Come fa a calcolare così velocemente dopo sviluppo Taylor?
Premesso che mi pare di aver capito bene gli sviluppi del polinomio di Taylor applicato ai limiti. Ho però dei problemi riguardo al calcolo del polinomio di taylor, una volta applicato per un ordine n.
Porto l'esempio di un esercizio da seconda parte di uno dei compiti di esame del corso di matematica nella mia facoltà:
il limite, sviluppato con taylor, risulta essere, per il primo addendo:
$xe^(x-2/3x^2) = x [1+(x-2/3x^2) + 1/2 (x-2/3x^2)^2 + 1/6 (x-2/3x^2)^3 + 1/24 (x-2/3x^2)^4]$
$= x [1 + x - (2)/3x^2 + (1)/2x^2 - (2)/3x^3 + (2)/9x^4 + (1)/6x^3 - (1)/3x^4 + (1)/24x^4]$
$= x + x^2 - (1)/6x^3 - (1)/2x^4 - (5)/72x^5$
Quello che mi chiedo è: come ha fatto a calcolare quelle parentesi di quarto grado, di terzo grado, in un solo passaggio? C'è un metodo veloce per caso? sono calcoli mastodontici quelli del primo rigo!! come si fa ad arrivare così in fretta a tutto il resto?
Ah, altra cosa: ma il polinomio di taylor, si può applicare solo ai limiti che tendono a 0?
Grazie a tutti
Porto l'esempio di un esercizio da seconda parte di uno dei compiti di esame del corso di matematica nella mia facoltà:
il limite, sviluppato con taylor, risulta essere, per il primo addendo:
$xe^(x-2/3x^2) = x [1+(x-2/3x^2) + 1/2 (x-2/3x^2)^2 + 1/6 (x-2/3x^2)^3 + 1/24 (x-2/3x^2)^4]$
$= x [1 + x - (2)/3x^2 + (1)/2x^2 - (2)/3x^3 + (2)/9x^4 + (1)/6x^3 - (1)/3x^4 + (1)/24x^4]$
$= x + x^2 - (1)/6x^3 - (1)/2x^4 - (5)/72x^5$
Quello che mi chiedo è: come ha fatto a calcolare quelle parentesi di quarto grado, di terzo grado, in un solo passaggio? C'è un metodo veloce per caso? sono calcoli mastodontici quelli del primo rigo!! come si fa ad arrivare così in fretta a tutto il resto?
Ah, altra cosa: ma il polinomio di taylor, si può applicare solo ai limiti che tendono a 0?
Grazie a tutti
Risposte
Salve, Noto una certa confunsione... Sei sicuro che lo sviluppo sia corretto? Non mancano degli addendi?
Ti ricordo brevemente il Teorema di Taylor con il resto di Peano.
Sia $f : [a,b] ->RR $ $x_0 in [a,b]$. $f$ continua in $x_0$ ed ivi $n$ volte derivabile.
Allora $f(x) = \sum_{i=0}^n f^(i)(x_0)(x-x_0)^i + \sigma(x-x_0)$ dove $\sigma(x-x_0) = o((x-x_0)^n))$ . (questa scrittura significa che $lim_{x->x_0} (\sigma(x-x_0)/(x-x_0)^n )=0$ )
Dunque in buona sostanza questo teorema ti dice che se tu hai una funzione , continua in un punto, e in quel punto n volte derivabile , allora l'errore che commetti nel considerare la quantità $\sum_{i=0}^n f^(i)(x_0)(x-x_0)^i$ (che è il polinomio di Taylor) piuttosto che $f(x)$ è di un $o(x-x_0)^n$.
Dunque quando scegli di sviluppare una funzione, prima di tutto scegli un punto $x_0$ dove svilupparla, e in secondo luogo, scegli dove fermarti.
(consiglio 1 : se non hai confidenza con gli infinitesimi... con gli o-piccoli...e quant'altro, ti consiglio di studiare bene la parte relativa agli infinitesimi e l'utilizzo degli o piccoli, qualcosa la trovi ad esempio sull'Acerbi Buttazzo - Primo corso di Analisi Matematica).
Ad esempio,
Scegliamo $f = sinx , x_0=0$ e voglio considerare il polinomio di taylor fino al 3° ordine .
Ho che $f(x) = x-(x^3/3!)+o(x^3)$ .
Fino al quarto ordine sarà.. $sinx= x-x^3/3!+o(x^4)$..
(consiglio 2 : cerca di focalizzare gli sviluppi notevoli, sono estremamente utili, soprattutto nel calcolo dei limiti.)
Dal tuo post , mi pare di capire , che il dubbio sostanziale è quello che molti termini si elidono facendo i conti su questi sviluppi, prima di portare un esempio pratico,
ecco delle cose che devi sapere :
La prima è che se hai $f,g, h, k $ funzioni infinitesime in un punto $x_0$ e sai che $h=o(f) , k=o(g)$
se $ EE lim_{x->x_0}(f+h)/(g+k) = l in RR => EE lim_{x->x_0} (f/g) = l in RR$
Altre cose che possono essere utili , ad esempio :
$o(f)o(g)=o(fg)... o(f)g=o(fg) , o(f+o(g))=o(f) , o(f)+-o(f)=o(f)$... (ripeto, dai un'occhiata a qualche testo di analisi, questi teoremini sono fondamentali.)
Detto questo , ti porto un esempio :
Supponiamo di voler calcolare lo sviluppo di $sin(x)*cos(x)$
(mi fermo a gradi bassi, grado 3 seno e coseno)
Io so che $sinx = x-x^3/(3!)+o(x^3)$
e $cos(x)=1-x^2/2+o(x^3)$
dunque $sinxcosx= (x-x^3/(3!)+o(x^3))(1-x^2/2+o(x^3))= $
$=x-x^3/2+o(x^4) -x^3/(3!)+x^5/(3!*2)+o(x^6)+o(x^3)+o(x^5)+o(x^6)$ <-- fin qua ho fatto solo calcoli algebrici. (dovrei averli fatti giusti, controlla..)
Dopo di che ci rendiamo conto che gli elementi di ordine più grandi di $o(x^4)$ sono "superflui" , quindi non vengono considerati , e quindi mi rimane
$sinxcosx = x-x^3/2-x^3/(3!) + o(x^4)$.
Spero di esser stato chiaro.
Ti ricordo brevemente il Teorema di Taylor con il resto di Peano.
Sia $f : [a,b] ->RR $ $x_0 in [a,b]$. $f$ continua in $x_0$ ed ivi $n$ volte derivabile.
Allora $f(x) = \sum_{i=0}^n f^(i)(x_0)(x-x_0)^i + \sigma(x-x_0)$ dove $\sigma(x-x_0) = o((x-x_0)^n))$ . (questa scrittura significa che $lim_{x->x_0} (\sigma(x-x_0)/(x-x_0)^n )=0$ )
Dunque in buona sostanza questo teorema ti dice che se tu hai una funzione , continua in un punto, e in quel punto n volte derivabile , allora l'errore che commetti nel considerare la quantità $\sum_{i=0}^n f^(i)(x_0)(x-x_0)^i$ (che è il polinomio di Taylor) piuttosto che $f(x)$ è di un $o(x-x_0)^n$.
Dunque quando scegli di sviluppare una funzione, prima di tutto scegli un punto $x_0$ dove svilupparla, e in secondo luogo, scegli dove fermarti.
(consiglio 1 : se non hai confidenza con gli infinitesimi... con gli o-piccoli...e quant'altro, ti consiglio di studiare bene la parte relativa agli infinitesimi e l'utilizzo degli o piccoli, qualcosa la trovi ad esempio sull'Acerbi Buttazzo - Primo corso di Analisi Matematica).
Ad esempio,
Scegliamo $f = sinx , x_0=0$ e voglio considerare il polinomio di taylor fino al 3° ordine .
Ho che $f(x) = x-(x^3/3!)+o(x^3)$ .
Fino al quarto ordine sarà.. $sinx= x-x^3/3!+o(x^4)$..
(consiglio 2 : cerca di focalizzare gli sviluppi notevoli, sono estremamente utili, soprattutto nel calcolo dei limiti.)
Dal tuo post , mi pare di capire , che il dubbio sostanziale è quello che molti termini si elidono facendo i conti su questi sviluppi, prima di portare un esempio pratico,
ecco delle cose che devi sapere :
La prima è che se hai $f,g, h, k $ funzioni infinitesime in un punto $x_0$ e sai che $h=o(f) , k=o(g)$
se $ EE lim_{x->x_0}(f+h)/(g+k) = l in RR => EE lim_{x->x_0} (f/g) = l in RR$
Altre cose che possono essere utili , ad esempio :
$o(f)o(g)=o(fg)... o(f)g=o(fg) , o(f+o(g))=o(f) , o(f)+-o(f)=o(f)$... (ripeto, dai un'occhiata a qualche testo di analisi, questi teoremini sono fondamentali.)
Detto questo , ti porto un esempio :
Supponiamo di voler calcolare lo sviluppo di $sin(x)*cos(x)$
(mi fermo a gradi bassi, grado 3 seno e coseno)
Io so che $sinx = x-x^3/(3!)+o(x^3)$
e $cos(x)=1-x^2/2+o(x^3)$
dunque $sinxcosx= (x-x^3/(3!)+o(x^3))(1-x^2/2+o(x^3))= $
$=x-x^3/2+o(x^4) -x^3/(3!)+x^5/(3!*2)+o(x^6)+o(x^3)+o(x^5)+o(x^6)$ <-- fin qua ho fatto solo calcoli algebrici. (dovrei averli fatti giusti, controlla..)
Dopo di che ci rendiamo conto che gli elementi di ordine più grandi di $o(x^4)$ sono "superflui" , quindi non vengono considerati , e quindi mi rimane
$sinxcosx = x-x^3/2-x^3/(3!) + o(x^4)$.
Spero di esser stato chiaro.
mmm diciamo che il mio professore di matematica generale, non ci ha menzionato affatto resto di peano, o piccole, margine di errore. Per cui io finora ero abituato a quanto detto da lui a lezione. Sostanzialmente ci ha detto che dobbiamo capirlo noi quando fermarci. Faccio Economia, comunque.
Non so per quale motivo non abbia introdotto anche questo concetto, forse non lo riteneva così importante, oppure non lo riteneva fondamentale per noi, che comunque non facciamo ingegneria. Valli a capire, poi, i professori! Ognuno ha le sue idee. Mi sembra anche strano che non lo abbia fatto, perchè è molto competente, è un matematico di professione...
Gli addendi che ho scritto sono giusti, ho appena ricontrollato la formula... ma io non ho capito praticamente, come fa ad arrivare al rigo successivo, quando poco prima aveva elementi di grado quarto!
In soldoni, la teoria, l'ho capita, ma è proprio a livello di calcoli, che non ho capito come ha fatto ad arrivare al rigo successivo e a quello successivo ancora. Per esempio, perchè come hai detto tu, "ci rendiamo conto che gli elementi di ordine più grande sono superflui"? Nel senso che si è arrivati ad approssimare troppo?
grazie
Non so per quale motivo non abbia introdotto anche questo concetto, forse non lo riteneva così importante, oppure non lo riteneva fondamentale per noi, che comunque non facciamo ingegneria. Valli a capire, poi, i professori! Ognuno ha le sue idee. Mi sembra anche strano che non lo abbia fatto, perchè è molto competente, è un matematico di professione...
Gli addendi che ho scritto sono giusti, ho appena ricontrollato la formula... ma io non ho capito praticamente, come fa ad arrivare al rigo successivo, quando poco prima aveva elementi di grado quarto!
In soldoni, la teoria, l'ho capita, ma è proprio a livello di calcoli, che non ho capito come ha fatto ad arrivare al rigo successivo e a quello successivo ancora. Per esempio, perchè come hai detto tu, "ci rendiamo conto che gli elementi di ordine più grande sono superflui"? Nel senso che si è arrivati ad approssimare troppo?
grazie
"Baldur":
$xe^(x-2/3x^2) = x [1+(x-2/3x^2) + 1/2 (x-2/3x^2)^2 + 1/6 (x-2/3x^2)^3 + 1/24 (x-2/3x^2)^4]$
$= x [1 + x - (2)/3x^2 + (1)/2x^2 - (2)/3x^3 + (2)/9x^4 + (1)/6x^3 - (1)/3x^4 + (1)/24x^4]$
$= x + x^2 - (1)/6x^3 - (1)/2x^4 - (5)/72x^5$
Prendiamo la quadra (PS: manca un \(o(x^4)\)):
$1+(x-2/3x^2) + 1/2 (x-2/3x^2)^2 + 1/6 (x-2/3x^2)^3 + 1/24 (x-2/3x^2)^4+o(x^4).$
Considera le varie potenze di \(x\):
- ordine 0: c'è solo il termine noto 1;
- ordine 1: c'è solo la \(x\) che salta fuori dalla prima tonda;
- ordine 2: c'è il \(-2x^2/3\) della prima tonda e \(x^2/2\) della seconda; in totale \(-x^2/6\);
- ordine 3: \(-2x^3/3\) dal doppio prodotto nella seconda tonda, \(x^3/6\) dalla terza tonda; in totale \(-x^3/2\);
- ordine 4: \(2x^4/9\) dalla seconda tonda, \(-x^4/3\) dalla terza, \(x^4/24\) dalla quarta; in totale \(-5x^4/72\);
- infine, \(o(x^4)\) si mangia tutto quel che resta.
ragazzi nel mio corso di matematica come ho già detto, il polinomio di taylor è stato applicato senza menzionare affatto o piccole e cose del genere! Quindi dovrei capire cosa vuol dire "si mangia tutto il resto"...
il punto è capire cosa abbia fatto li il professore, per arrivare a quelle conclusioni così velocemente
il punto è capire cosa abbia fatto li il professore, per arrivare a quelle conclusioni così velocemente
Come ha definito il polinomio di Taylor?
"Baldur":
Quindi dovrei capire cosa vuol dire "si mangia tutto il resto"...
Per farla facile facile: quando \(x\to 0\), qualsiasi potenza di \(x\) maggiore di \(4\) viene "mangiata" da \(o(x^4)\).
Per farla un po' più difficile: leggi il tutorial sui simboli di Landau.
Guardate vi mando il link del pdf riguardante la lezione che comprende anche il polinomio di Taylor.
http://www.ec.univaq.it/on-line/Home/Do ... o2684.html
Dalla slide 113.
Comunque secondo me si tratta solo di un problema di calcolo, che ha fatto senza considerare landau.. penso ci sarà un modo senza landau no? Altrimenti come avrebbe fatto il calcolo?
grazie
http://www.ec.univaq.it/on-line/Home/Do ... o2684.html
Dalla slide 113.
Comunque secondo me si tratta solo di un problema di calcolo, che ha fatto senza considerare landau.. penso ci sarà un modo senza landau no? Altrimenti come avrebbe fatto il calcolo?
grazie
Vediamo se riesco a chiarirti un po' le idee: una funzione continua che non sia un polinomio può essere approssimata tramite un polinomio. L'approssimazione perfetta l'avresti considerando un polinomio di grado infinito, cioè una cosa del tipo
\[
e^x = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \dots
\]
Ma siccome mettere infiniti termini è scomodo, ad un certo punto tronchiamo la serie di cui sopra [detta "Serie di Taylor"] e buttiamo via tutte le potenze maggiori di un certo numero \(k\) scelto da noi. In questo modo si ottiene il Polinomio di Taylor.
Come ogni approssimazione, anche questa comporta un errore di approssimazione, che è dato da tutti i termini che uno butta via troncando la serie e passando al polinomio.
Ogni monomio comporta un errore che è proporzionale al grado del monomio stesso: se sto approssimando vicino a \(x_0 = 0\), diciamo con \(x = 0.01\), allora l'errore dato da \(x^5\) è molto minore dell'errore dato da \(x^2\), perché
\[
x^5 = 0.01 \cdot 0.01 \cdot 0.01 \cdot 0.01 \cdot 0.01 = 10^{-10} \ll 10^{-4} = 0.01 \cdot 0.01 = x^2.
\]
Diciamo inoltre che tutti i monomi dello stesso ordine danno un errore "più o meno" comparabile, perché differiscono solo di una costante moltiplicativa, che comunque non altera la sostanza.
Questo significa che possiamo scegliere di troncare un polinomio di Taylor ad un certo ordine, cancellando [cioè, considerando come se fozzero zero] tutti i termini di grado superiore; in questo modo si ottengono i vari polinomi di Taylor, ad esempio [sempre con l'esponenziale di prima]
\[
T_4(e^x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}
\]
oppure
\[
T_2(e^x) = 1 + x + \frac{x^2}{2}.
\]
Se fin qui hai capito tutto, allora siamo pronti per rispondere alla tua domanda.
Vogliamo prendere l'espansione di Taylor di ordine \(4\) della funzione che hai scritto, \(xe^{x - \frac 2 3 x^2}\).
Il primo passaggio è come hai scritto tu
\[
xe^{x- \frac 2 3 x^2} = x [1+(x - \frac{2}{3}x^2) + \frac 1 2 (x- \frac 2 3 x^2)^2 + \frac 1 6 (x- \frac 2 3 x^2)^3 + \frac 1 {24} (x - \frac 2 3 x^2)^4]
\]
mentre per il secondo, ragiona così: vogliamo approssimare al quarto ordine, quindi tutto ciò che è dell'ordine di \(x^5\) o superiore non ci interessa, e quindi non lo scriveremo nemmeno, ok?
Allora quando svolgi i conti vedi che:
1) la prima parentesi si può riscrivere tale e quale, senza problemi
2) la seconda parentesi è il quadrato di un termine \(x\) sommato ad un \(x^2\): quando vado a fare questo quadrato ottengo un termine \(x^2\) dal quadrato del primo, un termine \(x^3\) dal doppio prodotto ed un termine \(x^4\) dal quadrato del secondo, e quindi li scrivo tutti anche qui.
3) la terza parentesi è il cubo di un termine \(x\) sommato ad un \(x^2\): quando svolgi hai un termine \(x^3\) dal cubo del primo, un termine \(x^4\) dal triplo prodotto del quadrato del primo e del secondo, un termine \(x^5\) dal triplo prodotto del primo e del quadrato del secondo ed un termine \(x^6\) dal cubo del secondo. Ora, siccome stai approssimando al quarto ordine, i termini \(x^5\) e \(x^6\) non li devi nemmeno calcolare, tanto per te in questo momento sono trascurabili.
4) per la quarta parentesi, fai come al punto 3: più sali di grado, meno coefficienti devi calcolare esplicitamente e quindi ti puoi risparmiare un sacco di conti.
Dimmi se ora è più chiaro oppure vaghi ancora nel buio.
\[
e^x = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \dots
\]
Ma siccome mettere infiniti termini è scomodo, ad un certo punto tronchiamo la serie di cui sopra [detta "Serie di Taylor"] e buttiamo via tutte le potenze maggiori di un certo numero \(k\) scelto da noi. In questo modo si ottiene il Polinomio di Taylor.
Come ogni approssimazione, anche questa comporta un errore di approssimazione, che è dato da tutti i termini che uno butta via troncando la serie e passando al polinomio.
Ogni monomio comporta un errore che è proporzionale al grado del monomio stesso: se sto approssimando vicino a \(x_0 = 0\), diciamo con \(x = 0.01\), allora l'errore dato da \(x^5\) è molto minore dell'errore dato da \(x^2\), perché
\[
x^5 = 0.01 \cdot 0.01 \cdot 0.01 \cdot 0.01 \cdot 0.01 = 10^{-10} \ll 10^{-4} = 0.01 \cdot 0.01 = x^2.
\]
Diciamo inoltre che tutti i monomi dello stesso ordine danno un errore "più o meno" comparabile, perché differiscono solo di una costante moltiplicativa, che comunque non altera la sostanza.
Questo significa che possiamo scegliere di troncare un polinomio di Taylor ad un certo ordine, cancellando [cioè, considerando come se fozzero zero] tutti i termini di grado superiore; in questo modo si ottengono i vari polinomi di Taylor, ad esempio [sempre con l'esponenziale di prima]
\[
T_4(e^x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}
\]
oppure
\[
T_2(e^x) = 1 + x + \frac{x^2}{2}.
\]
Se fin qui hai capito tutto, allora siamo pronti per rispondere alla tua domanda.
Vogliamo prendere l'espansione di Taylor di ordine \(4\) della funzione che hai scritto, \(xe^{x - \frac 2 3 x^2}\).
Il primo passaggio è come hai scritto tu
\[
xe^{x- \frac 2 3 x^2} = x [1+(x - \frac{2}{3}x^2) + \frac 1 2 (x- \frac 2 3 x^2)^2 + \frac 1 6 (x- \frac 2 3 x^2)^3 + \frac 1 {24} (x - \frac 2 3 x^2)^4]
\]
mentre per il secondo, ragiona così: vogliamo approssimare al quarto ordine, quindi tutto ciò che è dell'ordine di \(x^5\) o superiore non ci interessa, e quindi non lo scriveremo nemmeno, ok?
Allora quando svolgi i conti vedi che:
1) la prima parentesi si può riscrivere tale e quale, senza problemi
2) la seconda parentesi è il quadrato di un termine \(x\) sommato ad un \(x^2\): quando vado a fare questo quadrato ottengo un termine \(x^2\) dal quadrato del primo, un termine \(x^3\) dal doppio prodotto ed un termine \(x^4\) dal quadrato del secondo, e quindi li scrivo tutti anche qui.
3) la terza parentesi è il cubo di un termine \(x\) sommato ad un \(x^2\): quando svolgi hai un termine \(x^3\) dal cubo del primo, un termine \(x^4\) dal triplo prodotto del quadrato del primo e del secondo, un termine \(x^5\) dal triplo prodotto del primo e del quadrato del secondo ed un termine \(x^6\) dal cubo del secondo. Ora, siccome stai approssimando al quarto ordine, i termini \(x^5\) e \(x^6\) non li devi nemmeno calcolare, tanto per te in questo momento sono trascurabili.
4) per la quarta parentesi, fai come al punto 3: più sali di grado, meno coefficienti devi calcolare esplicitamente e quindi ti puoi risparmiare un sacco di conti.
Dimmi se ora è più chiaro oppure vaghi ancora nel buio.
Allora mi sembra di aver capito tutto, il concetto è semplice: bisogna scegliere un compromesso tra: l'avere una buona approssimazione (cosa che non avrei con i limiti notevoli, poichè si fermano al primo addendo, spesso) e l'evitare di svolgere calcoli mastodontici, giusto?
Per cui, se scelgo di arrestarmi al 4o grado, tutto ciò che viene dopo è trascurabile. Ora, è trascurabile nel senso che posso proprio considerarlo come zero? Nel senso, posso barrarlo e buttarlo via, e quindi calcolare algebricamente (e quindi senza considerare più calcoli infinitesimi) tutto ciò che si ferma all'ordine 4?
E fammi capire un'altra cosa, se io decido di fermarmi al quarto ordine, e tu al quinto, il risultato sarà all'incirca lo stesso giusto? E per "all'incirca" intendo comunque una approssimazione che sostanzialmente non alteri più di tanto il risultato finale
grazie per la disponibilità
Per cui, se scelgo di arrestarmi al 4o grado, tutto ciò che viene dopo è trascurabile. Ora, è trascurabile nel senso che posso proprio considerarlo come zero? Nel senso, posso barrarlo e buttarlo via, e quindi calcolare algebricamente (e quindi senza considerare più calcoli infinitesimi) tutto ciò che si ferma all'ordine 4?
E fammi capire un'altra cosa, se io decido di fermarmi al quarto ordine, e tu al quinto, il risultato sarà all'incirca lo stesso giusto? E per "all'incirca" intendo comunque una approssimazione che sostanzialmente non alteri più di tanto il risultato finale
grazie per la disponibilità
Sono contento che tu abbia capito la mia spiegazione, ma ancora di più che tu mi faccia queste domande, perché indicano che ti sei accorto da solo di una certa necessità di rigore, che ora mi stai chiedendo di introdurti
La traduzione in simboli di "fermarsi al quarto ordine" viene fatta, in matematica, introducendo un simbolo che già è stato citato: il simbolo di Landau "o-piccolo".
Disclaimer: i matematici evitino di leggere quanto segue.
Dire che approssimiamo l'esponenziale al quarto ordine significa dire che
\[
e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} = T_4(e^x).
\]
Ora, siccome abbiamo approssimato al quarto ordine, sappiamo per certo che l'errore che commettiamo, dato da tutti i termini che nei calcoli abbiamo buttato via, è un errore infinitesimo del quinto ordine, o anche di ordine superiore; questo si esprime dicendo che
\[
e^x - T_4(e^x) = o(x^4)
\]
dove il simbolo \(o(x^4)\) indica una generica funzione che è infinitesima di ordine superiore a 4: potrebbe essere \(o(x^4) = x^5\) oppure \(o(x^4) = 55x^{42}\), ma di certo non \(o(x^4) = x^2\).
Quindi,
\[
e^x = T_4(e^x) + o(x^4)
\]
ma anche
\[
e^x = T_2(e^x) + o(x^2).
\]
Ultima cosa sull'o-piccolo. Se sommo un \(o(x^3)\) con un infinitesimo di ordine superiore, ottengo una funzione che non so bene cosa sia, ma posso solo dire che è anch'essa \(o(x^3)\). Per questo motivo, il simbolo di o-piccolo funziona come una sorta di barriera, che indica a che grado di infinitesimo stai approssimando, e quindi ti permette di cancellare tutti i termini di grado superiore.
Adesso: cosa cambia tra un'approssimazione e l'altra?
La differenza si vede se io faccio un'operazione del tipo \(e^x - (1 + x + \frac{x^2}{2})\): se uso il polinomio di primo grado,
\[
e^x - (1 + x + \frac{x^2}{2}) = T_1(e^x) + o(x) - (1 + x + \frac{x^2}{2}) = 1 + x + o(x) - 1 - x - \frac{x^2}{2} = o(x)
\]
e questa espressione, da sola, non mi dà abbastanza informazioni, perché ci sono infinite funzioni che sono o-piccolo di \(x\).
Se usassi il polinomio di secondo ordine, otterrei ancora solamente \(o(x^2)\), e quindi da punto a capo.
Con un polinomio di terzo ordine,
\begin{align*}
e^x - (1 + x + \frac{x^2}{2}) &= T_3(e^x) + o(x^3) - (1 + x + \frac{x^2}{2}) \\
& = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) - 1 - x - \frac{x^2}{2} \\
& = \frac{x^3}{6} + o(x^3)
\end{align*}
ed ora HO, effettivamente, delle informazioni, perché so che la mia funzione, \(f(x) = e^x - (1 + x + \frac{x^2}{2})\), intorno all'origine si comporta come un polinomio di terzo grado, con un errore di grado superiore, che quindi possiamo trascurare.
Se approssimassi al decimo ordine, otterrei un polinomio con termini dal grado \(3\) al grado \(10\) più un errore di grado maggiore di \(10\), cioè un \(o(x^{10})\), ma comunque il termine dominante sarebbe quello di grado \(3\), che ovviamente è lo stesso del caso precedente [ricorda cosa succede quando fai il limite in \(x = 0\) di un polinomio].
Tutto chiaro?
La traduzione in simboli di "fermarsi al quarto ordine" viene fatta, in matematica, introducendo un simbolo che già è stato citato: il simbolo di Landau "o-piccolo".
Disclaimer: i matematici evitino di leggere quanto segue.
Dire che approssimiamo l'esponenziale al quarto ordine significa dire che
\[
e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} = T_4(e^x).
\]
Ora, siccome abbiamo approssimato al quarto ordine, sappiamo per certo che l'errore che commettiamo, dato da tutti i termini che nei calcoli abbiamo buttato via, è un errore infinitesimo del quinto ordine, o anche di ordine superiore; questo si esprime dicendo che
\[
e^x - T_4(e^x) = o(x^4)
\]
dove il simbolo \(o(x^4)\) indica una generica funzione che è infinitesima di ordine superiore a 4: potrebbe essere \(o(x^4) = x^5\) oppure \(o(x^4) = 55x^{42}\), ma di certo non \(o(x^4) = x^2\).
Quindi,
\[
e^x = T_4(e^x) + o(x^4)
\]
ma anche
\[
e^x = T_2(e^x) + o(x^2).
\]
Ultima cosa sull'o-piccolo. Se sommo un \(o(x^3)\) con un infinitesimo di ordine superiore, ottengo una funzione che non so bene cosa sia, ma posso solo dire che è anch'essa \(o(x^3)\). Per questo motivo, il simbolo di o-piccolo funziona come una sorta di barriera, che indica a che grado di infinitesimo stai approssimando, e quindi ti permette di cancellare tutti i termini di grado superiore.
Adesso: cosa cambia tra un'approssimazione e l'altra?
La differenza si vede se io faccio un'operazione del tipo \(e^x - (1 + x + \frac{x^2}{2})\): se uso il polinomio di primo grado,
\[
e^x - (1 + x + \frac{x^2}{2}) = T_1(e^x) + o(x) - (1 + x + \frac{x^2}{2}) = 1 + x + o(x) - 1 - x - \frac{x^2}{2} = o(x)
\]
e questa espressione, da sola, non mi dà abbastanza informazioni, perché ci sono infinite funzioni che sono o-piccolo di \(x\).
Se usassi il polinomio di secondo ordine, otterrei ancora solamente \(o(x^2)\), e quindi da punto a capo.
Con un polinomio di terzo ordine,
\begin{align*}
e^x - (1 + x + \frac{x^2}{2}) &= T_3(e^x) + o(x^3) - (1 + x + \frac{x^2}{2}) \\
& = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) - 1 - x - \frac{x^2}{2} \\
& = \frac{x^3}{6} + o(x^3)
\end{align*}
ed ora HO, effettivamente, delle informazioni, perché so che la mia funzione, \(f(x) = e^x - (1 + x + \frac{x^2}{2})\), intorno all'origine si comporta come un polinomio di terzo grado, con un errore di grado superiore, che quindi possiamo trascurare.
Se approssimassi al decimo ordine, otterrei un polinomio con termini dal grado \(3\) al grado \(10\) più un errore di grado maggiore di \(10\), cioè un \(o(x^{10})\), ma comunque il termine dominante sarebbe quello di grado \(3\), che ovviamente è lo stesso del caso precedente [ricorda cosa succede quando fai il limite in \(x = 0\) di un polinomio].
Tutto chiaro?
Allora, ahimè, ho provato sulla mia pelle quanto hai scritto ora, prima che lo facessi 
Mi sono fermato all'ordine 4, risultato? Che dopo una miriade di calcoli, sono tornato ad avere una forma indeterminata $0/0$ !! Il che vuol dire, che quella approssimazione, sarebbe stata praticamente uguale se mi fossi fermato al terzo, al secondo ordine, e ovviamente a maggior ragione, al primo!
Per cui ho dovuto scegliere n = 5, e rifare i calcoli che avevo trascurato, con il risultato che il limite è riuscito!
Ora, che cosa cambia dal mettere per iscritto $o(x^4)$ (e cioè, mi voglio fermare al 4 grado, buttando via tutte le approssimazioni di ordine superiore al quarto) a non metterlo? E quindi, scegliere semplicemente n = 5, e praticamente evitare di calcolare tutto ciò che è di ordine superiore al 5? Per capire se il fatto che il professore abbia omesso questo concetto, sia una cosa comprensibile o meno.. perchè a quanto pare, anche senza usare per niente il concetto di o piccola, io sia riuscito lo stesso a calcolare il limite!
Altra domanda, si è detto che il polinomio di taylor si può applicare solo per un limite per $x -> x_0$, e quindi solamente in una funzione continua, n volte derivabile. Questo vuol dire che, se la x non tendesse a $x_0$, non potrei applicare il polinomio, ma dovrei per esempio, ricorrere ai limiti notevoli? Oppure, applicare un cambio di variabile in modo che la nuova tenda a $t_0$, per esempio?
Grazie ancora
Mi sono fermato all'ordine 4, risultato? Che dopo una miriade di calcoli, sono tornato ad avere una forma indeterminata $0/0$ !! Il che vuol dire, che quella approssimazione, sarebbe stata praticamente uguale se mi fossi fermato al terzo, al secondo ordine, e ovviamente a maggior ragione, al primo!
Per cui ho dovuto scegliere n = 5, e rifare i calcoli che avevo trascurato, con il risultato che il limite è riuscito!
Ora, che cosa cambia dal mettere per iscritto $o(x^4)$ (e cioè, mi voglio fermare al 4 grado, buttando via tutte le approssimazioni di ordine superiore al quarto) a non metterlo? E quindi, scegliere semplicemente n = 5, e praticamente evitare di calcolare tutto ciò che è di ordine superiore al 5? Per capire se il fatto che il professore abbia omesso questo concetto, sia una cosa comprensibile o meno.. perchè a quanto pare, anche senza usare per niente il concetto di o piccola, io sia riuscito lo stesso a calcolare il limite!
Altra domanda, si è detto che il polinomio di taylor si può applicare solo per un limite per $x -> x_0$, e quindi solamente in una funzione continua, n volte derivabile. Questo vuol dire che, se la x non tendesse a $x_0$, non potrei applicare il polinomio, ma dovrei per esempio, ricorrere ai limiti notevoli? Oppure, applicare un cambio di variabile in modo che la nuova tenda a $t_0$, per esempio?
Grazie ancora
"Baldur":
Allora, ahimè, ho provato sulla mia pelle quanto hai scritto ora, prima che lo facessi
Mi sono fermato all'ordine 4, risultato? Che dopo una miriade di calcoli, sono tornato ad avere una forma indeterminata $0/0$ !! Il che vuol dire, che quella approssimazione, sarebbe stata praticamente uguale se mi fossi fermato al terzo, al secondo ordine, e ovviamente a maggior ragione, al primo!
Per cui ho dovuto scegliere n = 5, e rifare i calcoli che avevo trascurato, con il risultato che il limite è riuscito!
Questo è un'utile introduzione al concetto di "vedere ad occhio quanto devi sviluppare un termine": con un po' di allenamento uno riesce a vedere prima quali termini si cancelleranno e quindi quanti termini servono per avere uno sviluppo che non si concluda in una forma indederminata.
"Baldur":
Ora, che cosa cambia dal mettere per iscritto $o(x^4)$ (e cioè, mi voglio fermare al 4 grado, buttando via tutte le approssimazioni di ordine superiore al quarto) a non metterlo? E quindi, scegliere semplicemente n = 5, e praticamente evitare di calcolare tutto ciò che è di ordine superiore al 5? Per capire se il fatto che il professore abbia omesso questo concetto, sia una cosa comprensibile o meno.. perchè a quanto pare, anche senza usare per niente il concetto di o piccola, io sia riuscito lo stesso a calcolare il limite!
Il simbolo di o-piccolo ha due vantaggi: il primo è concettuale, perché giustifica l'utilizzo di un simbolo di uguaglianza che altrimenti, a rigore, non potresti usare. È infatti sbagliato scrivere
\[
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2},
\]
mentre sono giuste sia
\[
e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}
\]
sia
\[
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2).
\]
Il secondo vantaggio è di tipo prettamente pratico: quando hai tante funzioni sommate, moltiplicate o composte tra loro e le sviluppi tutte in polinomio di Taylor, ciascuna eredita il proprio simbolo di o-piccolo. Tenere conto di ciò che stai trascurando può diventare complicato, e l'o-piccolo ti serve per avere un controllo su questo, infatti gode di proprietà quali
[*:2vo9mldt] \(o(x^2) + o(x^5) + o(x^{25}) = o(x^2)\) [l'approssimazione più alta si mangia tutte le altre][/*:m:2vo9mldt]
[*:2vo9mldt] \(x^3 o(x^9) = o(x^{12})\) [moltiplicando/dividendo aumento/riduco l'ordine di infinitesimo[/*:m:2vo9mldt]
[*:2vo9mldt] \(k o(x) = o(x)\) [assorbe le costanti][/*:m:2vo9mldt][/list:u:2vo9mldt]
ed altre.
Puoi fare un esperimento e cercare di sviluppare in \(x_0 = 0\) la funzione
\[
f(x) = \sin\left( 1 - e^{1 - \frac{x^2}{2} - \cos x} \right)
\]
"Baldur":
Altra domanda, si è detto che il polinomio di taylor si può applicare solo per un limite per $x -> x_0$, e quindi solamente in una funzione continua, n volte derivabile. Questo vuol dire che, se la x non tendesse a $x_0$, non potrei applicare il polinomio, ma dovrei per esempio, ricorrere ai limiti notevoli? Oppure, applicare un cambio di variabile in modo che la nuova tenda a $t_0$, per esempio?
Questa domanda non ha senso.
Se una funzione \(g\) è continua e derivabile \(n\) volte in un intorno del punto \(x_0\), sia esso \(-5\), \(38\) o \(e^\pi\), allora puoi approssimare la funzione con un polinomio di ordine \(n\) del tipo
\[
g(x) = \sum_{k=0}^n \frac{g^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + o(x^n).
\]
Questo non ha nulla a che vedere coi limiti.
Ho capito, Per cui taylor è applicabile a qualsiasi limite?
Tranne se \(x \to \infty\).
"Raptorista":
Tranne se \(x \to \infty\).
Ovviamente sia - che +. E quali sono gli altri casi oltre $x_0$, in cui può essere applicato?
Nel caso non tendesse a $x_0$, potrei anche tentare di effettuare un cambio di variabile, in modo che la nuova tenda a 0, o ad un numero diverso da 0, giusto?
C'è qualcosa che non è chiaro XD
In qualunque limite \(x\) tende ad \(x_0\), perché per convenzione il punto di limite si denota con \(x_0\) XDXD
Comunque, puoi cambiare variabili come ti pare e piace, pur di non fare cose strane.
In qualunque limite \(x\) tende ad \(x_0\), perché per convenzione il punto di limite si denota con \(x_0\) XDXD
Comunque, puoi cambiare variabili come ti pare e piace, pur di non fare cose strane.
Eh ma prima hai detto tranne per x che tende a $oo$!! 
lol eravamo partiti tanto bene, stiamo finendo a tarallucci e vino
lol eravamo partiti tanto bene, stiamo finendo a tarallucci e vino
Si vede proprio che fai economia XDXD
Puoi sviluppare una funzione in polinomio di Taylor nell'intorno di un punto \(x_0 \in \mathbb R\), punto.
Prima che tu me lo chieda, \(\pm \infty \notin \mathbb R\).
Puoi sviluppare una funzione in polinomio di Taylor nell'intorno di un punto \(x_0 \in \mathbb R\), punto.
Prima che tu me lo chieda, \(\pm \infty \notin \mathbb R\).
"Raptorista":
Si vede proprio che fai economia XDXD
Puoi sviluppare una funzione in polinomio di Taylor nell'intorno di un punto \(x_0 \in \mathbb R\), punto.
Prima che tu me lo chieda, \(\pm \infty \notin \mathbb R\).
Ok quindi per x che tende a $+-oo$, no.
Ti ringrazio tanto per avermi fatto capire taylor. Si spera che riuscirò a sostituire anche in altre tipologie di esercizi. Comunque tu controlla sempre questo topic LOL
Grazie del tuo tempo
Con tutta la fatica che ho fatto, spero sia chiaro!
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