Caratterie serie e segno
Data la seguente serie:
$sum_{n=1}^oo cos(npi)sin(n/(n^2+1))$
studiarne il carattere.
Nello studio di questa serie ho già dei problemi alla partenza.Non riesco a determinare il segno dei termini. Ma se non sbaglio la serie è a termine di segno qualunque quindi studiamo l'assouluta convergenza
$sum_{n=1}^oo |cos(npi)sin(n/(n^2+1))|$
$sum_{n=1}^oo cos(npi)sin(n/(n^2+1))$
studiarne il carattere.
Nello studio di questa serie ho già dei problemi alla partenza.Non riesco a determinare il segno dei termini. Ma se non sbaglio la serie è a termine di segno qualunque quindi studiamo l'assouluta convergenza
$sum_{n=1}^oo |cos(npi)sin(n/(n^2+1))|$
Risposte
"Gugo82":
Due osservazioni: 1) $n^(sin e)$ non è infinitesima e 2) hai detto che la successione è infinitesima, ma questo lo sapevamo già.
Per determinare l'ordine d'infinitesimo della successione, il consiglio migliore che posso darti è: metti in evidenza l'infinito d'ordine maggiore al denominatore e applica un po' le proprietà delle potenze.
Allora diventa:
$lim_(n to oo) n^sine/(n^4-logn)=n^sine/n^4*1/(1-logn/n^4)=n^sine/n^4*1/(1-logn/n^4)=0$
up
Siamo sempre lì... Qual è l'ordine d'infinitesimo?
Da moderatore ti ricordo di evitare "up" ravvicinati a norma di regolamento (cfr. 3.4).
Da moderatore ti ricordo di evitare "up" ravvicinati a norma di regolamento (cfr. 3.4).
"Gugo82":
Siamo sempre lì... Qual è l'ordine d'infinitesimo?
Da moderatore ti ricordo di evitare "up" ravvicinati a norma di regolamento (cfr. 3.4).
Chiedo umilmente scusa del mio "up". Non conoscevo il termine prima di poter effettuare un "up". $n^sine$ è infinitesima di ordine $4$ rispetto a $n^4$
Ma no... Fai attenzione.
Hai $n^(sin e)/(n^4+logn)=1/n^(4-sin e)*1/(1+(logn)/n^4)$; il fattore $1/(1+(logn)/n^4)$ converge ad $1$ quando $n\to +oo$, quindi non dà contributo all'infinitesimo; ne viene che il fattore che "porta" la successione a zero è $1/n^(4-sin e)$, il quale è un infinitesimo esattamente d'ordine $4-sin e$.
Questo chiude la parentesi circa l'ordine d'infinitesimo; ora vediamo perchè aver stabilito tale fatto è importante ai fini dell'esercizio.
Visto che $-1<= sin e<=1$, si ha $3<= 4-sin e<= 5$, cosicché la successione $n^(sin e)/(n^4+logn)$ è un infinitesimo d'ordine superiore a $3$; ciò significa che (definitivamente) si verifica una disuguaglianza del tipo $n^(sin e)/(n^4+logn) <= C/n^3$ (con $C>0$) e, visto che la serie armonica generalizzata $\sum 1/n^3$ converge, anche la serie $\sum n^(sin e)/(n^4+logn)$ converge (poiché maggiorata dalla serie $\sum C/n^3$, convergente per quanto appena ricordato).
Hai $n^(sin e)/(n^4+logn)=1/n^(4-sin e)*1/(1+(logn)/n^4)$; il fattore $1/(1+(logn)/n^4)$ converge ad $1$ quando $n\to +oo$, quindi non dà contributo all'infinitesimo; ne viene che il fattore che "porta" la successione a zero è $1/n^(4-sin e)$, il quale è un infinitesimo esattamente d'ordine $4-sin e$.
Questo chiude la parentesi circa l'ordine d'infinitesimo; ora vediamo perchè aver stabilito tale fatto è importante ai fini dell'esercizio.
Visto che $-1<= sin e<=1$, si ha $3<= 4-sin e<= 5$, cosicché la successione $n^(sin e)/(n^4+logn)$ è un infinitesimo d'ordine superiore a $3$; ciò significa che (definitivamente) si verifica una disuguaglianza del tipo $n^(sin e)/(n^4+logn) <= C/n^3$ (con $C>0$) e, visto che la serie armonica generalizzata $\sum 1/n^3$ converge, anche la serie $\sum n^(sin e)/(n^4+logn)$ converge (poiché maggiorata dalla serie $\sum C/n^3$, convergente per quanto appena ricordato).
"Gugo82":
Ma no... Fai attenzione.
Hai $n^(sin e)/(n^4+logn)=1/n^(4-sin e)*1/(1+(logn)/n^4)$; il fattore $1/(1+(logn)/n^4)$ converge ad $1$ quando $n\to +oo$, quindi non dà contributo all'infinitesimo; ne viene che il fattore che "porta" la successione a zero è $1/n^(4-sin e)$, il quale è un infinitesimo esattamente d'ordine $4-sin e$.
Questo chiude la parentesi circa l'ordine d'infinitesimo; ora vediamo perchè aver stabilito tale fatto è importante ai fini dell'esercizio.
Visto che $-1<= sin e<=1$, si ha $3<= 4-sin e<= 5$, cosicché la successione $n^(sin e)/(n^4+logn)$ è un infinitesimo d'ordine superiore a $3$; ciò significa che (definitivamente) si verifica una disuguaglianza del tipo $n^(sin e)/(n^4+logn) <= C/n^3$ (con $C>0$) e, visto che la serie armonica generalizzata $\sum 1/n^3$ converge, anche la serie $\sum n^(sin e)/(n^4+logn)$ converge (poiché maggiorata dalla serie $\sum C/n^3$, convergente per quanto appena ricordato).
Il tuo discorso mi è chiaro ma la successione non è: $n^sine/(n^4+logn)$ bensì $n^sine/(n^4-logn)$.cambia mica qualcosa?
Sbagliato segno; ma non fa nulla, come puoi facilmente verificare da te.
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