Continuità di una funzione
So di essere una zucca quando si parla di math eppure quanto mi piacerebbe capirla!
Mi dicono che non è colpa mia ma del fatto che non ho seguito studi adeguati, alla fine però il mio scritto di analisi l'altro giorno ha meritato un sonoro "ins". Non posso postare tutto quello che non ho capito ma due esercizi vorrei proprio capire come si fanno...
Il 1° è: Determinare per quali valori del parametro $a\inRR$ la funzione seguente può essere estesa con continuità in $x=0$
$f(x)={(log(1+sin ax)/(e^x-1), "per" x>0) , (arctan(1/x) ((1-cosx)/x^2), "per" x<0):}$
il 2°:
Sia $h(x)=(x+1)e^(x^2)$
Dimostrare che $h$ è suriettiva su $RR$ e invertibile su tutto il dominio.
Non posso proporre una soluzione perchè non sono stata in grado di svolgerli gli esercizi. Eppure ho come la senzasione che non debbano essere inaffrontabili.
Per favore non mi suggerite di studiare e provarci, lo sto facendo da quattro mesi senza alcun risultato evidente.Ho dovuto praticamente ricominciare dalle quattro operazioni.
Mi sono iscritta da poco a questo forum ma lo leggo da moltissimo e mi ha aiutato a risolvere molti problemi. Però al prossimo esame di analisi (tra meno di un mese) vorrei evitare di rifare la stessa figuraccia e mi piacerebbe poter dire come alcuni che conosco che la math è facile, basta studiare.
Grazie a tutti
isolamaio
Mi dicono che non è colpa mia ma del fatto che non ho seguito studi adeguati, alla fine però il mio scritto di analisi l'altro giorno ha meritato un sonoro "ins". Non posso postare tutto quello che non ho capito ma due esercizi vorrei proprio capire come si fanno...
Il 1° è: Determinare per quali valori del parametro $a\inRR$ la funzione seguente può essere estesa con continuità in $x=0$
$f(x)={(log(1+sin ax)/(e^x-1), "per" x>0) , (arctan(1/x) ((1-cosx)/x^2), "per" x<0):}$
il 2°:
Sia $h(x)=(x+1)e^(x^2)$
Dimostrare che $h$ è suriettiva su $RR$ e invertibile su tutto il dominio.
Non posso proporre una soluzione perchè non sono stata in grado di svolgerli gli esercizi. Eppure ho come la senzasione che non debbano essere inaffrontabili.
Per favore non mi suggerite di studiare e provarci, lo sto facendo da quattro mesi senza alcun risultato evidente.Ho dovuto praticamente ricominciare dalle quattro operazioni.
Mi sono iscritta da poco a questo forum ma lo leggo da moltissimo e mi ha aiutato a risolvere molti problemi. Però al prossimo esame di analisi (tra meno di un mese) vorrei evitare di rifare la stessa figuraccia e mi piacerebbe poter dire come alcuni che conosco che la math è facile, basta studiare.
Grazie a tutti
isolamaio
Risposte
Ciao e benvenuta nel forum (anche se ci seguivi da tempo sei sempre una nuova venuta, al momento del primo post!). Ti ho sistemato le formule così il tutto è più leggibile. Puoi usare il pulsante "modifica" in alto a destra per vedere cosa ho fatto: essenzialmente ho solo messo qua e là alcuni simboli del \$. Per maggiori informazioni fai clic sulla parola "formule" .
per il primo...non è difficile..
perché si possa estendere con continuità la funzione dev'essere che $ lim_(x -> 0^+)f(x)=lim_(x -> 0^-)f(x)=l $ in modo da poter "aggiungere" alla funzione $f(0)=l$ così che non crei buchi nella funzione stessa...non so se hai capito il mio italiano perfetto...ma oggi non riesco proprio a spiegarmi!
in pratica devi uguagliare quei due limiti e trovare il valore (o i valori) di a...
per il secondo non mi ricordo quella parte di teoria, devo ancora ripassarla...ho anche io l'esame tra meno di un mese!!
perché si possa estendere con continuità la funzione dev'essere che $ lim_(x -> 0^+)f(x)=lim_(x -> 0^-)f(x)=l $ in modo da poter "aggiungere" alla funzione $f(0)=l$ così che non crei buchi nella funzione stessa...non so se hai capito il mio italiano perfetto...ma oggi non riesco proprio a spiegarmi!
in pratica devi uguagliare quei due limiti e trovare il valore (o i valori) di a...per il secondo non mi ricordo quella parte di teoria, devo ancora ripassarla...ho anche io l'esame tra meno di un mese!!
...devo aver dimenticato qualche parentesi perchè al denominatore del log c'è e(^x) -1. In pratica l'1 è sotto frazione e non fuori della frazione.
poi in effetti non ho capito molto bene la spiegazione ma temo più per un limite mio che tuo. Potreste farmi un esempio alla mia portata?
ho studiato che una funzione si dice continua se il limite di f(x) per x →x0=f(x0) ma nella pratica che devo fare per verificarlo?
ho studiato anche del limite da destra e da sinistra, che ci sono tre tipi di discontinuità, ecc, ma la teoria non so come si fa ad applicarla al caso pratico,
quindi per favore parlatemi come se aveste di fronte un bimbo delle elementari...
grazie
poi in effetti non ho capito molto bene la spiegazione ma temo più per un limite mio che tuo. Potreste farmi un esempio alla mia portata?
ho studiato che una funzione si dice continua se il limite di f(x) per x →x0=f(x0) ma nella pratica che devo fare per verificarlo?
ho studiato anche del limite da destra e da sinistra, che ci sono tre tipi di discontinuità, ecc, ma la teoria non so come si fa ad applicarla al caso pratico,
quindi per favore parlatemi come se aveste di fronte un bimbo delle elementari...
grazie
Traccia corretta. Cerca di imparare a scrivere le formule da sola però... Grazie.
ci proviamo! 
allora..
le discontinuità le sai... in particolare quelle di terza specie sai che si possono "estendere per continuità" ...in pratica succede che in un punto la tua funzione non è definita...ma il limite destro e il limite sinistro sono uguali e tendono entrambi a un valore finito! solo che in quel punto c'è un "buco" (oppure, volendo, la funzione in quel punto assume un valore diverso per qualche motivo)...magari è una funzione definita a tratti come quella che ci hai proposto....bene..il problema ti chiede: trovami il valore del parametro $a$ in modo che sia possibile estenderla per continuità...cioè in modo che i due limiti (destro e sinistro) siano uguali.. ora...il tuo problema è nel punto $x=0$ quindi devi fare il limite desto e sinistro e uguagliarli... fin qui ci siamo?? (poi farli sarà un altro problema...)
allora..le discontinuità le sai... in particolare quelle di terza specie sai che si possono "estendere per continuità" ...in pratica succede che in un punto la tua funzione non è definita...ma il limite destro e il limite sinistro sono uguali e tendono entrambi a un valore finito! solo che in quel punto c'è un "buco" (oppure, volendo, la funzione in quel punto assume un valore diverso per qualche motivo)...magari è una funzione definita a tratti come quella che ci hai proposto....bene..il problema ti chiede: trovami il valore del parametro $a$ in modo che sia possibile estenderla per continuità...cioè in modo che i due limiti (destro e sinistro) siano uguali.. ora...il tuo problema è nel punto $x=0$ quindi devi fare il limite desto e sinistro e uguagliarli... fin qui ci siamo?? (poi farli sarà un altro problema...)
vediamo se ho capito, il punto di discontinuità è dovuto al fatto che i denominatori devono essere diversi da 0 e quindi in quel punto la funzione non è definità o cmq anche se è definità il punto non appartiene al dominio. e allora che facciamo? io sapevo che bisogna riempire questo buco ponendo iil valore della funzione uguale a 0 (in qsto caso) per x=0.
oppure non è qsto il problema?
ma cosa centra il parametro a? come può influire su quel punto?
oppure non è qsto il problema?
ma cosa centra il parametro a? come può influire su quel punto?
allora...
1) si il punto può essere riempito come hai detto...ma bisogna capire con quale valore riempirlo!
2) il punto di discontinuità PUO' essere dovuto al fatto che quel punto non appartiene al dominio...ma nel tuo caso (e direi anche quasi sempre in questo tipo di esercizi) il punto di discontinuità è dovuto al fatto che la funzione è definita a tratti...quindi da una parte hai una certa curva (quella col logaritmo per esempio)...dall'altra ne hai un'altra (arctg...etc..)....nel punto $x=0$ c'è la discontinuità....il problema ti dice: fai in modo che la discontinuità sia di terza specie..quindi coi limiti destro e sinistro uguali...ma un limite (quello destro nel tuo caso) presenta un parametro...perciò bisognerà trovare quei valori del parametro che danno questa discontinuità di terza specie...(poi volendo riempi il buco della discontinuità..)
ora...l'equazione da risolvere sarà:
$ lim_(x -> 0^-) arctan(1/x)(1-cos x/x^2) = lim_(x -> 0^+) log (1+sin ax)/(e^{x}-1) $
1) si il punto può essere riempito come hai detto...ma bisogna capire con quale valore riempirlo!
2) il punto di discontinuità PUO' essere dovuto al fatto che quel punto non appartiene al dominio...ma nel tuo caso (e direi anche quasi sempre in questo tipo di esercizi) il punto di discontinuità è dovuto al fatto che la funzione è definita a tratti...quindi da una parte hai una certa curva (quella col logaritmo per esempio)...dall'altra ne hai un'altra (arctg...etc..)....nel punto $x=0$ c'è la discontinuità....il problema ti dice: fai in modo che la discontinuità sia di terza specie..quindi coi limiti destro e sinistro uguali...ma un limite (quello destro nel tuo caso) presenta un parametro...perciò bisognerà trovare quei valori del parametro che danno questa discontinuità di terza specie...(poi volendo riempi il buco della discontinuità..)
ora...l'equazione da risolvere sarà:
$ lim_(x -> 0^-) arctan(1/x)(1-cos x/x^2) = lim_(x -> 0^+) log (1+sin ax)/(e^{x}-1) $
ho capito cosa vuoi dire, ma come si fa?
io non sono in grado di fare quello che dici
per x che tende a 0, l'arctan se non mi sbaglio tende a zero da dx e da sx, il log da dx tende a -00 e da sx non è definito, il seno e il coseno tendono a 0 e a 1 da dx e da sx, o sbaglio?
ma come mettere insieme tutte qste cose?
io non sono in grado di fare quello che dici
per x che tende a 0, l'arctan se non mi sbaglio tende a zero da dx e da sx, il log da dx tende a -00 e da sx non è definito, il seno e il coseno tendono a 0 e a 1 da dx e da sx, o sbaglio?
ma come mettere insieme tutte qste cose?
eh i limiti sono un'altro argomento... allora $arctg(1/x)$ per $x rarr 0^-$ mi dà $\pi/2$ giusto?? l'altra parte quella col coseno è un limite notevole che fa $1/2$...
bene...l'altro limite invece prova a usare l'Hopital e vedere che succede...
bene...l'altro limite invece prova a usare l'Hopital e vedere che succede...
allora,
per quel poco che so fare, la derivata di sen è cos, cos che tende a 0 è 1, la derivata di log 2 è 1/2, la derivata di e^x è se stessa e della costante 1 è 0.
dico bene?
per quel poco che so fare, la derivata di sen è cos, cos che tende a 0 è 1, la derivata di log 2 è 1/2, la derivata di e^x è se stessa e della costante 1 è 0.
dico bene?
la derivata di log2 è zero.
scusa la derivata di log x non è 1/x? e qui x non è 2?
e se è 0 allora il limite è 0/1? visto che e^0 è uguale a 1, e quindi il limite è zero.
e se è 0 allora il limite è 0/1? visto che e^0 è uguale a 1, e quindi il limite è zero.
la derivata di log2 è zero perchè è il log di una costante?
"isolamaio":Giusto. Quella è una costante, quindi ha derivata nulla.
la derivata di log2 è zero perchè è il log di una costante?
una volta trovato che il limite sx è $pi/4$ e da dx $0$, come si deve proseguire?
non c'è più nessuno che ha voglia di darmi una mano a capire come si conclude questo esercizio?
non volete aiutare un'anima bisognosa che ha tanta voglia di imparare?
non volete aiutare un'anima bisognosa che ha tanta voglia di imparare?
ragazzi!
è possibile che non ci sia nessuno che voglia spiegarmi o aiutarmi a capire per quali valori del parametro a la funzione può essere estesa con continuità in x=0
aiutatemi!
è possibile che non ci sia nessuno che voglia spiegarmi o aiutarmi a capire per quali valori del parametro a la funzione può essere estesa con continuità in x=0
aiutatemi!
Il suggerimento che ti è stato dato:
è il migliore possibile.
Per risolvere l'esercizio devi solamente calcolare questi due limiti; quello a sinistra è banale ed il suo valore non dipende dal parametro, mentre il valore di quello a destra dipende da $a$ e devi usare tre limiti notevoli (logaritmo, seno e esponenziale) per trovarlo.
Tutto qui.
Hai cercato di fare un po' di conti per il limite di sinistra: sono più o meno giusti, ma devi controllare il segno.
Per quanto riguarda il limite di destra, invece, non hai postato nulla... Prova a riflettere su come applicare i limiti notevoli che ti ho segnalato.
"pieerr":
$ lim_(x -> 0^-) arctan(1/x)(1-cos x/x^2) = lim_(x -> 0^+) log (1+sin ax)/(e^{x}-1) $
è il migliore possibile.
Per risolvere l'esercizio devi solamente calcolare questi due limiti; quello a sinistra è banale ed il suo valore non dipende dal parametro, mentre il valore di quello a destra dipende da $a$ e devi usare tre limiti notevoli (logaritmo, seno e esponenziale) per trovarlo.
Tutto qui.
Hai cercato di fare un po' di conti per il limite di sinistra: sono più o meno giusti, ma devi controllare il segno.
Per quanto riguarda il limite di destra, invece, non hai postato nulla... Prova a riflettere su come applicare i limiti notevoli che ti ho segnalato.
il limite di arctan $(1/x)$ per x che tende a 0- è $-pi/2$, il limite notevole del coseno è $1/2$ e quindi il limite sinistro totale è $-pi/4$
è giusto?
è giusto?
sì è giusto....ora quello di destra come ti ha detto gugo82....tre limiti notevoli...
per $x->0$
$sin ax sim ax$, $log(1+ax) sim ax$, $e^x-1 sim x$
perciò $lim_(x->0^+) = ...$ e vedi quel valore del parametro che ti risolve l'equazione che avevi all'inizio..
ma queste cose dovresti essere capace di farle...
per $x->0$
$sin ax sim ax$, $log(1+ax) sim ax$, $e^x-1 sim x$
perciò $lim_(x->0^+) = ...$ e vedi quel valore del parametro che ti risolve l'equazione che avevi all'inizio..
ma queste cose dovresti essere capace di farle...
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