Calcolo di un integrale curvilineo

[serio89]

Testo:
Data la forma differenziale complessa $f(z) = 2z^4$, calcolarne l'integrale curvilineo sul semicerchio di centro $0$, punto iniziale $i$ e terminale $-i$.

Mia risoluzione:
Trattandosi di un semicerchio, pongo:
$g(t) = cos(t)+i*sen(t)$ con $-pi/2<=t<=pi/2$.
Ne calcolo la derivata:
$g'(t) = -sen(t)+i*cos(t)$
Ed infine risolvo l'integrale:
$2*int_(pi/2)^(-pi/2)g^4(t)*g'(t)dt=-4/5i$

Il procedimento è corretto?

[Seneca1]

"serio89":Se dovessi calcolare un integrale curvilineo su una circonferenza con centro non nell'origine, come dovrei fare?
Per esempio, una circonferenza di raggio $2$ e centro $0$ è:
$g(t) = cos(t)+i*sen(t)$ con $0<=t<=2pi$.
Ma se la volessi con centro in $-i$, ad esempio?

La vuoi con il centro nel punto $(0, -1)$?

Allora prendi $g(t) = cos(t)+i*(sen(t) - 1)$.

[serio89]

Esatto!
Quindi, se ho capito bene: la circonferenza con centro in $(2, -2i)$ sarebbe $g(t) = [cos(t) + 2]+i*[(sen(t) - 2)]$?

[Seneca1]

Esatto.

[serio89]

Grazie!
Invece nella forma $e^(it)$ si può portare in qualche modo?
Io ho pensato a $e^(i[(a+2)+i(b-2)])$, oppure a $e^(it) -2 +2i$.

[Seneca1]

Basta fare qualche passaggio dall'equazione che hai ricavato prima...

$g(t) = [cos(t) + 2]+i*[(sen(t) - 2)] = cos(t) + i sin(t) + 2 - 2 i = e^(it) + 2 - 2i$

[serio89]

Perfetto, grazie!