Assolutamente Convergente
Salve non ho capito bene quando una serie è ASSOLUTAMENTE CONVERGENTE
Mi spiego meglio, ho capito che per essere assolutamente convergente deve avere convergente il limite della serie in valore assoluto; ma in pratica che devo fare?
Cambio segno della serie e guardo se sono validi sempre i criteri di convergenza?
Mi spiego meglio, ho capito che per essere assolutamente convergente deve avere convergente il limite della serie in valore assoluto; ma in pratica che devo fare?
Cambio segno della serie e guardo se sono validi sempre i criteri di convergenza?
Risposte
Mh....
Una serie è assolutamente convergente, se converge il valore assoluto del termine generale, cioè se [tex]|an|[/tex] termine generale converge, dunque studi l'assoluta convergenza del termine generale applicando uno dei tanti criteri che hai studiato, se trovi che converge, allora la serie da te proposta sarà assolutamente convergente, dunque convergente.
P.S Non vale il viceversa, in generale non è detto che una serie convergente sia assolutamente convergente.
Una serie è assolutamente convergente, se converge il valore assoluto del termine generale, cioè se [tex]|an|[/tex] termine generale converge, dunque studi l'assoluta convergenza del termine generale applicando uno dei tanti criteri che hai studiato, se trovi che converge, allora la serie da te proposta sarà assolutamente convergente, dunque convergente.
P.S Non vale il viceversa, in generale non è detto che una serie convergente sia assolutamente convergente.
per esempio la serie che per $n$ che va da $1$ a $+infty$ di $((-1)^(n-1))/(3n-1)$
Si comporta come una serie alternata.
Seguo i due criteri, ovvero che il lim tende a zero e che la serie sia divergente, e sono entrambi veri. Quindi Converge.
Se fosse una serie a termini non negativi, direi che converge assolutamente ma non è a termini non negativi, quindi?
Come posso vedere che converge assolutamente?
Si comporta come una serie alternata.
Seguo i due criteri, ovvero che il lim tende a zero e che la serie sia divergente, e sono entrambi veri. Quindi Converge.
Se fosse una serie a termini non negativi, direi che converge assolutamente ma non è a termini non negativi, quindi?
Come posso vedere che converge assolutamente?
Semplice: non converge assolutamente.
Dunque, il minimo che posso fare è individuare se è a termini non negativi, se non lo è allora non è assolutamente convergente. Finisce qui il chiasso, giusto?
Semplificando la serie sopra in $(-1)^n(alphan)$ devo solo stabilire per l'ass. convergenza che $alphan>0$ e dovute relazioni.
Semplificando la serie sopra in $(-1)^n(alphan)$ devo solo stabilire per l'ass. convergenza che $alphan>0$ e dovute relazioni.
Data una serie generica [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n$[/tex] essa si dice assolutamente convergente nel caso in cui sia convergente la serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}|a_n|$[/tex].
Nel tuo ultimo caso generico devi considerare la serie il cui termine generale sia [tex]$|\alpha_n|$[/tex]; e se ci fossero restrizioni a priori su di esso dovresti continuare a tenerle in considerazione!
Nel tuo ultimo caso generico devi considerare la serie il cui termine generale sia [tex]$|\alpha_n|$[/tex]; e se ci fossero restrizioni a priori su di esso dovresti continuare a tenerle in considerazione!
ma con $(-1)^n((logn)/-(n^2+3))$ non funziona con $alphan>=0$
come trovo l'ass convergenza?
in origine in testo sarebbe $(-1)^(n-1)((logn)/(n^2+3))$, ho spostato il -1 al denominatore è corretto?
Mi sono calcolato l'ass.convergenza della serie in due casi:
il primo torna negativo,quindi l'ass.convergenza non verificata $((logn)/-(n^2+3))>=0$
il se secondo torna positivo,e l'ass.convergenza è verificata $((logn)/(n^2+3))>=0$
c'è qualcuno che mi sa dire dove sbaglio?oppure che mi sa dire quale dei due casi è corretto. grazie mille
come trovo l'ass convergenza?
in origine in testo sarebbe $(-1)^(n-1)((logn)/(n^2+3))$, ho spostato il -1 al denominatore è corretto?
Mi sono calcolato l'ass.convergenza della serie in due casi:
il primo torna negativo,quindi l'ass.convergenza non verificata $((logn)/-(n^2+3))>=0$
il se secondo torna positivo,e l'ass.convergenza è verificata $((logn)/(n^2+3))>=0$
c'è qualcuno che mi sa dire dove sbaglio?oppure che mi sa dire quale dei due casi è corretto. grazie mille
Il passaggio algebrico da te eseguito è corretto.
Per studiare l'assoluta convergenza di tale serie devi studiare la serie di termine generale [tex]$\bigg|\frac{\log n}{n^2+3}\bigg|$[/tex].
EDIT: Ma perché non scrivi anche la sommatoria con gli estremi?
Per studiare l'assoluta convergenza di tale serie devi studiare la serie di termine generale [tex]$\bigg|\frac{\log n}{n^2+3}\bigg|$[/tex].
EDIT: Ma perché non scrivi anche la sommatoria con gli estremi?
quindi devo porre $|alphan|>=0$ sempre?
Considerando l'esercizio proposto,e prendendo il primo caso e ponendolo con il valore assoluto, quel -1 al denominatore va via? grazie mille
Considerando l'esercizio proposto,e prendendo il primo caso e ponendolo con il valore assoluto, quel -1 al denominatore va via? grazie mille
I) Ma lo sai che il valore assoluto di un numero non è mai negativo? -_-
II) Sai studiare un'espressione "dentro" il valore assoluto?
II) Sai studiare un'espressione "dentro" il valore assoluto?
Faccio $((logn)/(n^2+3))>0$ e $(-(logn)/(n^2+3))<0$ e trovo la parte positiva?
Ma se hai già esemplificato quel "[tex]$-$[/tex]" che lo consideri a fare?
Poi il valore assoluto di un quoziente è il quoziente dei valori assoluti!
È [tex]$n\geq1$[/tex]? Per cui qual è il segno di [tex]$\log n$[/tex]? Indipendentemente che segno ha [tex]$n^2+3$[/tex]?
Poi il valore assoluto di un quoziente è il quoziente dei valori assoluti!
È [tex]$n\geq1$[/tex]? Per cui qual è il segno di [tex]$\log n$[/tex]? Indipendentemente che segno ha [tex]$n^2+3$[/tex]?
scusami ma non riesco a capire.. cosa significa 'Ma se hai già esemplificato quel "$-$" che lo consideri a fare?'
Cmq il dominio è per $n>0$ e positivo per $n>1$, e $n^2+3$ non ha soluzioni, per cui considero tutto positivo. Per cui è positivo per $n>1$
Giusto?
Cmq il dominio è per $n>0$ e positivo per $n>1$, e $n^2+3$ non ha soluzioni, per cui considero tutto positivo. Per cui è positivo per $n>1$
Giusto?
"Marcomix":Ecco cosa intendevo!
ma con $(-1)^n((logn)/-(n^2+3))$...in origine in testo sarebbe $(-1)^(n-1)((logn)/(n^2+3))$, ho spostato il -1 al denominatore è corretto?...
Come hai capito [tex]$\forall n\in\mathbb{N}_1$[/tex](*)[tex]$,\,\log n\geq0;\,n^2+3>0$[/tex] quindi [tex]$\forall n\in\mathbb{N}_1,\,\bigg|\frac{\log n}{n^2+3}\bigg|=\frac{\log n}{n^2+3}$[/tex]!
§§§
(*) Insieme dei numeri naturali maggiori uguali ad [tex]$1$[/tex]!
per cui non sto valutando $(-1)^n((logn)/-(n^2+3))$ ma $(-1)^(n-1)((logn)/(n^2+3))$
:S Ti dico così, perchè mi sto confondendo sul fatto che se io uso tale sviluppo: $(-1)^n((logn)/-(n^2+3))$, $-(n^2+3)$ non è positivo, è tutto negativo.
:S Ti dico così, perchè mi sto confondendo sul fatto che se io uso tale sviluppo: $(-1)^n((logn)/-(n^2+3))$, $-(n^2+3)$ non è positivo, è tutto negativo.
Ok, ed in valore assoluto ti trovi che diventa [tex]$n^2+3$[/tex]?
si in realtà potrei acconsentire.. ma io avrei fatto:
$-(logn/-(n^2+3))<0$ e $+(logn/-(n^2+3))>0$, insomma come quell'operazione di separazione della funzione in due parti. Per poi vedere dove è positiva.
Ora, ritornando al tuo ultimo post, mi domando.. perchè basta togliere il '$-$' in valore assoluto?
Quindi se avessi un numero (ad es) come.. $logn/(n^2-n-5)$, dovrei raccogliere il meno e toglierlo? La mia carenza di informazione è qui.
$-(logn/-(n^2+3))<0$ e $+(logn/-(n^2+3))>0$, insomma come quell'operazione di separazione della funzione in due parti. Per poi vedere dove è positiva.
Ora, ritornando al tuo ultimo post, mi domando.. perchè basta togliere il '$-$' in valore assoluto?
Quindi se avessi un numero (ad es) come.. $logn/(n^2-n-5)$, dovrei raccogliere il meno e toglierlo? La mia carenza di informazione è qui.
Allora ti posto tutto il conto dal termine generale primitivo: [tex]$\bigg|(-1)^n\frac{\log n}{-(n^2+3)}\bigg|=|(-1)^n|\frac{|\log n|}{|-(n^2+3)|}=1\frac{\log n}{|-1|\cdot|n^2+3|}=\frac{\log n}{n^2+3}$[/tex].
Per calcolare l'assoluta convergenza di determinarti dapprima il valore assoluto del termine generale; in questo caso ottieni quanto t'ho scritto!
Ma che distingui a fare gl'indici pari da quelli dispari? Questo non capisco! Dove vuoi andare così?
Per calcolare l'assoluta convergenza di determinarti dapprima il valore assoluto del termine generale; in questo caso ottieni quanto t'ho scritto!
Ma che distingui a fare gl'indici pari da quelli dispari? Questo non capisco! Dove vuoi andare così?
Ah si, penso di aver capito.. ma..
la serie che per $n$ che va da $1$ a $+infty$ di $((-1)^(n-1))/(3n-1)$
se la metto in valore assoluto mi comporto:
$|((-1)^(n-1))/(3n-1)|$ equivale a $(|(-1)^n|)/(|-1||(3n-1)|)$ e quindi posso scriverlo come $1*(1)/(1*(3n-1))$
dove $n>=1/3$ e quindi da $1$ in poi come dice la serie è positivo. Ma il testo dice che questo non è assolutamente convergente.
Dove sbaglio di nuovo?
la serie che per $n$ che va da $1$ a $+infty$ di $((-1)^(n-1))/(3n-1)$
se la metto in valore assoluto mi comporto:
$|((-1)^(n-1))/(3n-1)|$ equivale a $(|(-1)^n|)/(|-1||(3n-1)|)$ e quindi posso scriverlo come $1*(1)/(1*(3n-1))$
dove $n>=1/3$ e quindi da $1$ in poi come dice la serie è positivo. Ma il testo dice che questo non è assolutamente convergente.
Dove sbaglio di nuovo?
Devi controllare (secondo l'esercizio) che la serie [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{3n-1}$[/tex] diverga, no?
no devo studiare la convergenza, e secondo i calcoli quella serie converge,ma nn assolutamente.
il valore assoluto di 3n-1 altera i segni? Io ho ragionato che |3n-1|=1-3n è sbagliato? grazie mille
il valore assoluto di 3n-1 altera i segni? Io ho ragionato che |3n-1|=1-3n è sbagliato? grazie mille
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