Continuità di una funzione

[isolamaio]

So di essere una zucca quando si parla di math eppure quanto mi piacerebbe capirla!
Mi dicono che non è colpa mia ma del fatto che non ho seguito studi adeguati, alla fine però il mio scritto di analisi l'altro giorno ha meritato un sonoro "ins". Non posso postare tutto quello che non ho capito ma due esercizi vorrei proprio capire come si fanno...
Il 1° è: Determinare per quali valori del parametro $a\inRR$ la funzione seguente può essere estesa con continuità in $x=0$

$f(x)={(log(1+sin ax)/(e^x-1), "per" x>0) , (arctan(1/x) ((1-cosx)/x^2), "per" x<0):}$

il 2°:
Sia $h(x)=(x+1)e^(x^2)$

Dimostrare che $h$ è suriettiva su $RR$ e invertibile su tutto il dominio.
Non posso proporre una soluzione perchè non sono stata in grado di svolgerli gli esercizi. Eppure ho come la senzasione che non debbano essere inaffrontabili.
Per favore non mi suggerite di studiare e provarci, lo sto facendo da quattro mesi senza alcun risultato evidente.Ho dovuto praticamente ricominciare dalle quattro operazioni.
Mi sono iscritta da poco a questo forum ma lo leggo da moltissimo e mi ha aiutato a risolvere molti problemi. Però al prossimo esame di analisi (tra meno di un mese) vorrei evitare di rifare la stessa figuraccia e mi piacerebbe poter dire come alcuni che conosco che la math è facile, basta studiare.
Grazie a tutti
isolamaio

[isolamaio]

e invece temo proprio di non essere capace... e ne soffro..
se ho interpretato bene il tuo suggerimento allora il limite destro dovrebbe essere dato da $ax/x$ che dovrebbe essere $a$ per x che tende a zero
ora io non so se ho interpretato bene il suggerimento
ma resta che non conosco le operazioni da effettuare per eguagliare i due limiti
oppure sono così confusa dopo decine di ore di studio che mi pare di saperne sempre di meno...
e in più non riesco a trovare libri che mi sappiano dare risposte
uffa! non imparerò mai!!!!!

[pizzi]

semplicemente peché le due $x$ si semplificano!! comunque è giusto! ora che hai il risultato dei due limiti uguagliali...
comunque secondo me, visto non riesci a risolverli, concentrati di più sugli esercizi!

[isolamaio]

ho già il valore del parametro a, che è uguale a $-pi/4$?
devo sostiuire al parametro a nella funzione il valore $-pi/4$?

[gugo82]

"gugo82":[quote="pieerr"]$ lim_(x -> 0^-) arctan(1/x)(1-cos x/x^2) = lim_(x -> 0^+) log (1+sin ax)/(e^{x}-1) $

[/quote]
A quanto pare sei in grado di applicare i limiti fondamentali (l'hai fatto quando hai calcolato il limite a primo membro della precedente), ma perdi ogni sicurezza quando compare un parametro... Ti propongo quindi una soluzione "scolastica" del limite:

(*) [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+\sin ax)}{e^x-1}$[/tex]

dalla quale spero tu possa trarre qualche utile insegnamento.

Innanzitutto noto che se [tex]$a=0$[/tex], allora la funzione sotto il segno di limite è definita e nulla in [tex]$\mathbb{R} \setminus \{ 0\}$[/tex] (perchè?), cosicché il limite (*) esiste ed è [tex]$=0$[/tex] (perchè?).

Passo allora ad analizzare il caso [tex]$a\neq 0$[/tex]: in tal caso la funzione sotto il segno di limite è definita per [tex]$x\neq -\frac{\pi}{2a} +2k\frac{\pi}{a}$[/tex] per [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex], ossia in [tex]$\mathbb{R} \setminus \bigcup_{k\in \mathbb{Z}} \left\{ -\frac{\pi}{2a} +2k\frac{\pi}{a} \right\}$[/tex] (perchè?), e che [tex]$0$[/tex] è un punto d'accumulazione per tale insieme.
Il limite (*) si presenta in forma indeterminata [tex]$\frac{0}{0}$[/tex]; per provare a sciogliere la forma indeterminata voglio sfruttare i limiti fondamentali e, visto che ho davanti un logaritmo, un seno ed un esponenziale, molto probabilmente dovrò applicare i limiti:

(a) [tex]$\lim_{y\to 0} \frac{\ln (1+y)}{y} =1$[/tex]
(b) [tex]$\lim_{z\to 0} \frac{\sin z}{z} =1$[/tex]
(c) [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1$[/tex].

Ora, ponendo [tex]$y=\sin ax$[/tex] in (a) ottengo:

(1) [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{\ln (1+\sin ax)}{\sin ax} =1$[/tex]

mentre, ponendo [tex]$z=ax$[/tex] in (b) trovo:

(2) [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{ax}=1$[/tex].

I limiti (1), (2) e (c) li posso usare facilmente per risolvere (*): infatti moltiplicando e dividendo sotto il segno di limite prima per [tex]$\sin ax$[/tex] e poi per [tex]$ax$[/tex] ed infine raggruppando bene i vari fattori con la proprietà associativa, trovo:

[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+\sin ax)}{e^x-1} =\lim_{x\to 0} a\ \frac{\ln (1+\sin ax)}{\sin ax} \ \frac{\sin ax }{ax} \ \frac{x}{e^x -1} =a\cdot 1\cdot 1\cdot 1=a$[/tex],

e sono giunto alla soluzione.

[isolamaio]

grazie gugo82 per la pazienza e per il contributo...
rifletterò su quanto hai scritto...e cercherò di rispondere alle domande che hai suggerito...