Calcolo area tramite integrale doppio/triplo
Salve a tutti:
devo calcolare l'area del sottoinsieme di $R^3$
$A=(x,y,z) : 0<=z<=3, x^2+y^2<=1$
allora la fingura ce l'avrei bene in mente si tratterebbe di un cerchio di raggio $1$ e centro nell'origine e poi l'altra limitazione mi dice che la quota varia tra $0$ e $3$ ... dovrei utilizzare l'integrale triplo epr calcolare questa area???
Se potete datemi una mano
grazie...
devo calcolare l'area del sottoinsieme di $R^3$
$A=(x,y,z) : 0<=z<=3, x^2+y^2<=1$
allora la fingura ce l'avrei bene in mente si tratterebbe di un cerchio di raggio $1$ e centro nell'origine e poi l'altra limitazione mi dice che la quota varia tra $0$ e $3$ ... dovrei utilizzare l'integrale triplo epr calcolare questa area???
Se potete datemi una mano
grazie...
Risposte
Me sto un po' a esercita'con sta scrittura Qwert credo che ora sia definitiva:Un po' di piccola teoria per integrali doppi/tripli per superfici.Se devo calcolare una superficie in un insieme A,chiusura di un aperto limitato e connesso uso una scrittura del tipo $S={ (x,y,z) \epsilon R^3 : z=f(x,y)}$.L'area di S e' $int int_( )^(A) sqrt(1+z'(x)^2+z'(y)^2) dxdxy$ .Quindi se S e' la superficie di una sfera di raggio 5 in $A=(x^2+y^2<1 e z>=0$ sara' $z(x)= sqrt(5-x^2-y^2 )$ con $z'(x)=x/ sqrt(5-x^2-y^2 )$ e $z'(y)=y/ sqrt(5-x^2-y^2 )$ per cui applico la regola sopra citata ponendo $x=\rho*cos\theta$ e $y= \rho*sin\theta$ con $0<\rho<1$ e $0<\theta<2\pi$ ho $ int int_( )^(A)sqrt(5)/sqrt(5-x^2-y^2)dxdy$ $ rarr $ $ int_(0)^(2\pi)$ $ int_(0 )^( 1) sqrt(5)/sqrt(5-\rho^2)d\rhod\theta$ .Per cui se hai la superficie S il calcolo e'diretto nelle dicitura si usa anche $ int_( )^(S ) d\sigma$ dove $d\sigma$ e' l'elemento superficiale che non e' altro $sqrt( 1+z'(x)^2+z'(y)^2$ ed A l'insieme che dovra' essere definito nell'esercizio che esegui tipo $x^2+y^2
$z'(y)$ e $z'(x)$ non sono altro che le derivate prime rispetto ad y e a x di $z=f(x,y)$
$z'(y)$ e $z'(x)$ non sono altro che le derivate prime rispetto ad y e a x di $z=f(x,y)$
Me sto un po' a esercita'con sta scrittura Qwert credo che ora sia definitiva:Un po' di piccola teoria per integrali doppi/tripli per superfici.Se devo calcolare una superficie in un insieme A,chiusura di un aperto limitato e connesso uso una scrittura del tipo $S={ (x,y,z) \epsilon R^3 : z=f(x,y)}$.L'area di S e' $int int_( )^(A) sqrt(1+z'(x)^2+z'(y)^2) dxdxy$ .Quindi se S e' la superficie di una sfera di raggio 5 in $A=(x^2+y^2<1 e z>=0$ sara' $z(x)= sqrt(5-x^2-y^2 )$ con $z'(x)=x/ sqrt(5-x^2-y^2 )$ e $z'(y)=y/ sqrt(5-x^2-y^2 )$ per cui applico la regola sopra citata ponendo $x=\rho*cos\theta$ e $y= \rho*sin\theta$ con $0<\rho<1$ e $0<\theta<2\pi$ ho $ int int_( )^(A)sqrt(5)/sqrt(5-x^2-y^2)dxdy$ $ rarr $ $ int_(0)^(2\pi)$ $ int_(0 )^( 1) sqrt(5)/sqrt(5-\rho^2)d\rhod\theta$ .Per cui se hai la superficie S il calcolo e'diretto nelle dicitura si usa anche $ int_( )^(S ) d\sigma$ dove $d\sigma$ e' l'elemento superficiale che non e' altro $sqrt( 1+z'(x)^2+z'(y)^2$ ed A l'insieme che dovra' essere definito nell'esercizio che esegui tipo $x^2+y^2
$z'(y)$ e $z'(x)$ non sono altro che le derivate prime rispetto ad y e a x di $z=f(x,y)$
$z'(y)$ e $z'(x)$ non sono altro che le derivate prime rispetto ad y e a x di $z=f(x,y)$
Me sto un po' a esercita'con sta scrittura Qwert credo che ora sia definitiva:Un po' di piccola teoria per integrali doppi/tripli per superfici.Se devo calcolare una superficie in un insieme A,chiusura di un aperto limitato e connesso uso una scrittura del tipo $S={ (x,y,z) \epsilon R^3 : z=f(x,y)}$.L'area di S e' $int int_( )^(A) sqrt(1+z'(x)^2+z'(y)^2) dxdxy$ .Quindi se S e' la superficie di una sfera di raggio 5 in $A=(x^2+y^2<1 e z>=0$ sara' $z(x)= sqrt(5-x^2-y^2 )$ con $z'(x)=x/ sqrt(5-x^2-y^2 )$ e $z'(y)=y/ sqrt(5-x^2-y^2 )$ per cui applico la regola sopra citata ponendo $x=\rho*cos\theta$ e $y= \rho*sin\theta$ con $0<\rho<1$ e $0<\theta<2\pi$ ho $ int int_( )^(A)sqrt(5)/sqrt(5-x^2-y^2)dxdy$ $ rarr $ $ int_(0)^(2\pi)$ $ int_(0 )^( 1) sqrt(5)/sqrt(5-\rho^2)d\rhod\theta$ .Per cui se hai la superficie S il calcolo e'diretto nelle dicitura si usa anche $ int_( )^(S ) d\sigma$ dove $d\sigma$ e' l'elemento superficiale che non e' altro $sqrt( 1+z'(x)^2+z'(y)^2$ ed A l'insieme che dovra' essere definito nell'esercizio che esegui tipo $x^2+y^2
$z'(y)$ e $z'(x)$ non sono altro che le derivate prime rispetto ad y e a x di $z=f(x,y)$
$z'(y)$ e $z'(x)$ non sono altro che le derivate prime rispetto ad y e a x di $z=f(x,y)$
Questo e' sul serio definitivo perche nell'ultima parte manca un pezzo dentro l'integrale:Un po' di piccola teoria per integrali doppi/tripli per superfici.Se devo calcolare una superficie in un insieme A,chiusura di un aperto limitato e connesso uso una scrittura del tipo $S={ (x,y,z) \epsilon R^3 : z=f(x,y)}$.L'area di S e' $int int_( )^(A) sqrt(1+z'(x)^2+z'(y)^2) dxdxy$ .Quindi se S e' la superficie di una sfera di raggio 5 in $A=(x^2+y^2<1 e z>=0$ sara' $z(x)= sqrt(5-x^2-y^2 )$ con $z'(x)=x/ sqrt(5-x^2-y^2 )$ e $z'(y)=y/ sqrt(5-x^2-y^2 )$ per cui applico la regola sopra citata ponendo $x=\rho*cos\theta$ e $y= \rho*sin\theta$ con $0<\rho<1$ e $0<\theta<2\pi$ ho $ int int_( )^(A)sqrt(5)/sqrt(5-x^2-y^2)dxdy$ $ rarr $ $ int_(0)^(2\pi)$ $ int_(0 )^( 1) sqrt(5)/sqrt(5-\rho^2)d\rhod\theta$ .Per cui se hai la superficie S il calcolo e'diretto nelle dicitura si usa anche $ int_( )^(S ) d\sigma$ dove $d\sigma$ e' l'elemento superficiale che non e' altro $sqrt( 1+z'(x)^2+z'(y)^2$ ed A l'insieme che dovra' essere definito nell'esercizio che esegui tipo $x^2+y^2
$z'(y)$ e $z'(x)$ non sono altro che le derivate prime rispetto ad y e a x di $z=f(x,y)$
$z'(y)$ e $z'(x)$ non sono altro che le derivate prime rispetto ad y e a x di $z=f(x,y)$
Grazie mille Legendre grazie 
terrò conto di quello che hai scritto
terrò conto di quello che hai scritto
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