Conseguenza del teorema di Banach-Cacciopoli
Teorema (di Banach-Cacciapoli): sia $X$ uno spazio metrico completo. Allora una contrazione da $X$ in sè stesso ammette un unico punto fisso.
La dimostrazione l'ho capita. Ora però ho un esercizio in cui mi viene richiesto di trovare un'applicazione di questo teorema per una mappa definita su un sottoinsieme chiuso di uno spazio completo.
Qualche suggerimento?
La dimostrazione l'ho capita. Ora però ho un esercizio in cui mi viene richiesto di trovare un'applicazione di questo teorema per una mappa definita su un sottoinsieme chiuso di uno spazio completo.
Qualche suggerimento?
Risposte
Un insieme chiuso $M$ contenuto in uno spazio metrico completo $X$ è canonicamente strutturabile come spazio metrico completo (con la distanza mutuata da quella di $X$)...
Propongo un altro esercizietto (molto facile a dir la verità):
Siano $(X,"d")$ uno spazio metrico completo e $A:XtoX$.
Se esiste $mu in NN$ tale che $A^mu$ è una contrazione in $X$, allora $A$ ha un unico punto fisso.
(Qui $A^mu$ indica l'applicazione di $X$ in sé composta da $mu$ copie di $A$, insomma $A^mu=A\circ A\circ \cdots \circ A$, $mu$ volte.)
Propongo un altro esercizietto (molto facile a dir la verità):
Siano $(X,"d")$ uno spazio metrico completo e $A:XtoX$.
Se esiste $mu in NN$ tale che $A^mu$ è una contrazione in $X$, allora $A$ ha un unico punto fisso.
(Qui $A^mu$ indica l'applicazione di $X$ in sé composta da $mu$ copie di $A$, insomma $A^mu=A\circ A\circ \cdots \circ A$, $mu$ volte.)
Vediamo se una giornata intera di studio di Analisi è riuscita a rintronarmi del tutto 
Sappiamo che $A^mu$ è una contrazione, quindi ammette un punto fisso che chiamo $x$. Pertanto $A\circ\cdots\circA(x)=x$. Dalla definizione di funzione composta segue immediatamente la tesi, cioè che $A(x)=x$.
Sappiamo che $A^mu$ è una contrazione, quindi ammette un punto fisso che chiamo $x$. Pertanto $A\circ\cdots\circA(x)=x$. Dalla definizione di funzione composta segue immediatamente la tesi, cioè che $A(x)=x$.
Non hai mostrato che è unico! 
Chiedo scusa, forse non ho capito l'affermazione
Mi sembra che per dimostrare quanto sopra non serva il teorema delle contrazioni.
Io direi che presa una successione di Cauchy in $M$ questa è di Cauchy in $X$ (perchè la distanza in $M$ è quella mutuata da $X$) - dunque la
successione converge in $X$ a un punto. Dato che $M$ è chiuso, il punto in questione sta in $M$ e allora la successione converge in $M$
(sempre perchè la distanza è quella mutuata ).
O sbaglio qualcosa?
Un insieme chiuso M contenuto in uno spazio metrico completo X è canonicamente strutturabile come spazio metrico completo (con la distanza mutuata da quella di X)...
Mi sembra che per dimostrare quanto sopra non serva il teorema delle contrazioni.
Io direi che presa una successione di Cauchy in $M$ questa è di Cauchy in $X$ (perchè la distanza in $M$ è quella mutuata da $X$) - dunque la
successione converge in $X$ a un punto. Dato che $M$ è chiuso, il punto in questione sta in $M$ e allora la successione converge in $M$
(sempre perchè la distanza è quella mutuata ).
O sbaglio qualcosa?
@ViciousGoblinEnters
Non sbagli. Penso che Gugo82 intendesse semplicemente osservare che un chiuso in sp metrico completo è esso stesso completo, non che serva il teorema delle contrazioni per provarlo.
Riguardo alla domanda iniziale, forse si tatta di trovare una condizione affinché una contrazione su un chiuso $C$ di sp metrico completo mandi $C$ in se stesso. In termini generali non saprei cosa si possa fare. Se invece si vogliono esempi, si può pensare a qualche caso trattabile. Magari fare riferimento al teorema di Dini sulle funzioni implicite, di cui si può fare una dimostrazione mediante il teorema delle contrazioni?
Non sbagli. Penso che Gugo82 intendesse semplicemente osservare che un chiuso in sp metrico completo è esso stesso completo, non che serva il teorema delle contrazioni per provarlo.
Riguardo alla domanda iniziale, forse si tatta di trovare una condizione affinché una contrazione su un chiuso $C$ di sp metrico completo mandi $C$ in se stesso. In termini generali non saprei cosa si possa fare. Se invece si vogliono esempi, si può pensare a qualche caso trattabile. Magari fare riferimento al teorema di Dini sulle funzioni implicite, di cui si può fare una dimostrazione mediante il teorema delle contrazioni?
Grazie a tutti per l'aiuto.
@Fioravante Patrone: purtroppo non ho il tempo materiale per cercare e studiare una dimostrazione del teorema di Dini che faccia uso del Teorema delle Contrazioni. Comunque, se dovessi avere l'occasione, all'orale parlerò di questa possibilità.
@Fioravante Patrone: purtroppo non ho il tempo materiale per cercare e studiare una dimostrazione del teorema di Dini che faccia uso del Teorema delle Contrazioni. Comunque, se dovessi avere l'occasione, all'orale parlerò di questa possibilità.
"matths87":
Sappiamo che $A^mu$ è una contrazione, quindi ammette un punto fisso che chiamo $x$. Pertanto $A\circ\cdots\circA(x)=x$. Dalla definizione di funzione composta segue immediatamente la tesi, cioè che $A(x)=x$.
Aspetta, non mi pare che la tesi segua dalla definizione di funzione composta. Casomai segue dall'unicità del punto fisso, no?
Mi scuso per l'imprecisione.
Quello che intendevo era: la tesi segue dalla definizione di funzione composta e dall'unicità di $x$ (garantita da Banach-Cacciopoli, di cui l'esercizio proposto è un corollario).
Quello che intendevo era: la tesi segue dalla definizione di funzione composta e dall'unicità di $x$ (garantita da Banach-Cacciopoli, di cui l'esercizio proposto è un corollario).
"matths87":
Mi scuso per l'imprecisione.
Quello che intendevo era: la tesi segue dalla definizione di funzione composta e dall'unicità di $x$ (garantita da Banach-Cacciopoli, di cui l'esercizio proposto è un corollario).
Beh allora potresti dire in che modo segue da essi, no? Giusto per dire qualcosa di più di "facile applicazione di Cacciopoli-Banach"
(capisco che è facile, ma un minimo passaggio da fare c'è).. Inoltre non hai accennato all'unicità (anch'essa facile, ma credo che meriti almeno una rapida dimostrazione).
"Fioravante Patrone":
@ViciousGoblinEnters
Non sbagli. Penso che Gugo82 intendesse semplicemente osservare che un chiuso in sp metrico completo è esso stesso completo, non che serva il teorema delle contrazioni per provarlo.
Spiego a FP, Vicious ed altri la mia precisazione sui sottospazi chiusi.
"matths87":
Ho un esercizio in cui mi viene richiesto di trovare un'applicazione di questo teorema per una mappa definita su un sottoinsieme chiuso di uno spazio completo.
Qualche suggerimento?
Ho interpretato la domanda di matths87 in questo modo: "Si può affermare la tesi del teorema di B-C anche se l'applicazione $A$ è una contrazione solo su un chiuso $M$ (nel senso che la restrizione $A_(/M)$ è una contrazione di $M$ in sè) dello spazio metrico completo $X$?".
Forse è una lettura un po' sempliciotta del problema: infatti è facile dare una risposta con semplici considerazioni topologiche.
Credo che l'unico che possa chiarirmi il testo del problema sia lo stesso matths87.
@ matths87:
"matths87":
Quello che intendevo era: la tesi segue dalla definizione di funzione composta e dall'unicità di $x$ (garantita da Banach-Cacciopoli, di cui l'esercizio proposto è un corollario).
Si tratta di spiegare meglio quel "dalla definizione di funzione composta"... Ricorda che gli operatori $A,A^mu$ commutano rispetto a $\circ$.
Proverà a essere più preciso.
@Gugo 82: la tua interpretazione del mio problema mi pare corretta.
@Martino: sappiamo che esiste $mu\in\mathbb{N}$ tale che $A^mu$ è una contrazione da $X$ in sè stesso. Ora, per Banach-Cacciopoli, esiste un unico $x\inX$ tale $A^mu(x)=x$. Ora osservo che $A\circ\cdots\circA(x)=x$ ($A$ ripetuta $mu$ volte) e l'unicità di $x$ implicano che $\A\circ\cdots\circA=x$ ($A$ ripetuta $mu-1$ volte). Quindi $x$ è unito anche per $A^{mu-1}$. Qui mi blocco, poichè non riesco a dimostrare che $x$ è unico anche per $A^{mu-1}$.
Sono io che sto seguendo una strada sbagliata e eccessivamente complicata per il problema, vero?
@Gugo 82: la tua interpretazione del mio problema mi pare corretta.
@Martino: sappiamo che esiste $mu\in\mathbb{N}$ tale che $A^mu$ è una contrazione da $X$ in sè stesso. Ora, per Banach-Cacciopoli, esiste un unico $x\inX$ tale $A^mu(x)=x$. Ora osservo che $A\circ\cdots\circA(x)=x$ ($A$ ripetuta $mu$ volte) e l'unicità di $x$ implicano che $\A\circ\cdots\circA=x$ ($A$ ripetuta $mu-1$ volte). Quindi $x$ è unito anche per $A^{mu-1}$. Qui mi blocco, poichè non riesco a dimostrare che $x$ è unico anche per $A^{mu-1}$.
Sono io che sto seguendo una strada sbagliata e eccessivamente complicata per il problema, vero?
@Gugo82
in effetti la tua interpretazione era la piu' ovvia - chissa' perche' mi ero messo a cercare esempi complicati di applicazioni del teorema delle contrazioni ....
@ matths87
Non capisco il ragionamento sulle composizioni. Io comunque farei così (che magari è quello che pensavi anche tu):
se $A^\mu x=x$ allora $A^\mu Ax=A A^\mu x=Ax$ e quindi anche $Ax$ è fisso - per l'unicità del punto fisso ne segue $Ax=x$.
in effetti la tua interpretazione era la piu' ovvia - chissa' perche' mi ero messo a cercare esempi complicati di applicazioni del teorema delle contrazioni ....
@ matths87
Non capisco il ragionamento sulle composizioni. Io comunque farei così (che magari è quello che pensavi anche tu):
se $A^\mu x=x$ allora $A^\mu Ax=A A^\mu x=Ax$ e quindi anche $Ax$ è fisso - per l'unicità del punto fisso ne segue $Ax=x$.
"matths87":
Ora osservo che $A\circ\cdots\circA(x)=x$ ($A$ ripetuta $mu$ volte) e l'unicità di $x$ implicano che $\A\circ\cdots\circA=x$ ($A$ ripetuta $mu-1$ volte).
Potresti esplicitare questa implicazione?
Il fatto è che ogni volta dici "questo, quello e quest'altro implicano la tesi", ma non dici perché
Allora, provo a usare un'altra notazione. Abbiamo che $A(...A(x)...)=x$ ($A$ ripetuta $mu$ volte) e che $x$ è l'unico punto unito di $A^mu$, quindi $A...(A(x)...)=x$ ($A$ ripetuta $mu-1$ volte).
Spero di essere stato chiaro, stavolta.
Spero di essere stato chiaro, stavolta.
Allora, provo a usare un'altra notazione.
Veramente non è un problema di notazione, è il "quindi".
Scusa se insisto anch'io, ma non e' mica tanto chiaro come da $A^mu x=x$ vuoi dedurre $A^{\mu-1}x=x$.
In generale questo non è vero (prendi come $A$ una rotazione di 90 gradi sulla circonferenza- $A^4$ è l'identità
ma $A^3$ non ha punti fissi). Come giustamente affermi bisogna usare il fatto che $x$ è l'unico punto fisso
- ma andrebbe spiegato come.
Io avevo proposto un modo
Il tuo modo di procedere l'ho capito (è quello che seguirei anch'io se non volessi usare Banach-Cacciopoli).
Comunque fate bene a insistere, forse aiutano di più questi confronti che un'intera settimana di lezione.
Attendo altri suggerimenti per completare la dimostrazione seguendo la strada da me intrapresa.
Comunque fate bene a insistere, forse aiutano di più questi confronti che un'intera settimana di lezione.
Attendo altri suggerimenti per completare la dimostrazione seguendo la strada da me intrapresa.
Il tuo modo di procedere l'ho capito (è quello che seguirei anch'io se non volessi usare Banach-Cacciopoli).
Ma anch'io sto usando Banach Caccioppoli per arrivare a $A^mu x=x$. Il problema è come andare avanti da qui
concludendo che $Ax=x$ - e per la verità non vedo altre strade oltre a quella gia' proposta.
Però da quanto scrivevi prima mi sembrava che tu riuscissi a ottenere $A^{\mu-1}x=x$ - potresti chiarire come ci arrivavi ?
"ViciousGoblinEnters":
Il tuo modo di procedere l'ho capito (è quello che seguirei anch'io se non volessi usare Banach-Cacciopoli).
Ma anch'io sto usando Banach Caccioppoli per arrivare a $A^mu x=x$. Il problema è come andare avanti da qui
concludendo che $Ax=x$ - e per la verità non vedo altre strade oltre a quella gia' proposta.
Però da quanto scrivevi prima mi sembrava che tu riuscissi a ottenere $A^{\mu-1}x=x$ - potresti chiarire come ci arrivavi ?
Infatti matths87, il trucco consiste nell'andare avanti componendo $A$ con $A^mu$, non nel tornare indietro fino ad $A$ passando per ogni $A^(mu-k)$...
Approccio sbagliato, quindi.
Grazie a tutti coloro che hanno partecipato a questa discussione, è stata molto interessante. Alla prossima
Grazie a tutti coloro che hanno partecipato a questa discussione, è stata molto interessante. Alla prossima
Manca ancora l'unicità!!
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