Assolutamente Convergente
Salve non ho capito bene quando una serie è ASSOLUTAMENTE CONVERGENTE
Mi spiego meglio, ho capito che per essere assolutamente convergente deve avere convergente il limite della serie in valore assoluto; ma in pratica che devo fare?
Cambio segno della serie e guardo se sono validi sempre i criteri di convergenza?
Mi spiego meglio, ho capito che per essere assolutamente convergente deve avere convergente il limite della serie in valore assoluto; ma in pratica che devo fare?
Cambio segno della serie e guardo se sono validi sempre i criteri di convergenza?
Risposte
Ho capito! Ma per studiare l'assoluta convergenza devi studiare la serie che t'ho scritto! I conti non sono errati!
Prego, di nulla!
Prego, di nulla!
Ok, quella serie diverge, poichè è armonica. Quindi?
Ricapitolando diverge la serie [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty}\bigg|\frac{(-1)^{n-1}}{3n-1}\bigg|=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{3n-1}$[/tex] per cui la serie [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{3n-1}$[/tex] non è assolutamente convergente!
Ri-Ricapitolando, quando facciamo il valore assoluto, dobbiamo vedere se esso converge o diverge.. se diverge non è assolutamente convergente e se converge, potrebbe essere assolutamente convergente, dico potrebbe essere perche è necessario vedere attraverso lo studio del segno dove n è positivo! Giusto?
Dal secondo "se" è errato e per definizione come dissi
"j18eos":
Data una serie generica [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n$[/tex] essa si dice assolutamente convergente nel caso in cui sia convergente la serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}|a_n|$[/tex].
Grazie davvero! E sopratutto grazie per la pazienza.. Grazie$->+infty$
Dovere; almeno rileggiti il tutto così da non ripetere gli errori risolti qui!
Poi ho visto che t'impegnavi quindi ho proseguito con l'aiuto.
Poi ho visto che t'impegnavi quindi ho proseguito con l'aiuto.
Uppo questo topic per fare una domanda sulle serie assolutamente convergenti.
Se la serie non è a termini non negativi ma è, ad esempio, a segni alterni: può convergere assolutamente o è totalmente da escludere?
Se la serie non è a termini non negativi ma è, ad esempio, a segni alterni: può convergere assolutamente o è totalmente da escludere?
studia la serie
\[\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\left(1-\cos\frac{1}{n}\right)\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\left(1-\cos\frac{1}{n}\right)\]
Uso il criterio di Leibniz e studio il limite:
$\lim_{n \to \infty}$ $1 - cos(1/n)$
Il coseno a 0 è 1, quindi questo limite è 0 e quindi la serie converge.
P.s.
La mia domanda di teoria era dovuta al primo post di questo topic che porta ad indurre una cosa del genere. Ma ho cercato anche su internet se ci sono delle '' limitazioni '' riguardo l'assoluta convergenza e non ho letto nulla a riguardo.
$\lim_{n \to \infty}$ $1 - cos(1/n)$
Il coseno a 0 è 1, quindi questo limite è 0 e quindi la serie converge.
P.s.
La mia domanda di teoria era dovuta al primo post di questo topic che porta ad indurre una cosa del genere. Ma ho cercato anche su internet se ci sono delle '' limitazioni '' riguardo l'assoluta convergenza e non ho letto nulla a riguardo.
a parte il fatto che le motivazioni sono errate... si tratta di una serie a segni alterni, quindi, considerando la convergenza assoluta abbiamo:
\begin{align}
\left|(-1)^n\left(1-\cos\frac{1}{n}\right)\right|=1-\cos\frac{1}{n}\sim\frac{1}{2n^2}\to\mbox{converge}
\end{align}
e non perchè il termine generale va a zero( che è una condzione necessaria ma non sufficiente) ma perchè va a zero di ordine superiore ad uno; la serie converge assolutamente e quindi anche semplicemente.
\begin{align}
\left|(-1)^n\left(1-\cos\frac{1}{n}\right)\right|=1-\cos\frac{1}{n}\sim\frac{1}{2n^2}\to\mbox{converge}
\end{align}
e non perchè il termine generale va a zero( che è una condzione necessaria ma non sufficiente) ma perchè va a zero di ordine superiore ad uno; la serie converge assolutamente e quindi anche semplicemente.
Io ho applicato il criterio di Leibniz, le cui condizioni affinche una serie converga sono:
$\lim_{n \to \infty}$ $a_n = 0$
$sum_{n=0}^\infty$ $(-1)^(n-1) a_n$
Non capisco dove ho commesso l'errore prima.. Ho una serie a segni alterni, ho una serie il cui limite è $0$, perchè Leibniz non è applicabile?
$\lim_{n \to \infty}$ $a_n = 0$
$sum_{n=0}^\infty$ $(-1)^(n-1) a_n$
Non capisco dove ho commesso l'errore prima.. Ho una serie a segni alterni, ho una serie il cui limite è $0$, perchè Leibniz non è applicabile?
"Mr.Mazzarr":
[...]
Non capisco dove ho commesso l'errore prima.. Ho una serie a segni alterni, ho una serie il cui limite è $0$, perchè Leibniz non è applicabile?
Il criterio di Leibniz è applicabile, e la serie data converge - le tue osservazioni di sopra sono corrette ma incomplete: devi infatti controllare anche che $a_{n}$ sia decrescente e non negativa. Tuttavia credo che Noisemaker volesse farti ragionare sulla questione "convergenza assoluta", visto che tu l'hai sollevata.
Ah ecco, se avesse specificato magari avrei anche capito. Scusa Noise 
Riguardo il punto sul criterio di Leibniz, come posso controllare la decrescenza e la non negatività della serie?
Mentre riguardo l'assoluta convergenza, alla fine Noise ha semplicemente studiato la serie in valore assoluto, no?
Riguardo il punto sul criterio di Leibniz, come posso controllare la decrescenza e la non negatività della serie?
Mentre riguardo l'assoluta convergenza, alla fine Noise ha semplicemente studiato la serie in valore assoluto, no?
per poter applicare Leibniz, devi assicurarti che il termine generale $a_n\ge0$ sia infnitesimo, e decrescente; ora, la decrecenza non è proprio immediata da calcolare, in quanto hai che dovresti verificare che
\[1-\cos\frac{1}{n}>1-\cos\frac{1}{n+1}\quad\Leftrightarrow\quad \cos\frac{1}{n}< \cos\frac{1}{n+1}\]
oppure passare alla variabile continua
\[ f(x):=1-\cos\frac{1}{x} \]
calcolare la derivata prima, studiarne il segno etc ...
poi tu hai chiesto "Se la serie non è a termini non negativi ma è, ad esempio, a segni alterni: può convergere assolutamente o è totalmente da escludere" e ti ho postato un esempio in cui converge assolutamente
\[1-\cos\frac{1}{n}>1-\cos\frac{1}{n+1}\quad\Leftrightarrow\quad \cos\frac{1}{n}< \cos\frac{1}{n+1}\]
oppure passare alla variabile continua
\[ f(x):=1-\cos\frac{1}{x} \]
calcolare la derivata prima, studiarne il segno etc ...
poi tu hai chiesto "Se la serie non è a termini non negativi ma è, ad esempio, a segni alterni: può convergere assolutamente o è totalmente da escludere" e ti ho postato un esempio in cui converge assolutamente
Dato che noto che ci sono più modi per calcolare la decrescenza di una serie a segni alterni, qual è il più utilizzato o comunque quello che, secondo te, dovrei usare?
quello piu comodo ...a seconda del termine generale che ti si presenta!
Se ho una serie a segni alterni e non è infinitesima, come posso calcolare il carattere di una serie? Devo semplicemente andare ad applicare un criterio e studiarla come se fosse una normalissima serie?
scusa ma se il termne generale della serie non è infinitesimo ...direi che puoi concludere subito ...o no?
Giusto, perchè non si rispetta la condizione necessaria per la convergenza della serie.
Grande Noise! Quindi la serie a segni alterni è:
- Divergente
- Risolvibile con Leibniz
Da qui non si scappa, no?
Grande Noise! Quindi la serie a segni alterni è:
- Divergente
- Risolvibile con Leibniz
Da qui non si scappa, no?
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