Conseguenza del teorema di Banach-Cacciopoli
Teorema (di Banach-Cacciapoli): sia $X$ uno spazio metrico completo. Allora una contrazione da $X$ in sè stesso ammette un unico punto fisso.
La dimostrazione l'ho capita. Ora però ho un esercizio in cui mi viene richiesto di trovare un'applicazione di questo teorema per una mappa definita su un sottoinsieme chiuso di uno spazio completo.
Qualche suggerimento?
La dimostrazione l'ho capita. Ora però ho un esercizio in cui mi viene richiesto di trovare un'applicazione di questo teorema per una mappa definita su un sottoinsieme chiuso di uno spazio completo.
Qualche suggerimento?
Risposte
Manca ancora l'unicità!!
che pedanteria...
Se $x_1\ne x_2$ e $A x_1=x_1$, $A x_2=x_2$ allora $A^\mu x_1=A^{\mu-1}x_1=...=x_1$ e analogamente $A^\mu x_2=x_2$ da cui $A^\mu$ avrebbe due punti fissi. Assurdo.
A proposito di B-C, vorrei dire che questo semplice teorema può essere usato per provare in modo rapido ed indolore il Teorema di esistenza ed unicità per le soluzioni locali del problema di Cauchy (al posto del ragionamento classico con il metodo di Picard)...
Non so matths87 a che proposito stia studiando il Teorema di B-C, però questa che ho segnalato è sicuramente una sua applicazione sfiziosa!
Non so matths87 a che proposito stia studiando il Teorema di B-C, però questa che ho segnalato è sicuramente una sua applicazione sfiziosa!
In effetti, a lezione abbiamo dimostrato Cauchy-Lipschitz come hai detto tu.
Ho studiato questi teoremi in vista dell'orale del secondo modulo di Analisi 2.
Ho studiato questi teoremi in vista dell'orale del secondo modulo di Analisi 2.
"matths87":
In effetti, a lezione abbiamo dimostrato Cauchy-Lipschitz come hai detto tu.
Ho studiato questi teoremi in vista dell'orale del secondo modulo di Analisi 2.
Avendo avuto un professore di Analisi I e II molto tradizionalista, ho visto la dimostrazione del Teorema di Cauchy con l'applicazione di B-C solo al quarto anno seguendo Analisi Funzionale.
La dimostrazione classica del Teorema di Cauchy era una delle domande difficili ad Analisi II (insieme alla dimostrazione del Teorema del Dini e ad un'altra che adesso mi sfugge), nel senso che il prof. la faceva per lo più a chi riteneva meritasse un voto alto. Eh, ricordi di gioventù...
Però la dim diretta via teorema delle contrazioni dà una stima peggiore di quella del metodo delle approssimazioni successive, per quanto riguarda l'esistenza della soluzione locale.
La si riesce a recuperare facendo dei patches successivi, se ricordo bene (ricordi di "gioventù").
La si riesce a recuperare facendo dei patches successivi, se ricordo bene (ricordi di "gioventù").
"Gugo82":
[quote="matths87"]In effetti, a lezione abbiamo dimostrato Cauchy-Lipschitz come hai detto tu.
Ho studiato questi teoremi in vista dell'orale del secondo modulo di Analisi 2.
Avendo avuto un professore di Analisi I e II molto tradizionalista, ho visto la dimostrazione del Teorema di Cauchy con l'applicazione di B-C solo al quarto anno seguendo Analisi Funzionale.
La dimostrazione classica del Teorema di Cauchy era una delle domande difficili ad Analisi II (insieme alla dimostrazione del Teorema del Dini e ad un'altra che adesso mi sfugge), nel senso che il prof. la faceva per lo più a chi riteneva meritasse un voto alto. Eh, ricordi di gioventù...[/quote]
LA mia risposta è off-topic ma cmq la dimostrazione difficile da noi a Calcolo 2 alla Sapienza è stata il teorema di inversione locale delle funzioni vettoriali :O
Continuo il tuo OT: che enunciato ha il teorema da citato?
"antrope":
[quote="Gugo82"][quote="matths87"]In effetti, a lezione abbiamo dimostrato Cauchy-Lipschitz come hai detto tu.
Ho studiato questi teoremi in vista dell'orale del secondo modulo di Analisi 2.
Avendo avuto un professore di Analisi I e II molto tradizionalista, ho visto la dimostrazione del Teorema di Cauchy con l'applicazione di B-C solo al quarto anno seguendo Analisi Funzionale.
La dimostrazione classica del Teorema di Cauchy era una delle domande difficili ad Analisi II (insieme alla dimostrazione del Teorema del Dini e ad un'altra che adesso mi sfugge), nel senso che il prof. la faceva per lo più a chi riteneva meritasse un voto alto. Eh, ricordi di gioventù...[/quote]
LA mia risposta è off-topic ma cmq la dimostrazione difficile da noi a Calcolo 2 alla Sapienza è stata il teorema di inversione locale delle funzioni vettoriali :O[/quote]
Che è un'applicazione del Teorema del Dini.
Riporto l'enunciato per matths87:
Siano $n in NN$, $A subseteq RR^n$ un aperto ed $F=(f_1,\ldots ,f_n):Ato RR^n$ una funzione di classe $C^1$ in $A$.
Comunque si fissi $bary in A$ in modo che risulti non nullo lo jacobiano $(\partial(f_1,\ldots ,f_n))/(\partial(y_1,\ldots ,y_n))(bary)$, la funzione $F$ è localmente invertibile in $bary$*. Inoltre, detta $Phi=(phi_1,\ldots,phi_n)$ l'inversa locale di $F$ in $bary$, $Phi$ è di classe $C^1$ nell'insieme $U$ in cui è definita e risulta:
$AA x in U, quad quad (\partial(phi_1,\ldots ,phi_n))/(\partial(x_1,\ldots ,x_n))(x)=1/((\partial(f_1,\ldots ,f_n))/(\partial(y_1,\ldots ,y_n))(Phi(x)))$
Praticamente è la generalizzazione al caso di più variabili del Teorema di derivazione della funzione inversa.
___________
* Ciò vuol dire che esiste un intorno $I$ di $bary$ contenuto in $A$ tale che la restrizione di $F$ ad $I$ sia una biiezione di $I$ in $F(I)$.
$A$ è un sottoinsieme aperto di $R^n$
Come mai è così difficile?
Cambia qualcosa di sostanziale al passaggio alle più dimensioni?
Cambia qualcosa di sostanziale al passaggio alle più dimensioni?
"Gaal Dornick":
Come mai è così difficile?
Cambia qualcosa di sostanziale al passaggio alle più dimensioni?
Il teorema in sé non è difficile... è provare il Teorema del Dini (su cui si basa la dimostrazione del Teorema d'invertibilità locale) che è un po' più difficile, ma comunque niente di che.
Il problema di quando passi ad applicazioni di $RR^n$ in sé (ossia le applicazioni vettoriali) è questo: trovare qualche oggetto che ti dia informazioni sul "comportamento locale" dell'applicazione che stai considerando. Questo servizio in dimensione uno ti viene offerto dalla semplice derivata prima, ma in dimensione $ge 2$ le sole derivate parziali prime non bastano: si introduce allora il determinante jacobiano:
$(\partial (f_1,\ldots ,f_n))/(\partial (x_1,\ldots ,x_n))=|((\partial f_1)/(\partial x_1), \ldots , (\partial f_1)/(\partial x_n)),(\vdots , \ddots , \vdots),((\partial f_n)/(\partial x_1), \ldots , (\partial f_n)/(\partial x_n))|$
e si prova che questo oggetto ti aiuta a stabilire delle condizioni sufficienti per l'invertibilità locale, come indicato dal teorema riportato più sopra.
Vedrai il tutto in Analisi II Gaal, non ti preoccupare!
"Gugo82":
[quote="Gaal Dornick"]Come mai è così difficile?
Cambia qualcosa di sostanziale al passaggio alle più dimensioni?
Il teorema in sé non è difficile... è provare il Teorema del Dini (su cui si basa la dimostrazione del Teorema d'invertibilità locale) che è un po' più difficile, ma comunque niente di che.
Il problema di quando passi ad applicazioni di $RR^n$ in sé (ossia le applicazioni vettoriali) è questo: trovare qualche oggetto che ti dia informazioni sul "comportamento locale" dell'applicazione che stai considerando. Questo servizio in dimensione uno ti viene offerto dalla semplice derivata prima, ma in dimensione $ge 2$ le sole derivate parziali prime non bastano: si introduce allora il determinante jacobiano:
$(\partial (f_1,\ldots ,f_n))/(\partial (x_1,\ldots ,x_n))=|((\partial f_1)/(\partial x_1), \ldots , (\partial f_1)/(\partial x_n)),(\vdots , \ddots , \vdots),((\partial f_n)/(\partial x_1), \ldots , (\partial f_n)/(\partial x_n))|$
e si prova che questo oggetto ti aiuta a stabilire delle condizioni sufficienti per l'invertibilità locale, come indicato dal teorema riportato più sopra.
Vedrai il tutto in Analisi II Gaal, non ti preoccupare!
[/quote]D'altra parte, com'è noto, il teorema è suscettibile di una generalizzazione agli spazi di Banach (e credo ne esistano versioni ancora più generali, di pertinenza della topologia differenziale).
La versione più generale che io conosca è quella negli spazi di Banach; lo spazio più generale dove avrebbe senso enunciarlo potrebbe essere lo spazio vettoriale topologico, ma non so se esiste un Teorema del Dini per tali spazi.
"Gugo82":
Vedrai il tutto in Analisi II Gaal, non ti preoccupare!
E' questo il punto: io analisi II l'ho già fatto e dato..ma questa dimostrazione non c'era: c'era un semplice "e questo teorema (che dimostriamo in 1 dimensione) si generalizza facilmente...".
Per questo chiedevo, nel caso ci fosse qualche concetto importante che mi mancava..ma a quanto pare no.
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