Caratterie serie e segno

[mazzy89-votailprof]

Data la seguente serie:

$sum_{n=1}^oo cos(npi)sin(n/(n^2+1))$

studiarne il carattere.

Nello studio di questa serie ho già dei problemi alla partenza.Non riesco a determinare il segno dei termini. Ma se non sbaglio la serie è a termine di segno qualunque quindi studiamo l'assouluta convergenza

$sum_{n=1}^oo |cos(npi)sin(n/(n^2+1))|$

[salvozungri]

Io per quanto mi riguarda inizierei col dire che:

$cos(n \pi)= (-1)^n,\quad n=1,2,...$

Poi affermerei che $sin(n/(n^2+1))>0, AAn \in NN\setminus{0}$ (perchè?)
A questo punto la serie si riduce a:
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n sin(n/(n^2+1))$. La successione $(-1)^n sin(n/(n^2+1))$ è a segni alterni, quindi potremmo pensare di utilizzare il criterio di Leibniz

[mazzy89-votailprof]

$cos(n \pi)= (-1)^n,\quad n=1,2,...$

Questo è un passaggio molto figo.Ma scusami potrebbe essere stupida come domanda ma quando si affronta lo studio di una serie come questa i valori fanno presi in radianti o gradi?mi spiego meglio: per $n=1$ $cos(pi)$ è uguale ad $1$ considerando in radianti ma considerando in gradi è uguale ad $0,998497149$.valori leggermente diversi

[salvozungri]

$cos(\pi)= -1$

I valori devono essere presi in radianti. Nel caso in cui l'argomento è in gradi, di solito, lo esplicitano nella traccia, oppure appare il simbolo del grado $°$

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":$cos(\pi)= -1$

I valori devono essere presi in radianti. Nel caso in cui l'argomento è in gradi, di solito, lo esplicitano nella traccia, oppure appare il simbolo del grado $°$

Ecco infatti ora ci siamo.Mi sono capitate altre serie così.Ora è chiaro.Come sempre ti ringrazio tanto

[Camillo]

Una domandina a Mazzy89 : hai compreso perfettamente perchè Mathematico dice giustamente che
$sin (n/(n^2+1)) >0, AA n in NN setminus (0) $ ?

[mazzy89-votailprof]

"Camillo":Una domandina a Mazzy89 : hai compreso perfettamente perchè Mathematico dice giustamente che
$sin (n/(n^2+1)) >0, AA n in NN setminus (0) $ ?

mmm...non mi era soffermato a pensarci più di tanto e ora pensandoci non saprei dire il perchè.Non saprei

[salvozungri]

Avevo chiesto pure perchè!:evil: (scusami è da quando mi sono iscritto al forum che volevo mettere questa emoticon!):lol:
Consiglio, ragione sull'argomento del seno. Trova il $"sup"_{n\in NN\setminus{0}}(n/(n^2+1))$ e l'$"inf""_{n\in NN\setminus{0}}(n/(n^2+1))$ notando che ${n/(n^2+1)}_{n\in NN\setminus{0}}$ è una successione decrescente (dovrebbe essere immediato).

Chiedo agli altri del forum se esiste un modo più veloce per risolvere questa serie, forse il mio approccio richiede molti passaggi ed è ostico per chi è alle prime armi, ringrazio coloro che se ne interesseranno

[Camillo]

Per $n=1 $ la successione $n/(n^2+1) $ vale $1/2$ radianti( naturalmente) e quindi $sin(1/2) >0$ in quanto $1/2 $ radianti è molto all'incirca $28 $ gradi e quindi il suo seno è a spanne poco meno di $0.5 $, circa $0.479$ .
Facciamo ora crescere $ n $ fino all' $oo $.
La successione $n/(n^2+1) $ è decrescente ed ha per limite $0 $ .
L'argomento quindi del seno varia da $1/2 $ radiante fino a $0 $ radianti ; corrispondentemente il seno varierà da
circa $0.479$ fino a $0 $ ( senza mai raggiungerlo ) e quindi avrà sempre segno positivo( siamo nel primo quadrante !).
OK ?

E' molto importante nel caso di serie stabilire subito se si tratta di serie
a termini positivi
a termini negativi ( raccogli un segno meno su tutti e ti trovi nel punto precedente
a termini di segno alternato
a termini di segno qualunque

perchè le tecniche per " trattarli " cioè per studiarne la convergenza sono diverse.

[mazzy89-votailprof]

"Camillo":Per $n=1 $ la successione $n/(n^2+1) $ vale $1/2$ radianti( naturalmente) e quindi $sin(1/2) >0$ in quanto $1/2 $ radianti è molto all'incirca $28 $ gradi e quindi il suo seno è a spanne poco meno di $0.5 $, circa $0.479$ .
Facciamo ora crescere $ n $ fino all' $oo $.
La successione $n/(n^2+1) $ è decrescente ed ha per limite $0 $ .
L'argomento quindi del seno varia da $1/2 $ radiante fino a $0 $ radianti ; corrispondentemente il seno varierà da
circa $0.479$ fino a $0 $ ( senza mai raggiungerlo ) e quindi avrà sempre segno positivo( siamo nel primo quadrante !).
OK ?

E' molto importante nel caso di serie stabilire subito se si tratta di serie
a termini positivi
a termini negativi ( raccogli un segno meno su tutti e ti trovi nel punto precedente
a termini di segno alternato
a termini di segno qualunque

perchè le tecniche per " trattarli " cioè per studiarne la convergenza sono diverse.

Be si è importante riconoscere subito che tipo di serie è.come diceva mathematico il ragionamento è abbastanza ostico ma non "non accettabile" per uno studente come me iscritto in ingegneria quindi per me va benissimo perchè fa ragionare molto su vari argomenti di analisi 1 ed è ciò che ci vuole. Ti ringrazio tanto Camillo per le spiegazioni. Stavo iniziando io a fare i vari ragionamenti mi hai preceduto per un secondo

[gugo82]

Se il ragionamento sul segno di $sin (n/(n^2+1))$ non è "accettabile per uno studente di ingegneria", come farà mai il futuro ingegnere a costruire un ponte che non crolli, un'antenna che irradi decentemente, un impianto di distillazione funzionante, un termovalorizzatore non inquinante, un aereo che voli, un motore che giri...?

[Camillo]

@ Mathematico mi sembra che il tuo approccio sia il migliore : il criterio di Leibniz permette poi di arrivare rapidamente alla conclusione che la serie converge .
Diversa sarebbe la musica se si volesse studiare la convergenza assoluta della serie -direi che diverge in tal caso...

[mazzy89-votailprof]

"Gugo82":Se il ragionamento sul segno di $sin (n/(n^2+1))$ non è "accettabile per uno studente di ingegneria", come farà mai il futuro ingegnere a costruire un ponte che non crolli, un'antenna che irradi decentemente, un impianto di distillazione funzionante, un termovalorizzatore non inquinante, un aereo che voli, un motore che giri...?

Gugo82 vorrei fare una precisazione.Nella nostra lingua ovvero l'italiano due negazioni affermarno.Quindi dire non "non accettabile" vuole dire accettabile.Quindi io accetto pienamente al 100% il ragionamento portato avanti da mathematico. Anzi ne sono pienamente contento del ragionamento

[gugo82]

"Mathematico":Consiglio, ragione sull'argomento del seno. Trova il $"sup"_{n\in NN\setminus{0}}(n/(n^2+1))$ e l'$"inf""_{n\in NN\setminus{0}}(n/(n^2+1))$ notando che ${n/(n^2+1)}_{n\in NN\setminus{0}}$ è una successione decrescente (dovrebbe essere immediato).

Chiedo agli altri del forum se esiste un modo più veloce per risolvere questa serie, forse il mio approccio richiede molti passaggi ed è ostico per chi è alle prime armi, ringrazio coloro che se ne interesseranno

Direi che già determinare gli estremi è "troppo" laborioso...

Visto che $n/(n^2+1) >=0$ per ogni $n \in NN$ e che $n/(n^2+1) \to 0$ si ha definitivamente $n/(n^2+1)= 0$.


@ mazzy89: il primo "non" non l'avevo notato, sorry; tuttavia la mia obiezione rimane valida.

[salvozungri]

"Gugo82":
Direi che già determinare gli estremi è "troppo" laborioso...

Visto che $n/(n^2+1) >=0$ per ogni $n \in NN$ e che $n/(n^2+1) \to 0$ si ha definitivamente $n/(n^2+1)= 0$.

Alle volte uccido mosche con bombe H, è che mi è venuto naturale fare in quel modo

@Camillo, grazie

[mazzy89-votailprof]

"Gugo82":[quote="Mathematico"]Consiglio, ragione sull'argomento del seno. Trova il $"sup"_{n\in NN\setminus{0}}(n/(n^2+1))$ e l'$"inf""_{n\in NN\setminus{0}}(n/(n^2+1))$ notando che ${n/(n^2+1)}_{n\in NN\setminus{0}}$ è una successione decrescente (dovrebbe essere immediato).

Chiedo agli altri del forum se esiste un modo più veloce per risolvere questa serie, forse il mio approccio richiede molti passaggi ed è ostico per chi è alle prime armi, ringrazio coloro che se ne interesseranno

Direi che già determinare gli estremi è "troppo" laborioso...

Visto che $n/(n^2+1) >=0$ per ogni $n \in NN$ e che $n/(n^2+1) \to 0$ si ha definitivamente $n/(n^2+1)= 0$.


@ mazzy89: il primo "non" non l'avevo notato, sorry; tuttavia la mia obiezione rimane valida.[/quote]

Non ti preoccupare Gugo82, nessun problema.Le tue obiezioni a mio parere sono valide.E' più che giusto che un ingegniere sviluppi un certo ragionamento tramite lo studio delle analisi anche se talvolta questi ragionamenti non sono così "chiari" e quindi si deve andare oltre ed avere un bagaglio culturale non indifferente.

[gugo82]

@ Mathematico: la tua non era una bomba H... Semplicemente richiedeva almeno un paio di considerazioni non banali in più.

[mazzy89-votailprof]

Allora posso muovere considerazioni simili per la serie:

$sum_{n=1}^oo (cosnpi)arctan(n)/(1+n^3)x^(2n)$ con $x in RR$

La serie diventa:

$sum_{n=1}^oo (-1)^narctan(n)/(1+n^3)x^(2n)$

La serie è a termini di segno alternato quindi posso applicare il criterio di Leibniz. Dato che $arctan(n)/(1+n^3)$ è non crescente è infinitesima per il criterio suddetto la serie converge.
Ora quel $x^(2n)$ mi spaventa.Se volessi seguire la teoria di analisi 2 mi porterebbe a trovare il raggio di convergenza e di lì fare un'altro discorso.Esssendo invece analisi 1 come lo posso trattare quel'$x^(2n)$?

[gugo82]

Basta trattare $x$ come parametro... Per quali valori di $x$ è verificata la condizione necessaria alla convergenza della serie?

[mazzy89-votailprof]

"Gugo82":Basta trattare $x$ come parametro... Per quali valori di $x$ è verificata la condizione necessaria alla convergenza della serie?

Cioò devo trovare quel valore di $x$ per cui è soddisfatta la condizione $lim_(n to oo) a_n=0$?

[gugo82]

"mazzy89":[quote="Gugo82"]Basta trattare $x$ come parametro... Per quali valori di $x$ è verificata la condizione necessaria alla convergenza della serie?

Cioè devo trovare quei valori di $x$ per cui è soddisfatta la condizione $lim_(n to oo) a_n=0$?[/quote]
Beh, questo sarebbe quanto meno un buon inizio.