Convessità funzione
Ciao ragazzi, mi confondo su qualche particolare in questo teorema:
Sia $f:(a,b)-->R$ una funzione convessa. Se $x0$ appartiene ad $]a,b[$ esiste in $x0$ la derivata sinistra e destra e $f'-(x0)<=f'+(x0)$ , che implica la continuità in $x0$.
Il dubbio che mi viene è: ma se la derivata destra e la derivata sinistra in un punto non sono uguali, in teoria la funzione non dovrebbe essere non derivabile in $x0$ ? Oppure mi confondo con il fatto che deve essere uguale il limite del rapporto incrementale a destra e sinistra??
Grazie
Sia $f:(a,b)-->R$ una funzione convessa. Se $x0$ appartiene ad $]a,b[$ esiste in $x0$ la derivata sinistra e destra e $f'-(x0)<=f'+(x0)$ , che implica la continuità in $x0$.
Il dubbio che mi viene è: ma se la derivata destra e la derivata sinistra in un punto non sono uguali, in teoria la funzione non dovrebbe essere non derivabile in $x0$ ? Oppure mi confondo con il fatto che deve essere uguale il limite del rapporto incrementale a destra e sinistra??
Grazie
Risposte
@ alby941:
Il coefficiente angolare di chi?
Se rispondi bene ti accorgi che questo:
è un non sequitur.
@ ue_ndo: Infatti, nel caso riportato si dice che due curve (e.g., circonferenza e parabola) sono tangenti tra loro.
Ma, nel contesto di questo thread, il sostantivo "tangente" è usato ovunque per denotare sinteticamente la "retta tangente" al grafico di una funzione.
Quindi, ti prego per l'ennesima volta di smetterla di intorbidire le acque citando situazioni palesemente fuori contesto.
Grazie.
"alby941":
il problema è che a sinistra di $x0$ il coefficiente angolare è minore che alla destra di $x0$ [...]
Il coefficiente angolare di chi?
Se rispondi bene ti accorgi che questo:
"alby941":
dunque la derivata destra di $x0$ non può essere uguale a quello di sinistra perchè "impenna di più" e da questo concludo che le due derivate essendo diverse rendono $x0$ un punto non derivabile.
è un non sequitur.
@ ue_ndo: Infatti, nel caso riportato si dice che due curve (e.g., circonferenza e parabola) sono tangenti tra loro.
Ma, nel contesto di questo thread, il sostantivo "tangente" è usato ovunque per denotare sinteticamente la "retta tangente" al grafico di una funzione.
Quindi, ti prego per l'ennesima volta di smetterla di intorbidire le acque citando situazioni palesemente fuori contesto.
Grazie.
io intendo il coefficiente angolare della funzione
e secondo quale regola in questo thread per tangente si intende una retta e non una qualsiasi curva? visto che lo stai solo confondendo perché non lasci fare a chi ha davvero esperienza? del resto i tuoi interventi si vede che grandi risultati stanno avendo. Insegna qualcosa davvero a qualcuno e poi ne riparliamo. Ricordati che nella fase iniziale è meglio essere poco formali e diventerlo nel seguito, man mano che ha capito. ma tu sei moderatore e hai 16000 messaggi che ne voglio capire io che ne ho solo 20
"alby941":
il problema è che a sinistra di $x0$ il coefficiente angolare è minore che alla destra di $x0$ e dunque la derivata destra di $x0$ non può essere uguale a quello di sinistra perchè "impenna di più" e da questo concludo che le due derivate essendo diverse rendono $x0$ un punto non derivabile. Ma so che è tutto falso .. boh mi confondo io scusate...
Tranquillo
Stai parlando di $x^2$, no? E di come varia il coefficiente angolare all'avvicinarsi della $x$ al punto $x_0$, ok?
Prendiamo allora un punto $x_0$ dal lato ascendente della parabola (perché nell'altro lato le cose funzionano all'inverso).
All'avvicinarsi della $x$ al punto $x_0$ da sinistra, il coefficiente angolare aumenta, giusto; ma all'avvicinarsi della $x$ al punto $x_0$ da destra il coefficiente angolare diminuisce e nel punto $x_0$, voilà, coincidono; come vedi, non c'è nessuna contraddizione ... ok?
Cordialmente, Alex
allora è giusto quello che ho chiesto precedentemente no? che sono uguali perchè ne stiamo facendo il limite, ossia a cosa tendono entrambe.. sbaglio?
"alby941":
io intendo il coefficiente angolare della funzione
Il che non ha senso, perché una funzione non ha alcun coefficiente angolare... Occorre una rilettura del significato geometrico della derivata prima, altrimenti non credo che il seguente post, che risponde graficamente alla questione sollevata, possa esserti di alcun aiuto.
***
Nota che qui non serve guardare il coefficiente angolare delle tangenti, perché non è quello che importa nel valutare la derivata sinistra e destra in un punto!
Infatti, dato che per definizione:
\[
f_+^\prime(x_0) = \lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}\; ,
\]
ciò significa che \(f_+^\prime (x_0)\) è il coefficiente angolare della "retta limite" delle secanti il grafico di \(f\) nei punti \((x_0,f(x_0))\) ed \((x,f(x))\) quando fai tendere \(x\to x_0\) da destra, cioé per valori \(x>x_0\).
Un disegno può chiarire le idee. Prendiamo la funzione:
\[
f(x) := \begin{cases} x^2-3x+2 &\text{, se } 0\leq x\leq 1\\
(x-1)^2 &\text{, se } 1\leq x\leq 3\; .
\end{cases}
\]
il cui grafico è diagrammato di seguito:
[asvg]xmin=0; xmax=3; ymin=0; ymax=3;
axes();
strokewidth=2; stroke="red"; plot("2+x*(x-3)",0,1); plot("(x-1)^2",1,3);[/asvg]
la quale non è derivabile (evidentemente) in \(x_0=1\). Per determinare graficamente la derivata destra, bisogna guardare qual è il comportamento al limite per \(x\to 1^+\) delle rette che secano il grafico di \(f\) nei punti \((1,f(1))=(1,0)\) ed \((x,f(x))\) per \(x>1\); pertanto tracciamo qualche secante al grafico del tipo suddetto (zoomando un po' il grafico nella zona d'interesse):
[asvg]xmin=1; xmax=2; ymin=0; ymax=1;
axes();
stroke="red"; plot("2+x*(x-3)",0,1); plot("(x-1)^2",1,3);
strokewidth=2; stroke="purple"; plot("x-1",1,4); dot([2,1]); stroke="blue"; plot("0.75*(x-1)",1,5); dot([1.75,0.5625]); stroke="dodgerblue"; plot("0.5*(x-1)",1,5); dot([1.5,0.25]); stroke="cyan"; plot("0.25*(x-1)",1,5); dot([1.25,0.0625]);
stroke="black"; dot([1,0]); text([1,0],"x0=1",below); text([2,0],"2",below);[/asvg]
e notiamo che la retta secante, man mano che il punto \((x,f(x))\) si avvicina a \((1,0)\), i.e. quando \(x\to 1^+\), tende ad assumere come posizione limite quella dell'asse delle \(x\), cioé la retta \(y=0\), la quale ha coefficiente angolare \(=0\).
Conseguentemente, \(f_+^\prime (1) =0\).
Analogamente, l'essere:
\[
f_-^\prime(x_0) = \lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}
\]
significa che \(f_-^\prime (x_0)\) è il coefficiente angolare della "retta limite" delle secanti il grafico di \(f\) nei punti \((x_0,f(x_0))\) ed \((x,f(x))\) quando fai tendere \(x\to x_0\) da sinistra, cioé per valori \(x
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=2;
axes();
stroke="red"; plot("2+x*(x-3)",0,1); plot("(x-1)^2",1,3);
strokewidth=2; stroke="purple"; plot("-2*(x-1)",-2,1); dot([0,2]); stroke="blue"; plot("-1.75*(x-1)",-2,1); dot([0.25,1.3125]); stroke="dodgerblue"; plot("-1.5*(x-1)",-2,1); dot([0.5,0.75]); stroke="cyan"; plot("-1.25*(x-1)",-2,1); dot([0.75,0.3125]);
stroke="grey"; strokewidth=1; line([1,0],[-1,2]);
stroke="black"; dot([1,0]); text([1,0],"x0=1",below); text([0,0],"0",belowleft); text([0,2],"2",left); text([0,1],"1",left);[/asvg]
Si vede che la retta secante, man mano che il punto \((x,f(x))\) si avvicina a \((1,0)\) da sinistra, i.e. quando \(x\to 1^-\), tende ad avvicinarsi sempre più alla retta per i punti \((1,0)\) e \((0,1)\) (disegnata in grigio), cioé alla retta d'equazione \(y=1-x\), la quale ha coefficiente angolare \(=-1\).
Perciò, \(f_-^\prime (1)=-1\).
Verifichiamo la cosa analiticamente.
Per definizione è:
\[
\begin{split}
f_+^\prime (1) &= \lim_{x\to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} \\
&= \lim_{x\to 1^+} \frac{(x-1)^2-0}{x-1}\\
&= \lim_{x\to 1^+} x-1\\
&=0
\end{split}
\]
in cui, per passare dal secondo al terzo membro, abbiamo tenuto presente che \(f(x)=(x-1)^2\) per \(x>1\); mentre:
\[
\begin{split}
f_-^\prime (1) &= \lim_{x\to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} \\
&= \lim_{x\to 1^-} \frac{(x^2-3x+2)-0}{x-1}\\
&= \lim_{x\to 1^-} \frac{\cancel{(x-1)}(x-2)}{\cancel{x-1}}\\
&= \lim_{x\to 1^-} x-2 \\
&= -1
\end{split}
\]
in cui, per passare dal secondo al terzo membro, abbiamo tenuto presente che \(f(x)=x^2-3x+2\) per \(x<1\).
Quindi l'intuizione grafica era giusta.
Riassumendo quanto trovato.
La derivata destra in un punto \(x_0\), cioé il numero \(f_+^\prime(x_0)\), rappresenta geometricamente il coefficiente angolare della retta che si ottiene come "posizione limite" della retta secante il grafico di \(f\) nei punti \((x_0,f(x_0))\) ed \((x,f(x))\) quando \(x\) tende ad \(x_0\) da destra, i.e. quando \(x\to x_0\) ed \(x>x_0\).
Analogamente, la derivata sinistra in un punto \(x_0\), cioé il numero \(f_-^\prime(x_0)\), rappresenta geometricamente il coefficiente angolare della retta che si ottiene come "posizione limite" della retta secante il grafico di \(f\) nei punti \((x_0,f(x_0))\) ed \((x,f(x))\) quando \(x\) tende ad \(x_0\) da sinistra, i.e. quando \(x\to x_0\) ed \(x
Quindi, graficamente, le due rette di equazione:
\[
\begin{split}
y &= f_+^\prime (x_0)\ (x-x_0) + f(x_0)\\
y &= f_-^\prime (x_0)\ (x-x_0) + f(x_0)
\end{split}
\]
rappresentano, rispettivamente, la retta tangente in \((x_0,f(x_0))\) al ramo del grafico di \(f\) a destra di \((x_0,f(x_0))\) (che si ottiene per \(x\geq x_0\)) e la retta tangente in \((x_0,f(x_0))\) al ramo del grafico di \(f\) a sinistra di \((x_0,f(x_0))\) (che si ottiene per \(x\leq x_0\)).
Riprendendo l'esempio precedente, la retta d'equazione:
\[
y=0
\]
è la tangente al ramo del grafico di \(f\) a destra di \(1\):
[asvg]xmin=0; xmax=3; ymin=0; ymax=3;
axes();
stroke="green"; strokewidth=2; line([-1,0],[4,0]);
stroke="red"; strokewidth=1; plot("2+x*(x-3)",0,1);
strokewidth=2; plot("(x-1)^2",1,3);[/asvg]
e la retta d'equazione:
\[
y=1-x
\]
è la tangente al ramo del grafico di \(f\) a sinistra di \(1\).
[asvg]xmin=0; xmax=3; ymin=0; ymax=3;
axes();
stroke="lime"; strokewidth=2; line([-1,2],[4,-3]);
strokewidth=2; stroke="red"; plot("2+x*(x-3)",0,1);
strokewidth=1; plot("(x-1)^2",1,3);[/asvg]
***
In più, notiamo che il grafico di \(f\) è compreso nell'angolo convesso formato dalle due semirette tangenti a destra ed a sinistra del punto \((1,f(1))=(1,0)\).
[asvg]xmin=0; xmax=3; ymin=0; ymax=3;
axes();
stroke="lime"; strokewidth=2; line([-1,2],[1,0]); stroke="green"; line([1,0],[4,0]);
stroke="red"; plot("2+x*(x-3)",0,1); plot("(x-1)^2",1,3);[/asvg]
Questo non è un caso e dipende dal fatto che \(f\) è convessa in \([0,3]\): infatti si può dimostrare facilmente che vale la seguente proprietà geometrica delle funzioni convesse:
Siano \(I\subseteq \mathbb{R}\) un intervallo non degenere, \(f:I\to \mathbb{R}\) convessa o concava in \(I\) ed \(x_0\) un punto interno ad \(I\).
Il grafico di \(f\) è compreso nell'angolo convesso chiuso formato dalle due semirette di equazione:
\[
\begin{split}
y &= f_+^\prime (x_0)\ (x-x_0) + f(x_0) \qquad \text{, con } x\geq x_0\\
y &= f_-^\prime (x_0)\ (x-x_0) + f(x_0) \qquad \text{, con } x\leq x_0\; .
\end{split}
\]
Grazie gugo, si... mi stavo spiegando male a termini ma intendevo proprio quello quando parlavo " per quale m tende"... tu mi hai chiarito i concetti. Ora , se mi potete aiutare a completare i discorsi siccome nel quaderno ho degli appunti molto frammentati:
se f è convessa in (a,b):
1) f è continua in (a,b)° , è di classe C^infinito e ha derivate continue. Perchè?
2) Non è detto che sia derivabile nei punti interni , ma esiste derivata destra e sinistra ( perchè? si intende di ogni punto interno?)
3)in $x0=a$ e in $x0=b$, $f'+(a)$ = - infinito mentre in $x0=b$ va a piu infinito ( sempre?? )
Gracias
se f è convessa in (a,b):
1) f è continua in (a,b)° , è di classe C^infinito e ha derivate continue. Perchè?
2) Non è detto che sia derivabile nei punti interni , ma esiste derivata destra e sinistra ( perchè? si intende di ogni punto interno?)
3)in $x0=a$ e in $x0=b$, $f'+(a)$ = - infinito mentre in $x0=b$ va a piu infinito ( sempre?? )
Gracias
qualcuno? ho chiarito molto le idee comunque
La (1) è falsa (vedi esempio precedente, $f(x)=|x|$), la (2) è quello di cui si è parlato fino adesso e la (3) non significa nulla
Scusate, intervengo un po' così alla rinfusa, perché non avevo seguito la discussione dall'inizio ed ora, con tutte queste pagine di messaggi, potrei aver fatto parecchia confusione.
Dico solo che, leggendo la frase di gugo82 riportata da ue_ndo e da alby941, è curioso che stavo giusto pensando a qualche esempio simile per convincermi della veridicità dell'affermazione, ed avevo pensato alla seguente funzione:
$f(x)={(x^2 " se " x!=0) , (1 " se " x=0) :}$
Cosa si può affermare su continuità e derivabilità in $x=0$ ?
Ciao.
Dico solo che, leggendo la frase di gugo82 riportata da ue_ndo e da alby941, è curioso che stavo giusto pensando a qualche esempio simile per convincermi della veridicità dell'affermazione, ed avevo pensato alla seguente funzione:
$f(x)={(x^2 " se " x!=0) , (1 " se " x=0) :}$
Cosa si può affermare su continuità e derivabilità in $x=0$ ?
Ciao.
Ciao adaBTTLS! Da quanto tempo! 
(Comunque quella funzione non è né continua, né convessa, né derivabile, come sai benissimo)
(Comunque quella funzione non è né continua, né convessa, né derivabile, come sai benissimo)
Ciao, dissonance! Io sono ancora senza linea telefonica fissa, e dopo 5 anni dal terremoto, ancora in un MAP..., per cui non è molto agevole collegarmi e rimanere collegata a lungo. Tanto per rendere l'idea, ora non ho il computer attaccato ad una presa elettrica, perché cerco di tenerlo in un angoletto che mi permetta di ottimizzare la connessione; e questo dopo aver rinunciato ad usare una chiavetta TIM... la batteria mi sta dicendo basta!
La questione di tale funzione riguarda la derivata nei due intorni destro e sinistro dello 0, e le implicazioni errate che potrebbero derivare da "cattive" interpretazioni di alcune frasi ...
La questione di tale funzione riguarda la derivata nei due intorni destro e sinistro dello 0, e le implicazioni errate che potrebbero derivare da "cattive" interpretazioni di alcune frasi ...
Ciao ada.
Fa molto piacere rileggerti, dopo tanto tempo.
Non riesco a capire a quali frasi ti stia riferendo, sinceramente.
@ alby941:
Questo è vero e l'ho dimostrato nel primo post qui (quello con gli o-piccoli).
Entrambe false.
Ad esempio, si possono costruire funzioni convesse che non hanno derivata prima definita in tutti i punti interni (vedi il valore assoluto), quindi già la regolarità \(C^1\) salta.
L'ho dimostrato qui e sì, si intende nei punti interni.
No, non sempre... Anzi.
Quello che si può dire è che se una funzione convessa \(f\) è continua in \([a,b[\) allora:
\[
\lim_{x\to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}<+\infty\; ;
\]
ed analogamente, se \(f\) è convessa e continua in \(]a,b]\) allora:
\[
\lim_{x\to b^-} \frac{f(x) - f(b)}{x-b} >-\infty\; .
\]
Fa molto piacere rileggerti, dopo tanto tempo.
"adaBTTLS":
La questione di tale funzione riguarda la derivata nei due intorni destro e sinistro dello 0, e le implicazioni errate che potrebbero derivare da "cattive" interpretazioni di alcune frasi ...
Non riesco a capire a quali frasi ti stia riferendo, sinceramente.
@ alby941:
"alby941":
se f è convessa in (a,b):
1) f è continua in (a,b)°
Questo è vero e l'ho dimostrato nel primo post qui (quello con gli o-piccoli).
"alby941":
è di classe \(C^\infty\) e ha derivate continue.
Entrambe false.
Ad esempio, si possono costruire funzioni convesse che non hanno derivata prima definita in tutti i punti interni (vedi il valore assoluto), quindi già la regolarità \(C^1\) salta.
"alby941":
2) Non è detto che sia derivabile nei punti interni , ma esiste derivata destra e sinistra ( perchè? si intende di ogni punto interno?)
L'ho dimostrato qui e sì, si intende nei punti interni.
"alby941":
3)in $ x0=a $ e in $ x0=b $, $ f'+(a) $ = - infinito mentre in $ x0=b $ va a piu infinito ( sempre?? )
No, non sempre... Anzi.
Quello che si può dire è che se una funzione convessa \(f\) è continua in \([a,b[\) allora:
\[
\lim_{x\to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}<+\infty\; ;
\]
ed analogamente, se \(f\) è convessa e continua in \(]a,b]\) allora:
\[
\lim_{x\to b^-} \frac{f(x) - f(b)}{x-b} >-\infty\; .
\]
Ciao, Gugo, anch'io ti "leggo" volentieri!
Quanto alla frase, pensavo che si capisse dal mio messaggio precedente, era quella del 23° intervento di questo tread, ripresa da altri ed anche da te stesso.
Potrebbe interessarti però più sapere "dove si potrebbe andare a parare con le cattive interpretazioni", ciò che mi è parso di capire dallo scambio di opinioni tra te ed altri, in particolare i già citati ue_ndo e alby941, magari perché ti darebbe un'altra occasione per fare opera di docenza, dissipando i dubbi di molti.
Vado con la domanda (e l'esempio da me proposto potrebbe forse dare un'idea):
E' possibile che una funzione discontinua in un punto sia ivi "derivabile" in quanto la derivata destra e la derivata sinistra coincidono?
Ciao e grazie!
Quanto alla frase, pensavo che si capisse dal mio messaggio precedente, era quella del 23° intervento di questo tread, ripresa da altri ed anche da te stesso.
Potrebbe interessarti però più sapere "dove si potrebbe andare a parare con le cattive interpretazioni", ciò che mi è parso di capire dallo scambio di opinioni tra te ed altri, in particolare i già citati ue_ndo e alby941, magari perché ti darebbe un'altra occasione per fare opera di docenza, dissipando i dubbi di molti.
Vado con la domanda (e l'esempio da me proposto potrebbe forse dare un'idea):
E' possibile che una funzione discontinua in un punto sia ivi "derivabile" in quanto la derivata destra e la derivata sinistra coincidono?
Ciao e grazie!
"adaBTTLS":
Vado con la domanda (e l'esempio da me proposto potrebbe forse dare un'idea):
E' possibile che una funzione discontinua in un punto sia ivi "derivabile" in quanto la derivata destra e la derivata sinistra coincidono?
Ma no, ma no... Una funzione derivabile in un punto interno al dominio è pure continua in tale punto, quindi (per contrapposizione) una funzione che non è continua in un punto interno al dominio non può esservi derivabile.[nota]Più precisamente, se una funzione non è continua in un punto interno al suo dominio, non possono esistere finiti ed uguali i due limiti:
\[
\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\qquad \text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\; .
\][/nota]
Se il punto non è interno, allora è il concetto di derivabilità che non è definito (perché la derivata è un limite globale, non un limite unilatero).
Sono proprio le basi del Calcolo Differenziale!
Scendendo più nel particolare, si può affermare che se una funzione è dotata di derivata destra in un punto del dominio, allora essa è continua da destra in quel punto, nel senso che:
\[
\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \text{ esiste finito}\qquad \Rightarrow \qquad \lim_{x\to x_0^+} f(x) =f(x_0)\; ;
\]
analogo discorso vale per la derivabilità da sinistra, cioé una funzione dotata di derivata sinistra in un punto del dominio è continua da sinistra in quel punto.
Questo discorso, ovviamente, si estende anche ai punti di frontiera, poiché adesso stiamo considerando limiti unilateri e non globali.
Gugo per la terza ipotesi se f è definita anche in x0=a ( e xo=b), la derivata destra ( e sinistra) in x0 non può esistere e se x0=a $lim->a+ ((f(x)-f(a))/(x-a))= $ - infinito.. analogamente per b
"gugo82":
Una funzione derivabile in un punto interno al dominio è pure continua in tale punto, quindi (per contrapposizione) una funzione che non è continua in un punto interno al dominio non può esservi derivabile.
Certamente!
Sai che mi torna in mente una vecchia discussione sulle definizioni di punti isolati di discontinuità che si trovano nei testi scolastici e che non sono compatibili con la definizione "topologica" di continuità...
In particolare in quell'occasione si è cercato di fare chiarezza sulle definizioni "analitiche", con un notevole contributo di lucalussardi, se non ricordo male.
Mi permetto di aggiungere che, ad esempio, la funzione da me proposta è discontinua in 0, e dunque non è continua nel suo dominio, mentre, se la si modifica nel senso di eliminare semplicemente lo 0 dal dominio, diventa una funzione continua.
Ovviamente non è derivabile in 0 non perché sia discontinua, ma perché lo 0 non appartiene al dominio.
In questo caso, secondo la giusta formalità, è corretto dire che è continua e derivabile "ovunque" se lo è per ogni punto del dominio che però non coincide con $RR$ ?
Ciao e grazie.
@ alby941:
Non capisco.
@ adaBTTLS:
Certamente!
Sai che mi torna in mente una vecchia discussione sulle definizioni di punti isolati di discontinuità che si trovano nei testi scolastici e che non sono compatibili con la definizione "topologica" di continuità...
In particolare in quell'occasione si è cercato di fare chiarezza sulle definizioni "analitiche", con un notevole contributo di lucalussardi, se non ricordo male.[/quote]
La ricordo anch'io quella discussione, ma non mi pare ci fossero tutti questi contrasti tra versione topologica e versione metrica della continuità nei punti isolati.
L'unica cosa che manca, nei punti isolati, è la caratterizzazione della continuità attraverso un passaggio al limite (che ovviamente non ha senso in un punto isolato).
Beh, certo. Se vuoi essere proprio precisa, basta dire che "la funzione è derivabile ovunque nel proprio insieme di definizione".
"alby941":
Gugo per la terza ipotesi se f è definita anche in x0=a ( e xo=b), la derivata destra ( e sinistra) in x0 non può esistere e se x0=a $lim->a+ ((f(x)-f(a))/(x-a))= $ - infinito.. analogamente per b
Non capisco.
@ adaBTTLS:
"adaBTTLS":
[quote="gugo82"]Una funzione derivabile in un punto interno al dominio è pure continua in tale punto, quindi (per contrapposizione) una funzione che non è continua in un punto interno al dominio non può esservi derivabile.
Certamente!
Sai che mi torna in mente una vecchia discussione sulle definizioni di punti isolati di discontinuità che si trovano nei testi scolastici e che non sono compatibili con la definizione "topologica" di continuità...
In particolare in quell'occasione si è cercato di fare chiarezza sulle definizioni "analitiche", con un notevole contributo di lucalussardi, se non ricordo male.[/quote]
La ricordo anch'io quella discussione, ma non mi pare ci fossero tutti questi contrasti tra versione topologica e versione metrica della continuità nei punti isolati.
L'unica cosa che manca, nei punti isolati, è la caratterizzazione della continuità attraverso un passaggio al limite (che ovviamente non ha senso in un punto isolato).
"adaBTTLS":
Mi permetto di aggiungere che, ad esempio, la funzione da me proposta è discontinua in 0, e dunque non è continua nel suo dominio, mentre, se la si modifica nel senso di eliminare semplicemente lo 0 dal dominio, diventa una funzione continua.
Ovviamente non è derivabile in 0 non perché sia discontinua, ma perché lo 0 non appartiene al dominio.
In questo caso, secondo la giusta formalità, è corretto dire che è continua e derivabile "ovunque" se lo è per ogni punto del dominio che però non coincide con $RR$?
Beh, certo. Se vuoi essere proprio precisa, basta dire che "la funzione è derivabile ovunque nel proprio insieme di definizione".
gugo... è limite per x che tende ad $a$ da destra nella relazione che ti ho scritto sopra... non ho sbagliato perchè nel libro la riporta in quel modo... poi domani se non ti torna ti posto un esempio
"alby941":
Gugo per la terza ipotesi se f è definita anche in x0=a ( e xo=b), la derivata destra ( e sinistra) in x0 non può esistere
Quel che non capisco è "terza ipotesi"... Ma quale terza ipotesi?
Vabbé, facciamo che tu mi stia semplicemente dicendo che:
se f è definita anche in x0=a ( e xo=b), la derivata destra ( e sinistra) in x0 non può esistere
Bene, questo è falso.
Ad esempio, la funzione \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f(x):= x^2
\]
è convessa in \([0,1]\), è definita in \(0\) ed in \(1\) ed essa ha derivata destra in \(a\) e derivata sinistra in \(b\), poiché:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} &= \lim_{x\to 0^+} \frac{x^\cancel{2}}{\cancel{x}} \\
&=0\\
\lim_{x\to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} &= \lim_{x\to 1^-} \frac{x^2-1}{x-1}\\
&\lim_{x\to 1^-} \frac{\cancel{(x-1)}\ (x+1)}{\cancel{x-1}} \\
&=2\; .
\end{split}
\]
Ciò mostra che il verbo "non può" è usato molto impropriamente nella tua affermazione... Per questo ti ho invitato a prestare più attenzione a come ti esprimi.
"alby941":
e se x0=a $lim->a+ ((f(x)-f(a))/(x-a))= $ - infinito.. analogamente per b
L'esempio precedente mostra che quanto affermi non è sempre vero.
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