Calcolo area tramite integrale doppio/triplo

[qwert90]

Salve a tutti:
devo calcolare l'area del sottoinsieme di $R^3$

$A=(x,y,z) : 0<=z<=3, x^2+y^2<=1$

allora la fingura ce l'avrei bene in mente si tratterebbe di un cerchio di raggio $1$ e centro nell'origine e poi l'altra limitazione mi dice che la quota varia tra $0$ e $3$ ... dovrei utilizzare l'integrale triplo epr calcolare questa area???
Se potete datemi una mano grazie...

[fireball1]

E' un tubo di raggio 1 e altezza 3... Più facile di così si muore... Non c'è neanche bisogno di fare l'integrale.

[qwert90]

in pratica un cilindro...
ok ammetto che sia facile... ma se volessi farlo tramite l'integrale triplo?

$\int int dxdy*\int_0^3dz$

e poi dopo si risolve l'integrale doppio il cui dominio è il cerchio di raggio $1$ e centro l'origine... e si puo fare anche in cooridnate polari vero??

[fireball1]

Sì, ma è come sparare cannonate alle zanzare farlo con l'integrale triplo

[qwert90]

grazie

[qwert90]

grazie per l'aiuto

[fireball1]

Domandina per te: integrare prima in $dz$ e poi in $dxdy$ cambia qualcosa?

[qwert90]

non credo cambi qualcosa... o sbaglio?

[fireball1]

Appunto, è come fare altezza per area di base invece che area di base per altezza... Che cambia?

[qwert90]

nulla ...per la proprietà commutativa della moltiplicazione

[Luca.Lussardi]

Se devi trovare la superficie totale dell'insieme non è un integrale triplo, se proprio vuoi impostarlo come integrale.

[qwert90]

anche se si tratta di un sottoinsieme di $R^3$ ??
e come dovrei impostarlo ? come integrael doppio allora?

[fireball1]

No, come un integrale di superficie... Hai studiato gli integrali di superficie (che poi diventano integrali doppi una volta scritti)?

[qwert90]

ah quelli non ancora... no...perchè come sarebbero??

[Luca.Lussardi]

No, se il testo del problema è trovare l'area della superficie che delimita quell'insieme hai due modi, o parametrizzi la superficie o la scrivi in forma cartesiana, in entrambi i modi hai una formula che fornisce la misura 2-dimensionale dela superficie. Alla fin della fiera verrà un integrale doppio, ma solo alla fine.

[qwert90]

ho capito quindi è sbagliato risolvere questo esercizio con l'integrale triplo o doppio... ho capito..

[fireball1]

Servono appunto a calcolare aree di superfici nello spazio, che non sono necessariamente piatte (come i sottoinsiemi di $RR^2$).
In questo caso la superficie totale del cilindro è fatta di tre pezzi: la laterale e le due basi.
Devi quindi parametrizzare queste tre superfici e calcolare per ciascuna di esse l'area, appunto con un integrale di superficie... Sommando poi i tre risultati.
Ma questo è molto più che sparare cannonate alle zanzare...

[qwert90]

okok quando farò gli integrali di superficiè capirò meglio...

[legendre]

Qwert Ti scrivo un po' di piccola teoria per integrali doppi/tripli per superfici.Se devo valcolare una superficie in un insieme A,chiusura di un aperto limitato e connesso uso una scrittura del tipo S=( (x,y,z) in R^3 e z=f(x,y).L'area di S e' $ int int_( )^(A ) $ sqrt(1+z'(x)^2+z'(y)^2( ) $ dxdy $.Quindi se S e' lasuperficie di una sfera di raggio 5 in A(x^2+y^2<1 e z>=0 sara' z(x)= $ sqrt( 5-x^2-y^2) $ z'(x)=x/ $ sqrt( 5-x^2-y^2) $ e z'(y)=y/ $ sqrt( 5-x^2-y^2) $ per cui applico la regola sopra citata ponendo x=pcosteta e y=sinteta con p fra 0 e 1 e teta tra 0 e 2pigreco ho $ int int_( )^( A) $ sqrt( 5)/ $ dx $ sqrt(5-x^2-y^2 ) $ dxy $ $ rarr $ $ int_(0 )^( 2pigreco) $ $ int_( 0)^( 1) $ $ sqrt( ) $ $ sqrt( 5)/ $ $ sqrt( 5-p^2) $ Per cui se hai la superficie S il calcolo e'diretto nelle dicitura si usa anche $ int_( )^( S) $ d@ dove @ e' l'elemento superficiale che non e' altro che $ sqrt( 1+z'(x)^2+z'(y)^2) $ con A l'insieme che dovra' essere definito nell'esercizio che esegui tipo x^2+y^2

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[qwert90]

Legendre apprezzo moltissimo la tua intenxione buona di dirmi un pò di teoria ... purtroppo però ci deve essere sato qualche errore nello scrivere le varie espressioni... non riesco tanto a decifrarle... grazie comunque..

[legendre]

Qwert Ti scrivo un po' di piccola teoria per integrali doppi/tripli per superfici.Se devo calcolare una superficie in un insieme A,chiusura di un aperto limitato e connesso uso una scrittura del tipo $S={ (x,y,z) \epsilon R^3 : z=f(x,y)}$.L'area di S e' $int int_( )^(A) sqrt(1+z'(x)^2+z'(y)^2 dxdxy$ .Quindi se S e' la superficie di una sfera di raggio 5 in $A=(x^2+y^2<1 e z>=0$ sara' $z(x)= sqrt(5-x^2-y^2 )$ con $z'(x)=x/ sqrt(5-x^2-y^2 )$ e $z'(y)=y/ sqrt(5-x^2-y^2 )$ per cui applico la regola sopra citata ponendo $x=\rho*cos\theta$ e $y= \rho*sin\theta$ con $0<\rho<1$ e $<0\theta<2\pi$ ho $ int int_( )^(A)sqrt(5)/sqrt(5-x^2-y^2)dxdy$ $ rarr $ $ int_(2\pi)^(0)$ $ int_(1 )^( 0) sqrt(5)/sqrt(5-\rho^2d\rhod\theta$ .Per cui se hai la superficie S il calcolo e'diretto nelle dicitura si usa anche $ int_( )^(S ) d\sigma$ dove $d\sigma$ e' l'elemento superficiale che non e' altro $sqrt( 1+z'(x)^2+z'(y)^2$ ed A l'insieme che dovra' essere definito nell'esercizio che esegui tipo $x^2+y^2
$z'(y)$ e $z'(x)$ non sono altro che le derivate prime rispetto ad y e a x di $z=f(x,y)$