Calcolo di un integrale curvilineo
Testo:
Data la forma differenziale complessa $f(z) = 2z^4$, calcolarne l'integrale curvilineo sul semicerchio di centro $0$, punto iniziale $i$ e terminale $-i$.
Mia risoluzione:
Trattandosi di un semicerchio, pongo:
$g(t) = cos(t)+i*sen(t)$ con $-pi/2<=t<=pi/2$.
Ne calcolo la derivata:
$g'(t) = -sen(t)+i*cos(t)$
Ed infine risolvo l'integrale:
$2*int_(pi/2)^(-pi/2)g^4(t)*g'(t)dt=-4/5i$
Il procedimento è corretto?
Data la forma differenziale complessa $f(z) = 2z^4$, calcolarne l'integrale curvilineo sul semicerchio di centro $0$, punto iniziale $i$ e terminale $-i$.
Mia risoluzione:
Trattandosi di un semicerchio, pongo:
$g(t) = cos(t)+i*sen(t)$ con $-pi/2<=t<=pi/2$.
Ne calcolo la derivata:
$g'(t) = -sen(t)+i*cos(t)$
Ed infine risolvo l'integrale:
$2*int_(pi/2)^(-pi/2)g^4(t)*g'(t)dt=-4/5i$
Il procedimento è corretto?
Risposte
Poichè la funzione è analitica, non è necessario specificare quale dei due archi si considera. In ogni modo, conviene la seguente parametrizzazione:
$z=e^(it) rarr z^4=e^(4it)$
$z=e^(it) rarr dz=ie^(it)dt$
con $-pi/2<=t<=pi/2$. Quindi:
$-int_(-pi/2)^(pi/2)2e^(4it)ie^(it)dt=-2iint_(-pi/2)^(pi/2)e^(5it)dt=-2i[e^(5it)/(5i)]_(-pi/2)^(pi/2)=-2/5(e^(5/2pii)-e^(-5/2pii))=-4/5i$
$z=e^(it) rarr z^4=e^(4it)$
$z=e^(it) rarr dz=ie^(it)dt$
con $-pi/2<=t<=pi/2$. Quindi:
$-int_(-pi/2)^(pi/2)2e^(4it)ie^(it)dt=-2iint_(-pi/2)^(pi/2)e^(5it)dt=-2i[e^(5it)/(5i)]_(-pi/2)^(pi/2)=-2/5(e^(5/2pii)-e^(-5/2pii))=-4/5i$
Ok, grazie!
Invece, per calcolare l'integrale curvilineo di $f(z) = 2/z^3$, con g che va da $i$ a $2$, ho provato ad applicare il teorema dei residui.
Ho visto che ha $0$ come polo del terzo ordine. Ne calcolo il residuo: $lim_(z -> 0) d^2/dz^2[(z-0)^3*2/z^3] = 0$
E, per il teorema dei residui: $int_(g)^()f(z)dz = 2pii*sum res = 0$
Invece, col metodo precedente, ottengo come risultato: $1/10+3/40i$.
Non riesco a capire perché non posso applicare il teorema dei residui.
Invece, per calcolare l'integrale curvilineo di $f(z) = 2/z^3$, con g che va da $i$ a $2$, ho provato ad applicare il teorema dei residui.
Ho visto che ha $0$ come polo del terzo ordine. Ne calcolo il residuo: $lim_(z -> 0) d^2/dz^2[(z-0)^3*2/z^3] = 0$
E, per il teorema dei residui: $int_(g)^()f(z)dz = 2pii*sum res = 0$
Invece, col metodo precedente, ottengo come risultato: $1/10+3/40i$.
Non riesco a capire perché non posso applicare il teorema dei residui.
Che cosa intendi quando scrivi "con g che va da $i$ a $2$"?
Nel testo c'è scritto: $g$ è il segmento di punto iniziale $i$ e punto terminale $2$.
Il teorema dei residui vale per una curva chiusa. Questo non significa che non possa essere utilizzato anche nel caso di una curva aperta. Infatti, "chiudendo" la curva con un tratto lungo il quale il calcolo dell'integrale curvilineo è più semplice, a volte è possibile semplificare i conti. In questo caso avresti potuto calcolare l'integrale lungo un arco di circonferenza centrato nell'origine che va da $(2,0)$ a $(0,2)$, quindi lungo il segmento che giace sull'asse $y$ che va da $(0,2)$ a $(0,1)$. Probabilmente, nonostante i due integrali, i conti si sarebbero semplificati.
Tutto chiaro! Grazie!
Mi sono inceppato in questo problema: calcolare l'integrale di linea sulla semicirconferenza che va da $-2$ a $2$ (centro nell'origine) della forma differenziale $f(z)=z/(1+z^2)^2$.
Per prima cosa faccio la parametrizzazione:
$z=e^(it)$ con $0<=t<=pi$
$dz=ie^(it)dt$
Poi sostituisco nell'integrale:
$int_(0)^(pi)e^(it)/(1+e^(2it))^2*ie^(it)dt$
Infine risolvo:
$int_(0)^(pi)ie^(2it)/(1+e^(2it))^2*dt = 1/2int_(0)^(pi)2ie^(2it)/(1+e^(2it))^2*dt = 1/2int_(0)^(pi)(1+e^(2it))^-2*d(2ie^(2it)) = 1/2(-1/(1+e^(2ipi)) -(-1/(1+e^(2i0))))$$ = 1/2(-1/2+1/2) = 0$
Possibile?
Per prima cosa faccio la parametrizzazione:
$z=e^(it)$ con $0<=t<=pi$
$dz=ie^(it)dt$
Poi sostituisco nell'integrale:
$int_(0)^(pi)e^(it)/(1+e^(2it))^2*ie^(it)dt$
Infine risolvo:
$int_(0)^(pi)ie^(2it)/(1+e^(2it))^2*dt = 1/2int_(0)^(pi)2ie^(2it)/(1+e^(2it))^2*dt = 1/2int_(0)^(pi)(1+e^(2it))^-2*d(2ie^(2it)) = 1/2(-1/(1+e^(2ipi)) -(-1/(1+e^(2i0))))$$ = 1/2(-1/2+1/2) = 0$
Possibile?
$z=2e^(it)$ con $0<=t<=pi$
In ogni modo, se chiudi con il segmento giacente sull'asse $x$ che va da $(-2,0)$ a $(+2,0)$, quest'ultimo integrale sarebbe nullo perchè la funzione è dispari e l'intervallo simmetrico rispetto all'origine. A questo punto potresti utilizzare il teorema dei residui, almeno come verifica. Se il residuo in $+i$ fosse nullo, allora il tuo integrale sarebbe effettivamente nullo.
In ogni modo, se chiudi con il segmento giacente sull'asse $x$ che va da $(-2,0)$ a $(+2,0)$, quest'ultimo integrale sarebbe nullo perchè la funzione è dispari e l'intervallo simmetrico rispetto all'origine. A questo punto potresti utilizzare il teorema dei residui, almeno come verifica. Se il residuo in $+i$ fosse nullo, allora il tuo integrale sarebbe effettivamente nullo.
Quindi il mio procedimento è corretto (a parte che, nella parametrizzazione, non ho messo il raggio)?
Con il teorema dei residui ho provato: trovo come poli $i$ e $-i$, ma, nel calcolo dei residui, dovrei scomporre la $f(z)$ e non ci riesco. Adesso ci riprovo.
Con il teorema dei residui ho provato: trovo come poli $i$ e $-i$, ma, nel calcolo dei residui, dovrei scomporre la $f(z)$ e non ci riesco. Adesso ci riprovo.
Credimi, a meno che non venga esplicitamente richiesto il calcolo "forza bruta", la risoluzione è notevolmente più elegante e più semplice se applichi il teorema dei residui.
$f(z)=z/(1+z^2)^2$.
Poli: $i$ e $-i$ (doppi).
$Res(i) = lim_(z -> i) d/dz((z-i)^2*z/(1+z^2)^2)$
$Res(-i) = lim_(z -> -i) d/dz((z+i)^2*z/(1+z^2)^2)$
Non riesco proprio a capire come devo fare a scomporre la $f(z)$.
Poli: $i$ e $-i$ (doppi).
$Res(i) = lim_(z -> i) d/dz((z-i)^2*z/(1+z^2)^2)$
$Res(-i) = lim_(z -> -i) d/dz((z+i)^2*z/(1+z^2)^2)$
Non riesco proprio a capire come devo fare a scomporre la $f(z)$.
Come mai?
$f(z)=z/((z+i)^2(z-i)^2)$
In ogni modo, non si capisce se quella semicirconferenza debba essere percorsa in senso orario oppure antiorario.
$f(z)=z/((z+i)^2(z-i)^2)$
In ogni modo, non si capisce se quella semicirconferenza debba essere percorsa in senso orario oppure antiorario.
Tutto lì? Io mi stavo imbarcando in calcoli ben peggiori.
Comunque, adesso che ci guardo bene, deve essere percorsa in senso orario (quindi da $pi$ a $0$?).
$Res(i) = lim_(z -> i) d/dz((z-i)^2*z/((z+i)^2(z-i)^2)) = 0$
$Res(-i) = lim_(z -> -i) d/dz((z+i)^2*z/((z+i)^2(z-i)^2)) = 0$
$int_(0)^(pi)f(z)dz=2piisumRes = 0$
Comunque, adesso che ci guardo bene, deve essere percorsa in senso orario (quindi da $pi$ a $0$?).
$Res(i) = lim_(z -> i) d/dz((z-i)^2*z/((z+i)^2(z-i)^2)) = 0$
$Res(-i) = lim_(z -> -i) d/dz((z+i)^2*z/((z+i)^2(z-i)^2)) = 0$
$int_(0)^(pi)f(z)dz=2piisumRes = 0$
Ok, sotto le ipotesi precedenti. In ogni modo, ricordati che il teorema dei residui determina l'integrale curvilineo quando la curva chiusa è percorsa in senso antiorario.
Però, ora, mi sfugge come la curva influenzi il teorema dei residui. Io calcolo le singolarità della funzione, ne determino i residui e applico la forma. Dove interviene la curva?
La curva è importante perchè racchiude i poli di residuo non nullo. Se al variare della curva, i poli di residuo non nullo interni alla curva non cambiano, allora l'integrale curvilineo non cambia. Viceversa, cambia.
Però nei calcoli che devo fare non interviene, no?
Come in questo caso: ho preso la funzione data nel testo, ne ho calcolato normalmente poli e residui e ho applicato la formula $int_(g)^()f(z)dz=2piisumRes$.
Come in questo caso: ho preso la funzione data nel testo, ne ho calcolato normalmente poli e residui e ho applicato la formula $int_(g)^()f(z)dz=2piisumRes$.
Non interviene perchè basta calcolare i residui. Però, ripeto, senza chiudere la curva con un tratto a integrale nullo, la semplificazione non sarebbe stata così potente. Se il tratto aggiunto avesse avuto integrale diverso da zero, il confronto andava fatto tra il tuo calcolo (1 calcolo) e il calcolo lungo il tratto aggiunto insieme al calcolo dei residui (2 o più calcoli). Solitamente si intuisce il calcolo più breve. Vorrei che questo fosse chiaro.
Sì sì, questo sì.
Grazie ancora per gli aiuti!
Grazie ancora per gli aiuti!
Se dovessi calcolare un integrale curvilineo su una circonferenza con centro non nell'origine, come dovrei fare?
Per esempio, una circonferenza di raggio $2$ e centro $0$ è:
$g(t) = cos(t)+i*sen(t)$ con $0<=t<=2pi$.
Ma se la volessi con centro in $-i$, ad esempio?
Per esempio, una circonferenza di raggio $2$ e centro $0$ è:
$g(t) = cos(t)+i*sen(t)$ con $0<=t<=2pi$.
Ma se la volessi con centro in $-i$, ad esempio?
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