Come fa a calcolare così velocemente dopo sviluppo Taylor?
Premesso che mi pare di aver capito bene gli sviluppi del polinomio di Taylor applicato ai limiti. Ho però dei problemi riguardo al calcolo del polinomio di taylor, una volta applicato per un ordine n.
Porto l'esempio di un esercizio da seconda parte di uno dei compiti di esame del corso di matematica nella mia facoltà:
il limite, sviluppato con taylor, risulta essere, per il primo addendo:
$xe^(x-2/3x^2) = x [1+(x-2/3x^2) + 1/2 (x-2/3x^2)^2 + 1/6 (x-2/3x^2)^3 + 1/24 (x-2/3x^2)^4]$
$= x [1 + x - (2)/3x^2 + (1)/2x^2 - (2)/3x^3 + (2)/9x^4 + (1)/6x^3 - (1)/3x^4 + (1)/24x^4]$
$= x + x^2 - (1)/6x^3 - (1)/2x^4 - (5)/72x^5$
Quello che mi chiedo è: come ha fatto a calcolare quelle parentesi di quarto grado, di terzo grado, in un solo passaggio? C'è un metodo veloce per caso? sono calcoli mastodontici quelli del primo rigo!! come si fa ad arrivare così in fretta a tutto il resto?
Ah, altra cosa: ma il polinomio di taylor, si può applicare solo ai limiti che tendono a 0?
Grazie a tutti
Porto l'esempio di un esercizio da seconda parte di uno dei compiti di esame del corso di matematica nella mia facoltà:
il limite, sviluppato con taylor, risulta essere, per il primo addendo:
$xe^(x-2/3x^2) = x [1+(x-2/3x^2) + 1/2 (x-2/3x^2)^2 + 1/6 (x-2/3x^2)^3 + 1/24 (x-2/3x^2)^4]$
$= x [1 + x - (2)/3x^2 + (1)/2x^2 - (2)/3x^3 + (2)/9x^4 + (1)/6x^3 - (1)/3x^4 + (1)/24x^4]$
$= x + x^2 - (1)/6x^3 - (1)/2x^4 - (5)/72x^5$
Quello che mi chiedo è: come ha fatto a calcolare quelle parentesi di quarto grado, di terzo grado, in un solo passaggio? C'è un metodo veloce per caso? sono calcoli mastodontici quelli del primo rigo!! come si fa ad arrivare così in fretta a tutto il resto?
Ah, altra cosa: ma il polinomio di taylor, si può applicare solo ai limiti che tendono a 0?
Grazie a tutti
Risposte
Un ultimo sforzo 
un limte del genere:
$lim_(x->0) (sen3x - sen5x + sen2x) / (x^7 + x^4 + x^3)$
Ora, in una situazione del genere, come faccio a sapere a quale ordine mi devo fermare? Il denominatore, in questo caso, quali informazioni mi da? Che mi devo fermare al grado 7?
Grazie
un limte del genere:
$lim_(x->0) (sen3x - sen5x + sen2x) / (x^7 + x^4 + x^3)$
Ora, in una situazione del genere, come faccio a sapere a quale ordine mi devo fermare? Il denominatore, in questo caso, quali informazioni mi da? Che mi devo fermare al grado 7?
Grazie
forse basta l'ordine $3$ ...
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{\sin3x-\sin5x+\sin2x}{x^7+x^4+x^3}&\sim\lim_{x\to 0}\frac{\sin3x-\sin5x+\sin2x}{x^3+o(x^3)}\\
&\stackrel{\bf(T)}{=}\lim_{x\to 0}\frac{ 3x-\frac{(3x)^3}{3!}+o(x^3)-5x+\frac{(5x)^3}{3!}+o(x^3)+2x-\frac{(2x)^3}{3!}+o(x^3)}{x^3+o(x^3)}\\
&=\lim_{x\to 0}\frac{ -\frac{(3x)^3}{3!} +\frac{(5x)^3}{3!} -\frac{(2x)^3}{3!}+o(x^3)}{x^3+o(x^3)}=\lim_{x\to 0}\frac{ \frac{90}{3!} x^3+o(x^3) }{x^3+o(x^3)}=15
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{\sin3x-\sin5x+\sin2x}{x^7+x^4+x^3}&\sim\lim_{x\to 0}\frac{\sin3x-\sin5x+\sin2x}{x^3+o(x^3)}\\
&\stackrel{\bf(T)}{=}\lim_{x\to 0}\frac{ 3x-\frac{(3x)^3}{3!}+o(x^3)-5x+\frac{(5x)^3}{3!}+o(x^3)+2x-\frac{(2x)^3}{3!}+o(x^3)}{x^3+o(x^3)}\\
&=\lim_{x\to 0}\frac{ -\frac{(3x)^3}{3!} +\frac{(5x)^3}{3!} -\frac{(2x)^3}{3!}+o(x^3)}{x^3+o(x^3)}=\lim_{x\to 0}\frac{ \frac{90}{3!} x^3+o(x^3) }{x^3+o(x^3)}=15
\end{align*}
"Noisemaker":
forse basta l'ordine $3$ ...
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{\sin3x-\sin5x+\sin2x}{x^7+x^4+x^3}&\sim\lim_{x\to 0}\frac{\sin3x-\sin5x+\sin2x}{x^3+o(x^3)}\\
&\stackrel{\bf(T)}{=}\lim_{x\to 0}\frac{ 3x-\frac{(3x)^3}{3!}+o(x^3)-5x+\frac{(5x)^3}{3!}+o(x^3)+2x-\frac{(2x)^3}{3!}+o(x^3)}{x^3+o(x^3)}\\
&=\lim_{x\to 0}\frac{ -\frac{(3x)^3}{3!} +\frac{(5x)^3}{3!} -\frac{(2x)^3}{3!}+o(x^3)}{x^3+o(x^3)}=\lim_{x\to 0}\frac{ \frac{90}{3!} x^3+o(x^3) }{x^3+o(x^3)}=15
\end{align*}
Beh si, perchè ho letto da una parte che bisogna regolarsi con il grado più alto del denominatore...!
Grazie, Noisemaker; grazie per aver dato sfoggio della tua capacità di svolgere un limite usando i polinomi di Taylor, magari puoi andare all'esame con Baldur e farglielo tu, no?? 
Ma dico: dopo due pagine di discorsoni, era proprio il caso che tu facessi il tuo exploit servendo la pappa pronta, invece che far mettere in pratica a Baldur quello che, a fatica, gli ho appena spiegato??
Tra l'altro, senza uno straccio di commento, spiegazione, considerazione... Facevi prima a scrivere direttamente il risultato ed evitarti tutti quei conti.
Sono sicuro che dal tuo messaggio ha imparato tanto!
Ma dico: dopo due pagine di discorsoni, era proprio il caso che tu facessi il tuo exploit servendo la pappa pronta, invece che far mettere in pratica a Baldur quello che, a fatica, gli ho appena spiegato??
Tra l'altro, senza uno straccio di commento, spiegazione, considerazione... Facevi prima a scrivere direttamente il risultato ed evitarti tutti quei conti.
Sono sicuro che dal tuo messaggio ha imparato tanto!
"Raptorista":
Grazie, Noisemaker; grazie per aver dato sfoggio della tua capacità di svolgere un limite usando i polinomi di Taylor, magari puoi andare all'esame con Baldur e farglielo tu, no??
Ma dico: dopo due pagine di discorsoni, era proprio il caso che tu facessi il tuo exploit servendo la pappa pronta, invece che far mettere in pratica a Baldur quello che, a fatica, gli ho appena spiegato??
Tra l'altro, senza uno straccio di commento, spiegazione, considerazione... Facevi prima a scrivere direttamente il risultato ed evitarti tutti quei conti.
Sono sicuro che dal tuo messaggio ha imparato tanto!
ihih, suvvia, non mi vorrai dire che in quel caso dovrei svolgere un binomio di settimo grado?
Penso che morirei prima.
Certamente no, bastava chiederti quale fosse l'unico termine importante al denominatore...
Tra l'altro, non è mica vero che lo sviluppo che fai al numeratore dipende da quello che c'è al denominatore: dove hai la somma di funzioni trascendenti devi sviluppare fino a che ti rimane qualcosa che non sia solo o-piccoli, indipendentemente da ciò che hai sopra: se al numeratore avessi avuto \(\sin x\) al posto di \(\sin (2x)\), sarebbe bastato sviluppare al primo ordine.
Tra l'altro, non è mica vero che lo sviluppo che fai al numeratore dipende da quello che c'è al denominatore: dove hai la somma di funzioni trascendenti devi sviluppare fino a che ti rimane qualcosa che non sia solo o-piccoli, indipendentemente da ciò che hai sopra: se al numeratore avessi avuto \(\sin x\) al posto di \(\sin (2x)\), sarebbe bastato sviluppare al primo ordine.
"Raptorista":
Certamente no, bastava chiederti quale fosse l'unico termine importante al denominatore...
Hai detto niente
"Raptorista":
Tra l'altro, non è mica vero che lo sviluppo che fai al numeratore dipende da quello che c'è al denominatore: dove hai la somma di funzioni trascendenti devi sviluppare fino a che ti rimane qualcosa che non sia solo o-piccoli, indipendentemente da ciò che hai sopra: se al numeratore avessi avuto \(\sin x\) al posto di \(\sin (2x)\), sarebbe bastato sviluppare al primo ordine.
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