Convergenza assoluta
Buonasera.
Ho un dubbio con un esercizio. La domanda è: ha senso parlare di convergenza assoluta di una serie a termini di segno costante? O riguarda solo le serie a termini di segno variabile?
Ho un dubbio con un esercizio. La domanda è: ha senso parlare di convergenza assoluta di una serie a termini di segno costante? O riguarda solo le serie a termini di segno variabile?
Risposte
Secondo te? Qual è la definizione di convergenza assoluta di una serie? Scritta la definizione, nelle ipotesi da te riportate sul segno, puoi trovare condizioni necessarie e sufficienti tra lo studio del carattere della serie nel caso dell'assoluta e di quella semplice?
Puoi spiegarmelo tu? Non trovo una definizione che risponda al mio dubbio
Potrei, ma questo non ti aiuterebbe a diventare sempre più indipendente negli studi. Quindi, ti consiglio di prendere gli appunti/libro di testo e cercare la definizione di convergenza assoluta. Fatto ciò, ti chiedo anche di riportare che cosa significa che una serie è a termini di segno costante. Una volta che avremo fissato queste due cose, ti aiuterò ad arrivare alla risposta. Attendo qui 
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Ciao Martyyyns,
Aiutiamoci con un esempio...
La serie
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (- 1)^{n + 1} 1/n $
è
A) assolutamente convergente
B) semplicemente convergente
C) sono corrette entrambe le risposte precedenti
D) divergente
(è corretta una sola delle risposte, ma devi giustificarla, non sparare a caso... )
Aiutiamoci con un esempio...
La serie
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (- 1)^{n + 1} 1/n $
è
A) assolutamente convergente
B) semplicemente convergente
C) sono corrette entrambe le risposte precedenti
D) divergente
(è corretta una sola delle risposte, ma devi giustificarla, non sparare a caso...
)
La serie converge a segni alterni sicuramente
Definizione di serie assolutamente convergente:
La serie $ ∑_(k=0)^∞a_k $ si dice assolutamente convergente se $ ∑_(k=0)^∞| a_k |$ è convergente (semplicemente).
Criterio di convergenza assoluta:
Se $ ∑_(k=0)^∞a_k $ è assolutamente convergente, allora è anche semplicemente convergente.
Definizione di serie a termini di segno alterno:
Qualsiasi serie del tipo:
$ ∑_(k=0)^∞(-1)^k a_k $
con $a_k >= 0$ definitivamente per k $ rarr $ $ oo $
La serie $ ∑_(k=0)^∞a_k $ si dice assolutamente convergente se $ ∑_(k=0)^∞| a_k |$ è convergente (semplicemente).
Criterio di convergenza assoluta:
Se $ ∑_(k=0)^∞a_k $ è assolutamente convergente, allora è anche semplicemente convergente.
Definizione di serie a termini di segno alterno:
Qualsiasi serie del tipo:
$ ∑_(k=0)^∞(-1)^k a_k $
con $a_k >= 0$ definitivamente per k $ rarr $ $ oo $
Va bene, a parte il fatto che avrei scritto semplicemente $\sum $ o $\sum_k $ perché non è detto che la serie parta proprio da $k = 0 $...
Alla luce di questa definizione che hai dato, cosa puoi dire in merito alla serie che ti ho proposto?
Conosci il Criterio di Leibniz per le serie dell'ultima definizione che hai dato?
"Martyyyns":
Definizione di serie assolutamente convergente:
Alla luce di questa definizione che hai dato, cosa puoi dire in merito alla serie che ti ho proposto?
Conosci il Criterio di Leibniz per le serie dell'ultima definizione che hai dato?
La risposta al quesito che hai posto è la B per il criterio di Leibnitz.
Giusto. Ma converge assolutamente? Qual è la serie assoluta, me la scrivi?
non converge assolutamente perché la serie assoluta è $1/n$ ovvero la serie armonica, che diverge.
Attenzione, scrivi bene: la serie assoluta è $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n $, che è la ben nota serie armonica, positivamente divergente. Quindi in questo caso non puoi usare quanto hai scritto nel tuo post in merito al Criterio di convergenza assoluta: e sei costretto ad usare il Criterio di Leibniz.
Ricorda che la convergenza assoluta di una serie implica quella semplice, ma non è vero il viceversa; se la serie assoluta non converge non puoi dedurre nulla sulla convergenza della serie proposta che potrebbe anche convergere (come abbiamo visto).
Ricorda che la convergenza assoluta di una serie implica quella semplice, ma non è vero il viceversa; se la serie assoluta non converge non puoi dedurre nulla sulla convergenza della serie proposta che potrebbe anche convergere (come abbiamo visto).
Corretta la definizione di serie assolutamente convergente da riportata Martyyyns, tuttavia ti avevo chiesto di riportare anche un'altra definizione: quella di serie con termini di segno costante (tu mi hai riportato, invece, quella con termini di segno alterno). Scrivila e vedrai che, con un altro paio di suggerimenti, il tuo dubbio verrà completamente risolto.
$ sum(a_k) $ si dice serie a termini di segno costante se per ogni n appartenente a N (insieme dei numeri naturali) i termini della successione numerica ${a_k}_k $ hanno tutti lo stesso segno
Sì, anche se la cosa potrebbe anche accadere da un certo indice $\bar{k} $ in poi...
Però mi viene un dubbio: non è che hai un problema su un esercizio in particolare? Perché qualora fosse così, ci si risparmierebbe tutti un sacco di tempo se lo postassi direttamente...
Però mi viene un dubbio: non è che hai un problema su un esercizio in particolare? Perché qualora fosse così, ci si risparmierebbe tutti un sacco di tempo se lo postassi direttamente...
La mia domanda era solo se potesse capitare che una serie a termini di segno costante convergesse assolutamente. E in caso affermativo o negativo capire perché. Si tratta di un dubbio legato ad un esercizio in cui si chiede di specificare se la serie converge assolutamente e dove e se converge semplicemente e dove. Il problema si trova negli estremi dell'intervallo di convergenza. Sostituendo il valore di un estremo ottengo una serie a termini di segno costante e non so cosa fare riguardo la convergenza assoluta.
"Martyyyns":
La mia domanda era solo se potesse capitare che una serie a termini di segno costante convergesse assolutamente.
Ma se il segno è costante, e magari è positivo, che senso ha considerare la serie assoluta? Sarà uguale a quella semplice, no?
"Martyyyns":
Si tratta di un dubbio legato ad un esercizio in cui si chiede di specificare se la serie converge assolutamente e dove e se converge semplicemente e dove. Il problema si trova negli estremi dell'intervallo di convergenza.
Ribadisco che si fa molto prima se posti la serie dell'esercizio ed eventualmente gli estremi dell'intervallo di convergenza sui quali hai dei dubbi...
"pilloeffe":
Ma se il segno è costante, e magari è positivo, che senso ha considerare la serie assoluta? Sarà uguale a quella semplice, no?
Era proprio qua che volevo arrivare, tuttavia, secondo me, sarebbe stato utile se ci fosse arrivat* Martyyyns per passi successivi. Avrebbe anche gettato luce sulla sua comprensione dei teoremi algebrici sui limiti e, soprattutto, avrebbe fornito un allenamento su ragionamenti che, opportunamente smussati, permettono di affrontare dubbi simili in futuro (indipendentemente dal singolo esercizio).
Quindi, dato che il segno è costante, quali sono gli unici due possibili casi sul segno di \(a_k\)? E come si comporta \(|a_k|\) in questi due possibili casi? E che succede alla serie \(\sum_{k \ge \overline{k}} |a_k|\) in questi due possibili casi? E questi due comportamenti della serie dei valori assoluti come sono quindi collegati al comportamento di quella dei termini senza valore assoluto?
Nonostante apprezzi l'intento di farmi arrivare personalmente ad una qualche deduzione, non ci sto riuscendo.
Comunque $a_k$ può essere positiva o negativa e $|a_k|$ è lo stesso in entrambi i casi.
L'esercizio è il seguente:
$ sum((x^2-1)^k)/((2^k)(k-1)k) $
per K che va da 2 a $+oo$
Ho calcolato il raggio di convergenza: la serie mi risulta convergente assolutamente (e quindi anche semplicemente) per $ x in [-3^(1/2), 3^(1/2)] $.
Occorre studiare il comportamento della serie agli estremi di questo intervallo. Ma sostituendo il valore $x=3^(1/2)$ ottengo la serie:
$ sum (1/(k-1)) $ che per $k>=2$ è sempre positiva. Cosa posso dire dunque sulla convergenza assoluta e semplice??
Comunque $a_k$ può essere positiva o negativa e $|a_k|$ è lo stesso in entrambi i casi.
L'esercizio è il seguente:
$ sum((x^2-1)^k)/((2^k)(k-1)k) $
per K che va da 2 a $+oo$
Ho calcolato il raggio di convergenza: la serie mi risulta convergente assolutamente (e quindi anche semplicemente) per $ x in [-3^(1/2), 3^(1/2)] $.
Occorre studiare il comportamento della serie agli estremi di questo intervallo. Ma sostituendo il valore $x=3^(1/2)$ ottengo la serie:
$ sum (1/(k-1)) $ che per $k>=2$ è sempre positiva. Cosa posso dire dunque sulla convergenza assoluta e semplice??
Appunto: guarda che ci sei arrivat*. Quindi, se \(a_k \ge 0\) per ogni \(k \in\mathbb{N}\), è \(|a_k|=a_k\) per ogni \(k\in\mathbb{N}\) e quindi:\[
\sum_{k \ge 0}|a_k|=\sum_{k \ge 0}a_k
\]Se \(a_k<0\) per ogni \(k\in\mathbb{N}\), è \(|a_k|=-a_k\) per ogni \(k\in\mathbb{N}\) e quindi:\[
\sum_{k \ge 0}|a_k|=\sum_{k \ge 0}(-a_k)=-\sum_{k \ge 0} a_k
\]Cosa deduci da queste uguaglianze per quanto riguarda il tuo dubbio?
Per il tuo esercizio, nel caso di \(x=3^{1/2}\) quella è una serie convergente e quindi concludi che nell'estremo destro c'è convergenza semplice. Nel caso di \(x=-3^{1/2}\) invece?
\sum_{k \ge 0}|a_k|=\sum_{k \ge 0}a_k
\]Se \(a_k<0\) per ogni \(k\in\mathbb{N}\), è \(|a_k|=-a_k\) per ogni \(k\in\mathbb{N}\) e quindi:\[
\sum_{k \ge 0}|a_k|=\sum_{k \ge 0}(-a_k)=-\sum_{k \ge 0} a_k
\]Cosa deduci da queste uguaglianze per quanto riguarda il tuo dubbio?
Per il tuo esercizio, nel caso di \(x=3^{1/2}\) quella è una serie convergente e quindi concludi che nell'estremo destro c'è convergenza semplice. Nel caso di \(x=-3^{1/2}\) invece?
"Martyyyns":
L'esercizio è il seguente:
$sum((x^2-1)^k)/((2^k)(k-1)k) $
per K che va da 2 a $+\infty$
Scusa Martyyyns, ma se la serie è quella che hai scritto, cioè riscritta per bene
$\sum_{k = 2}^{+\infty}((x^2-1)^k)/(2^k(k-1)k) $
che tu sostituisca $x = -\sqrt3 $ o $x = \sqrt3 $ è irrilevante dato che c'è $x^2$ e ottieni comunque la serie seguente:
$\sum_{k = 2}^{+\infty} 1/((k-1)k) = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n(n +1)) = 1$
Quest'ultima è la ben nota serie di Pietro Mengoli.
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