Caratterie serie e segno

[mazzy89-votailprof]

Data la seguente serie:

$sum_{n=1}^oo cos(npi)sin(n/(n^2+1))$

studiarne il carattere.

Nello studio di questa serie ho già dei problemi alla partenza.Non riesco a determinare il segno dei termini. Ma se non sbaglio la serie è a termine di segno qualunque quindi studiamo l'assouluta convergenza

$sum_{n=1}^oo |cos(npi)sin(n/(n^2+1))|$

[mazzy89-votailprof]

"Gugo82":[quote="mazzy89"][quote="Gugo82"]Basta trattare $x$ come parametro... Per quali valori di $x$ è verificata la condizione necessaria alla convergenza della serie?

Cioè devo trovare quei valori di $x$ per cui è soddisfatta la condizione $lim_(n to oo) a_n=0$?[/quote]
Beh, questo sarebbe quanto meno un buon inizio. [/quote]
i valori per cui è soddisfatta la condizione sono tutti i valori $x in RR$

Sbaglio o la serie ha un struttrua del genere: $sum_{n=1}^oo (-1)^na_nx^(2n)$?

[gugo82]

Occhio che sbagli per quanto riguarda la condizione necessaria...
Quando è che una successione esponenziale del tipo $x^(2n)$ è infinitesima? E quando è limitata? E quando divergente in valore assoluto?
Insomma devi calcolare il $lim_n (arctgn)/(n^3+1)|x|^(2n)$; tenendo presente che il fattore $(arctgn)/(n^3+1)$ è infinitesimo, affinché tale limite sia $0$ basta che la successione $|x|^(2n)$ sia limitata, quindi...

Per quanto riguarda il resto, ok!
E sì, sarebbe tutto più facile se potessi usare la teoria delle serie di potenze.

[mazzy89-votailprof]

"Gugo82":Occhio che sbagli per quanto riguarda la condizione necessaria...
Quando è che una successione esponenziale del tipo $x^(2n)$ è infinitesima? E quando è limitata? E quando divergente in valore assoluto?
Insomma devi calcolare il $lim_n (arctgn)/(n^3+1)|x|^(2n)$; tenendo presente che il fattore $(arctgn)/(n^3+1)$ è infinitesimo, affinché tale limite sia $0$ basta che la successione $|x|^(2n)$ sia limitata, quindi...

Per quanto riguarda il resto, ok!
E sì, sarebbe tutto più facile se potessi usare la teoria delle serie di potenze.

La successione $|x|^(2n)$ risulta limitata quando $0

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[Camillo]

Ma anche quando $-1

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[mazzy89-votailprof]

"Camillo":Ma anche quando $-1
Ah si perchè è in valore assoluto.Quindi quando $-1<=x<=1$ viene rispettata la condizione necessaria di convergenza e la serie data converge.

[gugo82]

"mazzy89":[...] viene rispettata la condizione necessaria di convergenza e la serie data converge.

Mica è sempre vero che ogni serie che verifica la condizione necessaria risulti effettivamente convergente... Prendi $\sum 1/n$, ad esempio.

Ora sappiamo che la serie data verifica la condizione necessaria per $|x|<=1$: bene.

Come proseguiamo?
La serie sembrerebbe a segno alterno: è davvero così? Ed in tal caso, è possibile applicare il criterio di Leibniz?

[mazzy89-votailprof]

"Gugo82":[quote="mazzy89"][...] viene rispettata la condizione necessaria di convergenza e la serie data converge.

Mica è sempre vero che ogni serie che verifica la condizione necessaria risulti effettivamente convergente... Prendi $\sum 1/n$, ad esempio.

Ora sappiamo che la serie data verifica la condizione necessaria per $|x|<=1$: bene.

Come proseguiamo?
La serie sembrerebbe a segno alterno: è davvero così? Ed in tal caso, è possibile applicare il criterio di Leibniz?[/quote]
Be appunto il criterio da solamente una condizione necessaria e non sufficiente. La successione è a segno alterno e possiamo applicare il criterio di Leibniz dato che $a_n$ è infinitesima e non crescente

[gugo82]

Esatto!

Però potresti provare a verificare se, per caso, la convergenza è addirittura assoluta per qualche valore di $x$; prova col criterio del rapporto, per esempio.

[mazzy89-votailprof]

"Gugo82":Esatto!

Però potresti provare a verificare se, per caso, la convergenza è addirittura assoluta per qualche valore di $x$; prova col criterio del rapporto, per esempio.

Esattamente potresti rinfrescarmi quando la serie converge assolutamente perchè sono uno studente di analisi 1 che ha seguito il corso di analisi 2 poco e non ho affrontato in maniera dettagliata la parte della serie di potenze che si affronta in analisi 2.

[gugo82]

Una serie numerica $\sum a_n$ converge assolutamente se e solo se converge la serie a termini non negativi $\sum |a_n|$ (click)... Analisi 1, se non sbaglio.

[mazzy89-votailprof]

"Gugo82":Una serie numerica $\sum a_n$ converge assolutamente se e solo se converge la serie a termini non negativi $\sum |a_n|$ (click)... Analisi 1, se non sbaglio.

Scusami Gugo82 ma è la stanchezza che mi fa parlare.Chissà che avevo capito.E' ovvio che l'assoluta convergenza l'ho studiata in analisi 1.

[mazzy89-votailprof]

"mazzy89":[quote="Gugo82"]Una serie numerica $\sum a_n$ converge assolutamente se e solo se converge la serie a termini non negativi $\sum |a_n|$ (click)... Analisi 1, se non sbaglio.

Scusami Gugo82 ma è la stanchezza che mi fa parlare.Chissà che avevo capito.E' ovvio che l'assoluta convergenza l'ho studiata in analisi 1.[/quote]

Applicando il criterio del rapporto alla serie:

$|a_n|=|arctann/(1+n^3)*x^(2n)|$

si ha:$lim_(n to oo) |a_(n+1)/a_n|=lim_(n to oo) |(arctan(n+1)/(1+(n+1)^3)*x^(2(n+1)))/(arctann/(1+n^3)*x^(2n))|=x^2$

Allora la serie converge assolutamente per $x^2<1$ quindi per $-1

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[gugo82]

Esattamente.

E per $x=pm 1$ che succede, invece?
C'è convergenza assoluta, oltre che convergenza semplice?


P.S.: Ovviamente quello che ti chiedo esula dalla traccia dell'esercizio; però credo sia sempre utile fare qualche esercizio in più, no?

[mazzy89-votailprof]

"Gugo82":Esattamente.

E per $x=pm 1$ che succede, invece?
C'è convergenza assoluta, oltre che convergenza semplice?


P.S.: Ovviamente quello che ti chiedo esula dalla traccia dell'esercizio; però credo sia sempre utile fare qualche esercizio in più, no?

per $x=1$ la serie converge assolutamente dato che: $|arctann/(1+n^3)|<=1/n^3$. La serie $sum_{n=1}^oo 1/n^3$ è convergente e quindi essendo una maggiornante della serie data quest'ultima risulta convergente.

per $x=-1$ otteniamo la serie $sum_{n=1}^oo (-1)^(3n) arctann/(1+n^3)$ e se non sbaglio è una serie a segni alternati che per il criterio di Leibniz risulta convergente

[gugo82]

"mazzy89":per $x=-1$ otteniamo la serie $sum_{n=1}^oo (-1)^(3n) arctann/(1+n^3)$ e se non sbaglio è una serie a segni alternati che per il criterio di Leibniz risulta convergente

Occhio.

Guarda che $x^(2n)=(x^2)^n$, quindi se sostituisci $x=1$ o $x=-1$ non cambia nulla; visto che c'è convergenza assoluta per $x=1$, che succede per $x=-1$?

[mazzy89-votailprof]

"Gugo82":[quote="mazzy89"]per $x=-1$ otteniamo la serie $sum_{n=1}^oo (-1)^(3n) arctann/(1+n^3)$ e se non sbaglio è una serie a segni alternati che per il criterio di Leibniz risulta convergente

Occhio.

Guarda che $x^(2n)=(x^2)^n$, quindi se sostituisci $x=1$ o $x=-1$ non cambia nulla; visto che c'è convergenza assoluta per $x=1$, che succede per $x=-1$?[/quote]

Certo certo è al quadrato quindi non cambia nulla.piccola svista. dato che c'è convergenza assoluta per $x=1$ la situazione è identica anche per $x=-1$

[mazzy89-votailprof]

Data invece la seguente serie:

$sum_{n=1}^oo n^sine/(n^4-logn)*x^n$ con $x>=0$

La serie data è a termini positivi. Essa soddisfa la condizione necessaria di convergenza per $0<=x<1$. Questo perchè affinche il $lim_(n to oo) n^sine/(n^4-logn)*x^n=0$, $x^n$ deve essere limitata.

Applicando il criterio del rapporto alla serie data:

$lim_(n to oo) ((n+1)^sine/((n+1)^4-log(n+1))*x^(n+1))/(n^sine/(n^4-logn)*x^n)=x$ Per il criterio del rapporto la serie risulta convergente per $x<1$ ma siccome $x>=0$ allora la serie converge per valori compresi tra $0<=x<1$. Ovviamente non occore studiarne l'assoluta convergenza dato che la serie è a termini positivi. Con questo ho finito oppure ho dimenticato qualcosa?

Occore studiare la serie nel caso $x=1$?

[gugo82]

Hai dimenticato di dire che la condizione necessaria è verificata anche per $x=1$ (provare per credere!).

E sì, dovresti anche vedere cosa succede per $x=1$, visto che è soddisfatta la condizione necessaria.
Per fare ciò, che ne diresti di controllare l'ordine d'infinitesimo della successione $n^(sin e)/(n^4-logn)$?

[mazzy89-votailprof]

"Gugo82":Hai dimenticato di dire che la condizione necessaria è verificata anche per $x=1$ (provare per credere!).

E sì, dovresti anche vedere cosa succede per $x=1$, visto che è soddisfatta la condizione necessaria.
Per fare ciò, che ne diresti di controllare l'ordine d'infinitesimo della successione $n^(sin e)/(n^4-logn)$?

$n^sine$ tende meno velocemente a $+oo$ rispetto a $n^4$ ovvero $n^sine$ è infinitesima di ordine superiore rispetto a $n^4$ quindi il limite $lim_(n to oo) n^sine/(n^4-logn)$ risulta uguale a $0$

[gugo82]

Due osservazioni: 1) $n^(sin e)$ non è infinitesima e 2) hai detto che la successione è infinitesima, ma questo lo sapevamo già.

Per determinare l'ordine d'infinitesimo della successione, il consiglio migliore che posso darti è: metti in evidenza l'infinito d'ordine maggiore al denominatore e applica un po' le proprietà delle potenze.