dovrebbe essere non derivabile in $x0$ ? Oppure mi confondo con il fatto che deve essere uguale il limite del rapporto incrementale a destra e sinistra??
Grazie

[gugo82]

Se, ad esempio, esiste (finita!) la derivata sinitra hai:
\[
\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = f_-^\prime (x_0)\quad \Rightarrow\quad \lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)- f_-^\prime (x_0)\ (x-x_0)}{x-x_0} =0
\]
ossia:
\[
f(x) - f(x_0) - f_-^\prime (x_0)\ (x-x_0) = \text{o}((x-x_0))
\]
per \(x \[
\lim_{x\to x_0^-} f(x) = \lim_{x\to x_0^-} f(x_0) + f_-^\prime (x_0)\ (x-x_0) + \text{o}((x-x_0)) = f(x_0)\; ,
\]
cioé \(f\) è continua in \(x_0\) da sinistra.
Analogo discorso a destra.

[alby9411]

grazie per la risposta... non abbiamo affrontato il discorso della convessità in questo modo.. mi diresti brevemente perchèmi hai tirato fuori queste uguaglianze? per dimostrarmi cosa?

[gugo82]

Guarda che la convessità, in quanto ho scritto sopra, non c'entra quasi nulla. Invero, essa garantisce solo che \(f_-^\prime (x_0)\) esista finita (e va bene), ma non l'ho mai usata in alcuno dei passaggi seguenti, in cui ho solo adoperato la definizione di derivata sinistra e quella di o-piccolo, un po' di algebra dei limiti e la definizione di continuità a sinistra.

[alby9411]

non so se hai afferrato ciò che ho chiesto... io non ho capito come mai mi affronti il discorso con l' o-piccolo. Noi nella convessità noi l'abbiamo fatto. Dimmi anche solo a parole se quello che ho formulato nella domanda è sbagliato, cosi una volta che ho capito possiamo passare alle formule
Cordialmente

[gugo82]

"alby941":non so se hai afferrato ciò che ho chiesto...

Ho afferrato benissimo... Probabilmente tu hai meditato poco su quello che ho scritto, fermandoti sull'aspetto delle formule, piuttosto che sul loro contenuto.

"alby941":io non ho capito come mai mi affronti il discorso con l' o-piccolo. Noi nella convessità noi l'abbiamo fatto.

Ma che senso ha questa obiezione?...
Per farti capire l'insensatezza della cosa: è un po' come se a un tizio che ti racconta la storia personale di Maria Antonietta, tu obiettassi che non capisci la storia perché, quando ti hanno spiegato la Rivoluzione Francese, te l'hanno sempre chiamata "la regina di Francia", senza usare il suo nome proprio... Embé, che c'entra?

I simboli, così come i nomi, sono fatti per essere usati dove servono. In questo caso è molto semplice ragionare sui limiti (e dunque sulla continuità) servendosi dei simboli di Landau, perciò li ho usati.

"alby941":Dimmi anche solo a parole se quello che ho formulato nella domanda è sbagliato, cosi una volta che ho capito possiamo passare alle formule

Sopra ho dimostrato che una funzione dotata di derivata sinistra in un punto è necessariamente continua in quel punto da sinistra.
Analogamente, una funzione dotata di derivata destra in un punto è necessariamente continua da destra in quel punto.
Mettendo insieme queste due cose col fatto che una funzione convessa è dotata di derivata sinistra e destra in ogni punto interno all'intervallo di definizione, trai facilmente che ogni funzione convessa è continua in ogni punto interno a tale intervallo.
Quindi quanto hai scritto nell'OP è giusto.

[dissonance]

Non è stato detto esplicitamente che una funzione convessa non è per forza derivabile. L'esempio più ovvio è la funzione convessa
\[
f(x)=\lvert x \rvert,\qquad x\in \mathbb{R},
\]
che non è derivabile in $x=0$. Tuttavia, in quel punto esistono le derivate destra e sinistra e valgono rispettivamente $+1$ e $-1$. Spero che questo esempio possa chiarire il dubbio dell'OP

[ue_ndo]

il nocciolo della questione è che tu hai a che fare con una funzione convessa per ipotesi, quindi puoi avere derivata prima con al massimo discontinuità di prima specie(ad es.$f(x)=\|x\|$ che in $x=0$ ha $f^{'}(0^{-})=-1$ $f^{'}(0^{+})=1$) perché la derivabilità di una funzione è condizione sufficiente, non necessaria alla continuità!.

[alby9411]

Grazie a tutti e 3 per la risposta. Gugo.. ho capito ciò che hai fatto, ma io mi chiedevo come fosse possibile il fatto che preso un punto $x0$, fosse possibile che il coefficiente angolare alla sua destra, seppur di poco, possa essere uguale al coefficiente angolare alla sua sinistra. Cioè a livello grafico questa cosa può succedere solo nelle funzioni costanti. Lo so.. mi sto perdendo su un qualcosa di semplice

[ue_ndo]

"alby941":io mi chiedevo come fosse possibile il fatto che preso un punto $x0$, fosse possibile che il coefficiente angolare alla sua destra, seppur di poco, possa essere uguale al coefficiente angolare alla sua sinistra. Cioè a livello grafico questa cosa può succedere solo nelle funzioni costanti. Lo so.. mi sto perdendo su un qualcosa di semplice

non confondere quando l'intera $f^{\prime}(x)$ è nulla e quando $f^{\prime}(x)$ è continua in $x_{0}$ che richiede che derivata destra e sinistra coincidano e siano uguali a $f^{\prime}(x)=f^{\prime}(x_{0})$, altrimnenti graficamente ti ritroveresti con una tangente spezzata in $x_{0}$

[alby9411]

"alby941": se la derivata destra e la derivata sinistra in un punto non sono uguali, in teoria la funzione non dovrebbe essere non derivabile in $x0$ ?
Grazie

La prima domanda che ho formulato è stata questa, ma non ho ancora capito la risposta diretta, scusatemi

[alby9411]

"gugo82":
Sopra ho dimostrato che una funzione dotata di derivata sinistra in un punto è necessariamente continua in quel punto da sinistra.
Analogamente, una funzione dotata di derivata destra in un punto è necessariamente continua da destra in quel punto.
Mettendo insieme queste due cose col fatto che una funzione convessa è dotata di derivata sinistra e destra in ogni punto interno all'intervallo di definizione, trai facilmente che ogni funzione convessa è continua in ogni punto interno a tale intervallo.
Quindi quanto hai scritto nell'OP è giusto.

ma per essere continua in $x0$ , non deve essere uguale il limite destro sinistro = $f(x0)$?

[ue_ndo]

esattamente, non in teoria ma non è derivabile per definizione di derivata. quello che però ti sottolineo è che anche se $f(x)$ non è derivabile in $x_{0}$ tuttavia potrebbe essere continua in $x_{0}$. l'esempio e $f(x)=\|x\|$ che non è derivabile ma continua in $x=0$.

[ue_ndo]

"alby941":[quote="gugo82"]
Sopra ho dimostrato che una funzione dotata di derivata sinistra in un punto è necessariamente continua in quel punto da sinistra.
Analogamente, una funzione dotata di derivata destra in un punto è necessariamente continua da destra in quel punto.
Mettendo insieme queste due cose col fatto che una funzione convessa è dotata di derivata sinistra e destra in ogni punto interno all'intervallo di definizione, trai facilmente che ogni funzione convessa è continua in ogni punto interno a tale intervallo.
Quindi quanto hai scritto nell'OP è giusto.

ma per essere continua in $x0$ , non deve essere uguale il limite destro sinistro = $f(x0)$?[/quote]

ha dimostrato che è derivabile nell' intorno sinistro di $x_{0}$ e che quindi è continua in quell'intorno, se lo è anche nell'intorno destro e i valori della derivata destra e sonistra coincidono allora è continua in $x_{0}$. ti ripeto, la derivabilità è una condizione sufficiente e non necessaria alla continuità, in altre parole dove la funzione è derivibile è continua dove non è derivabile puà essere o meno continua.

[alby9411]

Perfetto.. è più chiaro. Dimmi se sbaglio: io so che la derivata sinistra di un certo $x0$ in una funzione convessa è sempre $<=$ alla derivata destra in $x0$. Nel caso in cui avvenisse la maggiorazione stretta , la funzione è crescente e non è derivabile in $x0$ ( ma lo è a sinistra e destra) ma potrebbe( oppure deve esserlo? ) essere continua in $x0$.

[ue_ndo]

come ti ho già scritto, se la derivata destra e sinistra coincidono $f^{\prime}(x^-)=f^{\prime}(x^+)$ problemi non ce ne sono e non vuol dire che $f(x)$ è costante. se $f^{\prime}(x^-)

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[dissonance]

@ue_ndo: Forse è meglio se eviti di postare tanto. Tra le tante cose che hai scritto ci sono anche parecchie cavolate:

non confondere quando l'intera $f^{\prime}(x)$ è nulla e quando $f^{\prime}(x)$ è continua in $x_{0}$ che richiede che derivata destra e sinistra coincidano e siano uguali a $f^{\prime}(x)=f^{\prime}(x_{0})$

Non è così. La condizione $f'(x_0^-)=f'(x_0^+)$ è equivalente alla sola esistenza della derivata prima in $x_0$, non alla sua continuità.

"ue_ndo":ha dimostrato che è derivabile nell' intorno sinistro di $x_{0}$ e che quindi è continua in quell'intorno, se lo è anche nell'intorno destro e i valori della derivata destra e sonistra coincidono allora è continua in $x_{0}$.

Ma no, come tu stesso hai detto svariate volte una funzione convessa non è per forza derivabile. Tuttavia è sempre continua. Non c'è altro da dire, i tuoi complicati giri di parole finiscono per lasciare intendere cose false.

"ue_ndo":(essendo convessa)significa che la derivata è discontinua ma la funzione può essere o meno continua e soprattutto non da informazioni sulla monotonia perché non c'è un cambio di segno, essendo convessa deve essere continua ma per dimostralo non è questa la strada.

Altro pastrocchio che significa poco ma quel poco è falso. Una funzione derivata può anche esistere ma non essere continua. Quindi non è che "la derivata è discontinua", la derivata in un punto non esiste proprio. Inoltre, per dimostrare che una funzione convessa è sempre continua (fatto *vero*) la strada standard è proprio quella di ragionare sulla derivata destra e sinistra, nonostante la tua opinione contraria.

In conclusione, io ti invito a riflettere di più prima di scrivere di getto. Devi dire molte meno cose, ma molto più ragionate.

[alby9411]

"alby941":Perfetto.. è più chiaro. Dimmi se sbaglio: io so che la derivata sinistra di un certo $x0$ in una funzione convessa è sempre $<=$ alla derivata destra in $x0$. Nel caso in cui avvenisse la maggiorazione stretta , la funzione è crescente e non è derivabile in $x0$ ( ma lo è a sinistra e destra) ma potrebbe( oppure deve esserlo? ) essere continua in $x0$.

dissonance lo chiedo anche a te... è giusto?

[ue_ndo]

@dissonance

1.secondo te $f^{\prime}(x)$ non può essere continua in un punto e quindi $f(x)$ essere derivabile e, quindi, continua nel punto.
2. se dimostri la derivabilità, ovvero che il limite del rapporto incrementale, destro e sinistro, per l'incremento che tende a zero, esistono e coincidono, allora puoi dire che che la funzione è continua in quel punto. Diveramente se non è derivabile non puoi dire se è o meno continua.
3.il fatto che $f^{\prime}(x_{-}) 4.cancella questo post che disturba e crea confusione altrimenti ti segnalo ai moderatori.

[alby9411]

Ragazzi cosi mi confondete di più..

[ue_ndo]

il troll di turno deve sempre capitare. Ora lo segnalo, intanto cerchiamo di capire cosa hai capito e cosa no.