Convessità funzione
Ciao ragazzi, mi confondo su qualche particolare in questo teorema:
Sia $f:(a,b)-->R$ una funzione convessa. Se $x0$ appartiene ad $]a,b[$ esiste in $x0$ la derivata sinistra e destra e $f'-(x0)<=f'+(x0)$ , che implica la continuità in $x0$.
Il dubbio che mi viene è: ma se la derivata destra e la derivata sinistra in un punto non sono uguali, in teoria la funzione non dovrebbe essere non derivabile in $x0$ ? Oppure mi confondo con il fatto che deve essere uguale il limite del rapporto incrementale a destra e sinistra??
Grazie
Sia $f:(a,b)-->R$ una funzione convessa. Se $x0$ appartiene ad $]a,b[$ esiste in $x0$ la derivata sinistra e destra e $f'-(x0)<=f'+(x0)$ , che implica la continuità in $x0$.
Il dubbio che mi viene è: ma se la derivata destra e la derivata sinistra in un punto non sono uguali, in teoria la funzione non dovrebbe essere non derivabile in $x0$ ? Oppure mi confondo con il fatto che deve essere uguale il limite del rapporto incrementale a destra e sinistra??
Grazie
Risposte
Prima ho citato una cosa ben precisa a cui ancora non avete risposto 
Rimetto ordine un momento nel thread.
Questo dubbio fa fatica ad essere legato al teorema in sé (è più un problema legato alla definizione di derivata sinistra e destra)... Vediamo un po' come stanno le cose.
Limiti sinistro e destro del rapporto incrementale:
Consideriamo i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale in \(x_0\), i.e.:
\[
\begin{split}
&\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\
& \lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\; ;
\end{split}
\]
In generale, tra tali due limiti non c'è alcun rapporto, nel senso che l'esistenza dell'uno non implica l'esistenza dell'altro, né la finitezza dell'uno implica la finitezza dell'altro, ed, anche se entrambi esistono (finiti o no), essi non sono tenuti a coincidere (si possono costruire facili esempi di ognuna di queste situazioni).
Inoltre, non c'è nessun legame tra la sola esistenza di tali limiti e la continuità della funzione in \(x_0\).
Derivata sinistra e destra in un punto:
Supponiamo, invece che uno od entrambi tali limiti esistano finiti. In tal caso, posto:
\[
f_{\pm}^\prime (x_0) = \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\; ,
\]
i numeri \(f_+^\prime (x_0)\) e \(f_-^\prime (x_0)\) si chiamano, rispettivamente, derivata destra e derivata sinistra di \(f\) in \(x_0\).
L'esistenza della derivata sinistra [risp. destra] in un punto \(x_0\), cioé la finitezza del limite \(\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) [risp. \(\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)], implica la continuità di \(f\) a sinistra [risp. destra] di \(x_0\), cioé che \(\lim_{x\to x_0^-} f(x)=f(x_0)\) [risp. \(\lim_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)\)]; quindi, se una funzione è dotata di entrambe le derivate sinistra e destra in un punto interno al dominio, allora essa è continua in tale punto.
Quando entrambi i limiti esistono finiti, l'essere \(f_-^\prime (x_0)\neq f_+^\prime (x_0)\) implica che la \(f\) non è derivabile in \(x_0\): infatti, se lo fosse, si avrebbe:
\[
f^\prime (x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
\]
ed i due limiti di sopra esisterebbero (finiti!) e sarebbero uguali, contro l'assunto. Perciò una funzione è derivabile in \(x_0\) solo se vale l'uguaglianza \(f_-^\prime (x_0) = f_+^\prime (x_0)\) ed, in tal caso, il loro valore è proprio la derivata di \(f\) in \(x_0\).
Derivate sinistra e destra di funzioni convesse/concave:
Dato che i rapporti incrementali delle funzioni convesse [risp. concave] sono localmente limitati e crescenti [risp. decrescenti] intorno ad ogni punto interno al dominio, le funzioni convesse e concave sono sempre dotate di dervata sinistra e destra nei punti interni e tra di esse sussiste la relazione:
\[
\tag{A}
f_-^\prime(x_0)\leq f_+^\prime (x_0) \quad \text{[risp. } f_-^\prime(x_0)\geq f_+^\prime (x_0)\text{]}\; .
\]
Come detto sopra, l'esistenza di entrambe le derivate sinistra e destra implica la continuità nei punti interni, perciò le funzioni concave e le funzioni convesse sono continue all'interno del proprio intervallo di definizione.
In generale, però, la relazione d'ordine nelle (A) è stretta, perciò una funzione convessa/concava non è tenuta ad essere derivabile nell'interno del suo intervallo di definizione.
Si può provare, inoltre, che se \(f\) è convessa [risp. concava] le due funzioni \(f_-^\prime\) ed \(f_+^\prime\) sono entrambe crescenti [risp. decrescenti] nell'interno dell'intervallo di definizione di \(f\), quindi esse sono continue quasi ovunque e presentano al più un'infinità numerabile di discontinuità (tutte di prima specie) nell'interno dell'intevallo di definizione di \(f\).
@ ue_ndo:
[xdom="gugo82"]Sinceramente, un newbie che dà del troll ad un utente molto esperto (ed ex moderatore, tra l'altro) non l'avevo mai visto...
Prima di segnalare messaggi a casaccio, credo che un PM con una richiesta di chiarimenti sia la cosa più sensata da fare.[/xdom]
"alby941":
Ciao ragazzi, mi confondo su qualche particolare in questo teorema:
Sia $f:(a,b)-->R$ una funzione convessa. Se $x0$ appartiene ad $]a,b[$ esiste in $x0$ la derivata sinistra e destra e $f'-(x0)<=f'+(x0)$ , che implica la continuità in $x0$.
Il dubbio che mi viene è: ma se la derivata destra e la derivata sinistra in un punto non sono uguali, in teoria la funzione non dovrebbe essere non derivabile in $x0$ ?
Questo dubbio fa fatica ad essere legato al teorema in sé (è più un problema legato alla definizione di derivata sinistra e destra)... Vediamo un po' come stanno le cose.
Limiti sinistro e destro del rapporto incrementale:
Consideriamo i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale in \(x_0\), i.e.:
\[
\begin{split}
&\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\
& \lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\; ;
\end{split}
\]
In generale, tra tali due limiti non c'è alcun rapporto, nel senso che l'esistenza dell'uno non implica l'esistenza dell'altro, né la finitezza dell'uno implica la finitezza dell'altro, ed, anche se entrambi esistono (finiti o no), essi non sono tenuti a coincidere (si possono costruire facili esempi di ognuna di queste situazioni).
Inoltre, non c'è nessun legame tra la sola esistenza di tali limiti e la continuità della funzione in \(x_0\).
Derivata sinistra e destra in un punto:
Supponiamo, invece che uno od entrambi tali limiti esistano finiti. In tal caso, posto:
\[
f_{\pm}^\prime (x_0) = \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\; ,
\]
i numeri \(f_+^\prime (x_0)\) e \(f_-^\prime (x_0)\) si chiamano, rispettivamente, derivata destra e derivata sinistra di \(f\) in \(x_0\).
L'esistenza della derivata sinistra [risp. destra] in un punto \(x_0\), cioé la finitezza del limite \(\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) [risp. \(\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)], implica la continuità di \(f\) a sinistra [risp. destra] di \(x_0\), cioé che \(\lim_{x\to x_0^-} f(x)=f(x_0)\) [risp. \(\lim_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)\)]; quindi, se una funzione è dotata di entrambe le derivate sinistra e destra in un punto interno al dominio, allora essa è continua in tale punto.
Quando entrambi i limiti esistono finiti, l'essere \(f_-^\prime (x_0)\neq f_+^\prime (x_0)\) implica che la \(f\) non è derivabile in \(x_0\): infatti, se lo fosse, si avrebbe:
\[
f^\prime (x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
\]
ed i due limiti di sopra esisterebbero (finiti!) e sarebbero uguali, contro l'assunto. Perciò una funzione è derivabile in \(x_0\) solo se vale l'uguaglianza \(f_-^\prime (x_0) = f_+^\prime (x_0)\) ed, in tal caso, il loro valore è proprio la derivata di \(f\) in \(x_0\).
Derivate sinistra e destra di funzioni convesse/concave:
Dato che i rapporti incrementali delle funzioni convesse [risp. concave] sono localmente limitati e crescenti [risp. decrescenti] intorno ad ogni punto interno al dominio, le funzioni convesse e concave sono sempre dotate di dervata sinistra e destra nei punti interni e tra di esse sussiste la relazione:
\[
\tag{A}
f_-^\prime(x_0)\leq f_+^\prime (x_0) \quad \text{[risp. } f_-^\prime(x_0)\geq f_+^\prime (x_0)\text{]}\; .
\]
Come detto sopra, l'esistenza di entrambe le derivate sinistra e destra implica la continuità nei punti interni, perciò le funzioni concave e le funzioni convesse sono continue all'interno del proprio intervallo di definizione.
In generale, però, la relazione d'ordine nelle (A) è stretta, perciò una funzione convessa/concava non è tenuta ad essere derivabile nell'interno del suo intervallo di definizione.
Si può provare, inoltre, che se \(f\) è convessa [risp. concava] le due funzioni \(f_-^\prime\) ed \(f_+^\prime\) sono entrambe crescenti [risp. decrescenti] nell'interno dell'intervallo di definizione di \(f\), quindi esse sono continue quasi ovunque e presentano al più un'infinità numerabile di discontinuità (tutte di prima specie) nell'interno dell'intevallo di definizione di \(f\).
@ ue_ndo:
[xdom="gugo82"]Sinceramente, un newbie che dà del troll ad un utente molto esperto (ed ex moderatore, tra l'altro) non l'avevo mai visto...
Prima di segnalare messaggi a casaccio, credo che un PM con una richiesta di chiarimenti sia la cosa più sensata da fare.[/xdom]
"alby941":[/quote]
[quote="alby941"]Perfetto.. è più chiaro. Dimmi se sbaglio: io so che la derivata sinistra di un certo $x0$ in una funzione convessa è sempre $<=$ alla derivata destra in $x0$. Nel caso in cui avvenisse la maggiorazione stretta , la funzione è crescente e non è derivabile in $x0$ ( ma lo è a sinistra e destra) ma potrebbe( oppure deve esserlo? ) essere continua in $x0$.
1.con la maggiorazione stretta sulla derivata, puoi dire che la derivata è crescente e non la funzione. la $f^{\prime}(x_{-})
2.la derivabilità, ripeto, è una condizione sufficiente e non necessaria alla continuità. in altre parole, se la funzione è derivabile in $x_{0}$ allora è continua $x_{0}$; se la funzione non è derivabile in $x_{0}$, la funzione può essere o meno continua in $x_{0}$ e dobbiamo valutarlo con altro strada.
Grazie gugo sei stato chiarissimo, tuttavia ci sono dei particolari che non ho capito sicuramente per mio errore...
non ho capito perchè mi uguagli quel limite proprio ad $f(x0)$ ... ossia la derivabilità a sinistra implica la continuità a sinistra e quindi limite sinistro uguale a valore della funzione in $x0$?
"gugo82":
L'esistenza della derivata sinistra [risp. destra] in un punto \(x_0\), cioé la finitezza del limite \(\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) [risp. \(\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)], implica la continuità di \(f\) a sinistra [risp. destra] di \(x_0\), cioé che \(\lim_{x\to x_0^-} f(x)=f(x_0)\) [risp. \(\lim_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)\)]; quindi, se una funzione è dotata di entrambe le derivate sinistra e destra in un punto interno al dominio, allora essa è continua in tale punto.
non ho capito perchè mi uguagli quel limite proprio ad $f(x0)$ ... ossia la derivabilità a sinistra implica la continuità a sinistra e quindi limite sinistro uguale a valore della funzione in $x0$?
Come detto sopra, l'esistenza di entrambe le derivate sinistra e destra implica la continuità nei punti interni, perciò le funzioni concave e le funzioni convesse sono continue all'interno del proprio intervallo di definizione.
"gugo82":
L'esistenza della derivata sinistra [risp. destra] in un punto \(x_0\), cioé la finitezza del limite \(\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) [risp. \(\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)], implica la continuità di \(f\) a sinistra [risp. destra] di \(x_0\), cioé che \(\lim_{x\to x_0^-} f(x)=f(x_0)\) [risp. \(\lim_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)\)]; quindi, se una funzione è dotata di entrambe le derivate sinistra e destra in un punto interno al dominio, allora essa è continua in tale punto.
quindi secondo quello che hai scritto
$x^2\;\forall x<=0 \ \ x^2+1\;\forall x>0\.$
è continua in 0
..
gugo...
@ ue_ndo:
quindi secondo quello che hai scritto
$x^2\;\forall x<=0 \ \ x^2+1\;\forall x>0\.$
è continua in 0[/quote]
Mi stupisco sempre di come qualcuno "che dà ripetizioni da 10 anni" (come se l'anzianità di servizio fosse, sempre e comunque, un titolo di merito...) possa essere tanto frettoloso nel rispondere.
La funzione che hai proposto, cioé:
\[
f(x) := \begin{cases} x^2 &\text{, se } x\leq 0\\
x^2 + 1 &\text{, se } x>0\; ,
\end{cases}
\]
non ha la derivata destra in \(0\); quindi, quanto ho scritto sopra si applica e garantisce la continuità da sinistra in \(0\) (cosa che si verifica anche "a occhio"), ma di certo non si applica a destra di \(0\).
Meno foga e più riflessione, la prossima volta, altrimenti va a finire che confondi ancor di più l'utenza.
Grazie.
@ alby941:
non ho capito perchè mi uguagli quel limite proprio ad $f(x0)$ ... ossia la derivabilità a sinistra implica la continuità a sinistra e quindi limite sinistro uguale a valore della funzione in $x0$? [/quote]
Qual è la definizione di continuità a sinistra/destra in un punto?
"ue_ndo":
[quote="gugo82"]
L'esistenza della derivata sinistra [risp. destra] in un punto \(x_0\), cioé la finitezza del limite \(\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) [risp. \(\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)], implica la continuità di \(f\) a sinistra [risp. destra] di \(x_0\), cioé che \(\lim_{x\to x_0^-} f(x)=f(x_0)\) [risp. \(\lim_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)\)]; quindi, se una funzione è dotata di entrambe le derivate sinistra e destra in un punto interno al dominio, allora essa è continua in tale punto.
quindi secondo quello che hai scritto
$x^2\;\forall x<=0 \ \ x^2+1\;\forall x>0\.$
è continua in 0[/quote]
Mi stupisco sempre di come qualcuno "che dà ripetizioni da 10 anni" (come se l'anzianità di servizio fosse, sempre e comunque, un titolo di merito...) possa essere tanto frettoloso nel rispondere.
La funzione che hai proposto, cioé:
\[
f(x) := \begin{cases} x^2 &\text{, se } x\leq 0\\
x^2 + 1 &\text{, se } x>0\; ,
\end{cases}
\]
non ha la derivata destra in \(0\); quindi, quanto ho scritto sopra si applica e garantisce la continuità da sinistra in \(0\) (cosa che si verifica anche "a occhio"), ma di certo non si applica a destra di \(0\).
Meno foga e più riflessione, la prossima volta, altrimenti va a finire che confondi ancor di più l'utenza.
Grazie.
@ alby941:
"alby941":
Grazie gugo sei stato chiarissimo, tuttavia ci sono dei particolari che non ho capito sicuramente per mio errore...
[quote="gugo82"]L'esistenza della derivata sinistra [risp. destra] in un punto \(x_0\), cioé la finitezza del limite \(\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) [risp. \(\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)], implica la continuità di \(f\) a sinistra [risp. destra] di \(x_0\), cioé che \(\lim_{x\to x_0^-} f(x)=f(x_0)\) [risp. \(\lim_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)\)]; quindi, se una funzione è dotata di entrambe le derivate sinistra e destra in un punto interno al dominio, allora essa è continua in tale punto.
non ho capito perchè mi uguagli quel limite proprio ad $f(x0)$ ... ossia la derivabilità a sinistra implica la continuità a sinistra e quindi limite sinistro uguale a valore della funzione in $x0$? [/quote]
Qual è la definizione di continuità a sinistra/destra in un punto?
sisi esatto... infatti ci ho pensato dopo... . Ma la cosa grafica che non mi torna è: se prendo $f(x)=x^2$ ... qualsiasi punto interno prendo, vedo che la derivata destra e sinistra di un qualsiasi punto $x0$ ha coefficiente angolare diverso ( i punti a destra di $x0$ lo avranno sempre maggiore di quelli di sinistra).. quindi concludo che non è derivabile in $x0$ ma questo non è vero. Cosa sto sbagliando dunque?
perdonami gugo la prossima volta butterò definizioni tanto per buttarle...
@ alby941: Non capisco quale possa essere il dubbio, ma tento comunque una risposta.
Graficamente, dire che una funzione convessa non è derivabile in un punto equivale a dire che essa vi ha un punto angoloso con tangenti non verticali da nessuno dei due lati (questo discende immediatamente da quanto ho scritto prima, perché in tal caso la funzione ha entrambe le derivate sinistra e destra finite in tal punto, vi è continua e si ha \(f_-^\prime (x_0)
axes();
stroke="grey"; strokewidth=0.5; line([1,1.5],[4,0]);
line([1,1.5],[-1,0]);
stroke="black"; dot([1,1.5]);
stroke="red"; strokewidth=2; path([[0,2],[1,1.5],[3,3]]);[/asvg]
[asvg]xmin=0; xmax=3; ymin=0; ymax=3;
axes();
stroke="grey"; strokewidth=0.5; line([1,1.5],[4,1.5]);
line([1,1.5],[-1,0]);
stroke="black"; dot([1,1.5]);
stroke="red"; strokewidth=2; path([[0,1.5],[1,1.5],[3,3]]);[/asvg]
[asvg]xmin=0; xmax=3; ymin=0; ymax=3;
axes();
stroke="grey"; strokewidth=0.5; line([1,1.5],[4,3]);
line([1,1.5],[-1,0]);
stroke="black"; dot([1,1.5]);
stroke="red"; strokewidth=2; path([[0,1],[1,1.5],[3,3]]);[/asvg]
D'altra parte, non ti seguo quando parli della funzione \(f(x):=x^2\)... Infatti questa funzione qui è derivabile, quindi \(f_-^\prime (x_0)=f_+^\prime (x_0)=f^\prime (x_0)=2x_0\) e non ci sono problemi di sorta.
@ue_ndo: Eh?
Graficamente, dire che una funzione convessa non è derivabile in un punto equivale a dire che essa vi ha un punto angoloso con tangenti non verticali da nessuno dei due lati (questo discende immediatamente da quanto ho scritto prima, perché in tal caso la funzione ha entrambe le derivate sinistra e destra finite in tal punto, vi è continua e si ha \(f_-^\prime (x_0)
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stroke="grey"; strokewidth=0.5; line([1,1.5],[4,0]);
line([1,1.5],[-1,0]);
stroke="black"; dot([1,1.5]);
stroke="red"; strokewidth=2; path([[0,2],[1,1.5],[3,3]]);[/asvg]
[asvg]xmin=0; xmax=3; ymin=0; ymax=3;
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stroke="grey"; strokewidth=0.5; line([1,1.5],[4,1.5]);
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D'altra parte, non ti seguo quando parli della funzione \(f(x):=x^2\)... Infatti questa funzione qui è derivabile, quindi \(f_-^\prime (x_0)=f_+^\prime (x_0)=f^\prime (x_0)=2x_0\) e non ci sono problemi di sorta.
@ue_ndo: Eh?
si.. se mi fai subito la derivata prima si... ma il coefficiente angolare di $x^2$ cresce man mano che mi sposto a destra sull'asse delle x. Ma una funzione per essere derivabile in un certo punto non deve avere derivata destra e sinistra uguali e finite? So che c'è un errore che sto commettendo ma non so quale perchè ovviamente $x^2$ è derivabile in ogni suo punto. Spero che hai capito cosa cerco di dire
Beh, l'errore è che confondi la derivata sinistra e la derivata destra in un punto fissato, con il comportamento della derivata prima in un intorno sinistro e un intorno destro di tale punto.
Chiaramente, essendo la derivata prima una funzione in generale non costante, è chiaro che essa possa assumere valori diversi in un intorno sinistro e un intorno destro di un certo punto \(x_0\)... Ma in questo contesto non è ciò che ti interessa!
Infatti, graficamente, a te interessa guardare cosa combinano i coefficienti angolari delle tangenti al grafico di \(f\) nel punto \((x_0,f(x_0))\) a sinistra ed a destra di tale punto, i quali sono, rispettivamente, la derivata sinistra in \(x_0\) e la derivata destra in \(x_0\) di \(f\).
D'altra parte, usando la definizione di derivata sinistra vedi subito che:
\[
\lim_{x\to x_0^-} \frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0^-} \frac{\cancel{(x - x_0)}(x+x_0)}{\cancel{x-x_0}} = 2x_0 = f_-^\prime (x_0)
\]
ed analogamente:
\[
\lim_{x\to x_0^+} \frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0^+} \frac{\cancel{(x - x_0)}(x+x_0)}{\cancel{x-x_0}} = 2x_0 = f_+^\prime (x_0)\; .
\]
Chiaramente, essendo la derivata prima una funzione in generale non costante, è chiaro che essa possa assumere valori diversi in un intorno sinistro e un intorno destro di un certo punto \(x_0\)... Ma in questo contesto non è ciò che ti interessa!
Infatti, graficamente, a te interessa guardare cosa combinano i coefficienti angolari delle tangenti al grafico di \(f\) nel punto \((x_0,f(x_0))\) a sinistra ed a destra di tale punto, i quali sono, rispettivamente, la derivata sinistra in \(x_0\) e la derivata destra in \(x_0\) di \(f\).
D'altra parte, usando la definizione di derivata sinistra vedi subito che:
\[
\lim_{x\to x_0^-} \frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0^-} \frac{\cancel{(x - x_0)}(x+x_0)}{\cancel{x-x_0}} = 2x_0 = f_-^\prime (x_0)
\]
ed analogamente:
\[
\lim_{x\to x_0^+} \frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0^+} \frac{\cancel{(x - x_0)}(x+x_0)}{\cancel{x-x_0}} = 2x_0 = f_+^\prime (x_0)\; .
\]
si dal calcolo si vede subito che sono uguali.. forse mi confondo perchè stiamo ragionando " al limite"? Nel senso a quale $m$ tendiamo?
"alby941":
forse mi confondo perchè stiamo ragionando " al limite"?
Nulla di tutto ciò.
Ripeto:
"gugo82":
l'errore è che confondi la derivata sinistra e la derivata destra in un punto fissato, con il comportamento della funzione derivata prima in un intorno sinistro e un intorno destro di tale punto.
"alby941":
Nel senso a quale $m$ tendiamo?
Che vuol dire?
"alby941":
si dal calcolo si vede subito che sono uguali.. forse mi confondo perchè stiamo ragionando " al limite"? Nel senso a quale $m$ tendiamo?
vedilo graficamente il problema, se la derivata destra e sinistra in un punto della parabola fossero diverse, avresti una spezzata come tangente; invece avendo un retta vuol dire che il coefficiente è costante sia a destra che a sinistra del punto.
ma a destra di $x0$ la funzione cresce sempre di più.... sto impazzendo,
@ ue_ndo:
vedilo graficamente il problema, se la derivata destra e sinistra in un punto della parabola fossero diverse, avresti una spezzata come tangente[/quote]
Il che non vuol dire nulla, dato che la tangente è una retta per definizione.
Come già detto, gradirei la smettessi di scrivere cose che possono far confondere gli utenti.
Grazie.
@ alby941:
Embé?
Dov'è il problema?
"ue_ndo":
[quote="alby941"]si dal calcolo si vede subito che sono uguali.. forse mi confondo perchè stiamo ragionando " al limite"? Nel senso a quale $m$ tendiamo?
vedilo graficamente il problema, se la derivata destra e sinistra in un punto della parabola fossero diverse, avresti una spezzata come tangente[/quote]
Il che non vuol dire nulla, dato che la tangente è una retta per definizione.
Come già detto, gradirei la smettessi di scrivere cose che possono far confondere gli utenti.
Grazie.
@ alby941:
"alby941":
ma a destra di $x0$ la funzione cresce sempre di più...
Embé?
Dov'è il problema?
il problema è che a sinistra di $x0$ il coefficiente angolare è minore che alla destra di $x0$ e dunque la derivata destra di $x0$ non può essere uguale a quello di sinistra perchè "impenna di più" e da questo concludo che le due derivate essendo diverse rendono $x0$ un punto non derivabile. Ma so che è tutto falso .. boh mi confondo io scusate...
"gugo82":
@ ue_ndo:
[quote="ue_ndo"][quote="alby941"]si dal calcolo si vede subito che sono uguali.. forse mi confondo perchè stiamo ragionando " al limite"? Nel senso a quale $ m $ tendiamo?
vedilo graficamente il problema, se la derivata destra e sinistra in un punto della parabola fossero diverse, avresti una spezzata come tangente[/quote]
Il che non vuol dire nulla, dato che la tangente è una retta per definizione.
Come già detto, gradirei la smettessi di scrivere cose che possono far confondere gli utenti.
Grazie.[/quote]
caro anche due circonferenze o parabole possono essere tangenti e visto che da quando sei intervenuto hai messo solo più confusione buttando solo definizioni, fai silenzio. Del resto il povero alby è più confuso che mai da quando sei intervenuto o i tuoi 15000 messaggi ti offuscano la vista?
p.s.non essere banale nel rispondermi che le due circonferena sono tangenti ad una ste retta.
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